第一章 反比例函数 小结与思考导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案以“反比例函数”为核心，围绕概念回顾、图像性质归纳及实际问题解决设计学习目标，通过知识准备（概念、图像性质、应用步骤）、考点分析（四大考点）、课后作业的递进式设计，构建完整知识建构路径，体现复习的系统性与连贯性。 亮点在于“结构化学习”知识框架整合反比例关系、图像性质及应用，考点设置反比例与一次函数综合题、极地机器人压强实际问题等任务，培养抽象能力、推理意识与模型意识，促进深度学习。课后作业分层设计，为学生单元学习提供支持，为教师教学提供明确指导。

第一章 反比例函数 小结与思考 学业质量要求： 1．回顾反比例函数的概念，通过实际问题，进一步感受用反比例函数解决实际问题的过程与方法，体会反比例函数是分析、解决实际问题的一种有效的数学模型. 2．归纳总结反比例函数的图像和性质，进一步体会数形结合的数学思想方法. 结构化学习 反比例函数 反比例关系 一、知识准备 （一）反比例函数的概念： 1．一般地，形如 的函数叫做反比例函数. 注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： 或 或 ． 2． 反比例函数（k≠0）中k的几何意义是：过双曲线 （k≠0）上任意引轴轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ． （二）反比例函数的图象和性质： 1．形状：图象是双曲线. 2．位置：（1）当k>0时，双曲线分别位于第________象限内． （2）当k<0时， 双曲线分别位于第________象限内． 3．增减性：（1）当k>0时，_________________， y随x的增大而________． （2）当k<0时，_________________，y随x的增大而______． 4．变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交． 5．对称性：（1）关于__________________成中心对称图形． （2）关于__________________或________________成轴对称图形． (三）用反比例函数解决实际问题 （1）审题：仔细审题，寻找并确定题目中的等量关系； （2）建模：根据等量关系，建立 模型 ； （3）代入、求解：代入 ，确定函数表达式，再利用函数 求值； （4）检验、作答：检验结果是否 ，并 ． 二、考点分析 考点一 反比例函数的概念、图象与性质 1．已知函数 （1）当= 　　　 时，是x的正比例函数； （2）当= 　　　 时，是x的反比例函数． 2．已知反比例函数 （k为常数，k≠2）． （1）若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； （2）若此反比例函数 （k为常数，k≠2），当k2 时； ① 请判断：点M（1，2）是否在这个函数的图像上？ ② 试写出当≤2时，x的取值范围为：________________． ③ 若点A（）、B（）在这个函数的图像上＜0＜，则、和0的大小关系是______________________． 考点二 求反比例函数的表达式 1．若反比例函数 的图象经过点（1，2），则k____________． 2.已知y＝m+n，m与x+1成正比例，n与x成反比例，且x＝1 时，y＝0；x＝2时，y＝2．求y与x之间的函数表达式． 3.双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过y1上任意一点A作y轴的平行线交y2于点B．若S△OAB＝2，则求的函数表达式． 考点三 反比例函数与一次函数的综合运用 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式 的解集； （4）若点在轴上，且，求点的坐标． 考点四 用反比例函数解决实际问题 5．（2026重庆）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 三、课后作业作业设计 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A． B. C. D. 2．关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y的值随x值的增大而减小 C．当x＞﹣2时，y＜﹣3 D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为___． 4. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则_________． 5.阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机 器人，机器人质量为，在冰面上行走时， 四轮均接触冰面。 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A，B，C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变，四轮均需要更换履带）， A，B，C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为 、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 反比例函数 小结与思考解析 学业质量要求： 1．回顾反比例函数的概念，通过实际问题，进一步感受用反比例函数解决实际问题的过程与方法，体会反比例函数是分析、解决实际问题的一种有效的数学模型. 2．归纳总结反比例函数的图像和性质，进一步体会数形结合的数学思想方法. 结构化学习 应用 图象 性质 概念 反比例函数 反比例关系 一、知识准备 （一）反比例函数的概念： 1．一般地，形如 （k≠0）的函数叫做反比例函数. 注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式：或 xy=k 或 ． 2． 反比例函数（k≠0）中k的几何意义是：过双曲线 （k≠0）上任意引轴轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ． （二）反比例函数的图象和性质： 1．形状：图象是双曲线. 2．位置：（1）当k>0时，双曲线分别位于第一、三象限内． （2）当k<0时， 双曲线分别位于第二、四象限内． 3．增减性：（1）当k>0时，在每一象限内， y随x的增大而减小． （2）当k<0时，在每一象限内， y随x的增大而增大. 4．变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交． 5．对称性：（1）关于原点_成中心对称图形． （2）关于x轴或y轴成轴对称图形． (三）用反比例函数解决实际问题 （1）审题：仔细审题，寻找并确定题目中的等量关系； （2）建模：根据等量关系，建立反比例函数模型 ； （3）代入、求解：代入一组对应值，确定函数表达式，再利用函数关系式求值； （4）检验、作答：检验结果是否符合实际意义，并写出完整答案． 二、考点分析 考点一 反比例函数的概念、图象与性质 1．已知函数 （1）当= 　　　 时，是x的正比例函数； （2）当= 　　　 时，是x的反比例函数． 【答案】(1)4；(2)\(-4\) 【知识点】正比例函数定义、反比例函数定义 【分析】正比例函数，次数等于 1，系数不为 0；反比例函数，次数等于，系数不为 0. 【详解】 解：(1)是正比例函数 解得k=4 (2)是反比例函数 2．已知反比例函数 （k为常数，k≠2）． （1）若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； （2）若此反比例函数 （k为常数，k≠2），当k2 时； ① 请判断：点M（1，2）是否在这个函数的图像上？ ② 试写出当≤2时，x的取值范围为：________________． ③ 若点A（）、B（）在这个函数的图像上＜0＜，则、和0的大小关系是______________________． 【答案】 (1)k<2 (2)①不在； ②； ③ 【知识点】反比例函数图象与增减性，点与函数图像关系，反比例函数值比较大小 【分析】(1) 每一支上y随x增大而增大，则； (2) 把代入，解析式为；把点横坐标代入看y是否匹配；解不等式；根据，判断点分别在二、四象限，比较函数值. 【详解】 解：(1)每一支上，y随x增大而增大 (2) 当 ①把x=1代入， 不在函数图像上. ②即 移项： 解得 ③，图像分布二、四象限 ∴点A 在第二象限，； 在第四象限， . 考点二 求反比例函数的表达式 1．若反比例函数 的图象经过点（1，2），则k____________． 【答案】-2 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式 【分析】将已知点坐标代入反比例函数解析式，求出 k 的值. 【详解】解：∵反比例函数 y=的图象经过点 (1，-2)， ∴把 x=1，y=-2 代入 ， ∴ ， 解得 k=-2. 2.已知y＝m+n，m与x+1成正比例，n与x成反比例，且x＝1 时，y＝0；x＝2时，y＝2．求y与x之间的函数表达式． 【答案】 【知识点】正比例函数、反比例函数定义，待定