专题1.5 反比例函数章末32道压轴题型专训（8大题型）-2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

该初中数学讲义通过8大题型框架图系统梳理反比例函数章末知识，涵盖求函数值、增减性判断、图形面积计算等核心内容，以题型分类呈现知识脉络，清晰展示各知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于32道压轴题型的分层设计，如实际应用题通过喷雾消毒含药量变化培养模型意识，与菱形结合的面积计算提升几何直观。基础题巩固概念，综合题深化思维，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习提供有力支持。

专题1.5 反比例函数章末32道压轴题型专训（8大题型） 目录 【经典例题一 求反比例函数值】 1 【经典例题二 判断反比例函数的增减性】 1 【经典例题三 比较反比例函数值或自变量的大小】 4 【经典例题四 已知比例系数求图形面积】 7 【经典例题五 求反比例函数解析式】 10 【经典例题六 反比例函数与几何图形】 16 【经典例题七 解决一次函数与反比例函数的问题】 19 【经典例题八 反比例函数实际应用】 25 【经典例题一 求反比例函数值】 1．（2026九年级上 江苏宿迁·周测）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026九年级上 浙江温州·周测）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 3．（2026九年级上 陕西西安·单元测试）当时，反比例函数的最大值为m，则反比例函数的最大值为________．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】利用反比例函数的性质进行求解． 【详解】解：∵，即，且， ∴， ∴自变量的取值范围在的负半轴上， 由得，在每个象限内的图象，随的增大而减小， 则，在每个象限内的图象，随的增大而增大， 在内，当时，反比例函数取得最大值为m， ∴， ∴， ∴， 在内，当时，反比例函数取得最大值， ∴． 4．（2026九年级上 山西临汾·周测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． (1)求k的值． (2)连接，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【经典例题二 判断反比例函数的增减性】 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象、偶次方的非负性，熟练掌握函数的对称性和增减性是解题关键．先根据函数的解析式可得，再根据函数的对称性可得，，，，从而可得，然后根据随的增大，减小，即可判断①正确；根据即可判断②正确；根据要使为正数，则，结合为正整数可得，由此即可判断③正确． 【详解】解：∵，即， ∴函数图象关于直线对称， ∴， ∵函数图象关于直线对称，点，在这个函数图象上，且， ∴点和点关于直线对称， ∴， 同理可得：，，， ∴ ， ∵随的增大，减小， ∴随的增大而减小；则说法①正确； ∵， ∴，即无论取何值，的值都大于；则说法②正确； 要使为正数，即，则需，即， 又∵为正整数， ∴， ∴有唯一取值可使得为正数；则说法③正确； 综上，说法正确的个数是3， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·月考）已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为_____________． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，进而得出时所对应的函数图象为第三象限的部分和第一象限的全部，再结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 又∵， ∴所对应的函数图象为第三象限的部分和第一象限的全部， 又∵， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴的取值范围是：或． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点，当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出的取值范围即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，． 【经典例题三 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·周测）已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与不等式、反比例函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得k的值即可解答； （2）根据反比例函数的性质确定不等式的解集即可． （3）由题意可得：函数， 的图像在第一、三象限，然后根据反比例函数的性质用m表示出、的最小值和最大值，然后组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴点在函数的图象上，且当时，且y随x的增大而减小；当时，且y随x的增大而减小； ∴当，且时，x的取值范围为或． （3）解：∵，函数， 的图象在第一、三象限， ∴当时，函数有最小值，即； 当时，函数有最大值m，即； 所以，解得． 【经典例题四 已知比例系数求图形面积】 1．（23-24九年级上 四川绵阳·单元测试）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)① ；② 【分析】（1） 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）① 根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可．② 利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）① 解：∵ ，点在上， , , ， 如图，交点 的坐标为 ，即 ， ， ． ② 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点 ， ，， ∵ ， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵ 在上， ， 整理得：， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将 代入， 得，整理得， 联立，得， 解得， 代入 ，得． 【经典例题五 求反比例函数解析式】 1．（2026九年级上 四川雅安·周测）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东滨州·阶段测试）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 4．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 【经典例题六 反比例函数与几何图形】 1．（24-25九年级上·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到点C的坐标，再代入反比例函数中可求得k值． 【详解】解：设与y轴相交于点D， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，即轴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 4．（23-24九年级上 河南周口·单元测试）如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点横坐标代入分段一次函数对应解析式求出点纵坐标，再把点坐标代入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数与对应的一次函数解析式求出交点坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为使最小的点；利用待定系数法求直线解析式，求出点坐标；再求射线与轴交点的坐标，算出线段长度，结合点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 【经典例题七 解决一次函数与反比例函数的问题】 1．（2024九年级上 湖北武汉·单元测试）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江西·月考）如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质．根据直线的走向和反比例函数所在象限可知，，根据有理数的乘法法则可知；根据反比例函数的解析式可知，，可得；根据一次函数的解析式可以求出，可得，，可知成立；由图像可知当时，的取值范围为或． 【详解】解：直线的走向是随的增大而减小， ， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ， 故①正确； 反比例函数的图象相交于，两点， ，， ， 故②正确； 当时，可得：， 点的坐标是， ， ，， ， 故③正确； 由函数图像可知，在第二象限中点的左侧， 此时， 在第四象限中点的左侧， 此时， 当时，的取值范围为或， 故④正确． 综上所述，正确结论的个数是. 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式和三角形面积求法等知识，首先求出直线解析式，进而得出直线解析，再利用直线解析式与反比例函数联立求出B点坐标，进而利用，求出即可． 【详解】解：∵A在双曲线上， ∴， 故， 设方程为，将A点坐标代入得出： ，解得：， 故AO直线解析式为：， ∵， ∴直线的解析式可以假设为， 将A点坐标代入得：， 故直线的解析式为：， 将直线与反比例函数联立得出： ， 解得：，， 那么B点坐标为： ， ∵，经过B点， ∴直线解析式一次项系数为：2， 故设解析式为：， 将B点代入得出：， 故， 则直线解析式为：， 则与x轴交点D为：， 解得：， 故D点坐标为：， ∵直线的解析式为：， ∴与x轴交点坐标E为：， 则 ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 【经典例题八 反比例函数实际应用】 1．（2026九年级上 内蒙古通辽·周测）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 2．（2026九年级上 河南商丘·周测）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 【答案】C 【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断． 【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、当压力为时，由图2可知， ∴电路总电阻， ∵电源电压， ∴电路电流， ∴电压表示数， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、触发警报时电压表示数超过，即，， 此时电路电流， ∵电源电压， ∴总电阻， ∴力敏电阻阻值， 由图2可知，时对应，且随增大而减小， ∴触发警报时力敏电阻所受压力大于， ∴C选项正确，该选项符合题意； D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变， ∴电路电流会变小， ∵电源电压， ∴总电阻会变大， ∴力敏电阻阻值会变大， ∵随增大而减小， ∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小， ∴D选项错误，该选项不符合题意． 3．（2026九年级上 辽宁抚顺·单元测试）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 4．（24-25九年级上·山西临汾·阶段测试）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1)60，140 (2) (3)分钟 【分析】（1）根据速度等于温度除以时间计算即；利用待定系数法求解析式，后求函数值解答即可； （2）分成和两段计算解答即可； （3）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 本题考查了待定系数法求解析式，持续时长的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，， 故答案为：60,140． （2）解：由图象可知：当时，； 当时，， 综上：． （3）解：当时，设， 将代入得：   ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 反比例函数章末32道压轴题型专训（8大题型） 目录 【经典例题一 求反比例函数值】 1 【经典例题二 判断反比例函数的增减性】 1 【经典例题三 比较反比例函数值或自变量的大小】 2 【经典例题四 已知比例系数求图形面积】 3 【经典例题五 求反比例函数解析式】 4 【经典例题六 反比例函数与几何图形】 5 【经典例题七 解决一次函数与反比例函数的问题】 7 【经典例题八 反比例函数实际应用】 8 【经典例题一 求反比例函数值】 1．（2026九年级上 江苏宿迁·周测）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上 浙江温州·周测）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 3．（2026九年级上 陕西西安·单元测试）当时，反比例函数的最大值为m，则反比例函数的最大值为________．（用含m的式子表示） 4．（2026九年级上 山西临汾·周测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． (1)求k的值． (2)连接，，求证：． 【经典例题二 判断反比例函数的增减性】 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25九年级上·江苏南京·月考）已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为_____________． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点，当时，求的取值范围． 【经典例题三 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·周测）已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 【经典例题四 已知比例系数求图形面积】 1．（23-24九年级上 四川绵阳·单元测试）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 【经典例题五 求反比例函数解析式】 1．（2026九年级上 四川雅安·周测）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东滨州·阶段测试）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 4．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【经典例题六 反比例函数与几何图形】 1．（24-25九年级上·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 4．（23-24九年级上 河南周口·单元测试）如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【经典例题七 解决一次函数与反比例函数的问题】 1．（2024九年级上 湖北武汉·单元测试）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26九年级上·江西·月考）如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25九年级上·陕西·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为___________． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【经典例题八 反比例函数实际应用】 1．（2026九年级上 内蒙古通辽·周测）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 2．（2026九年级上 河南商丘·周测）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 3．（2026九年级上 辽宁抚顺·单元测试）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 4．（24-25九年级上·山西临汾·阶段测试）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 学科网（北京）股份有限公司 $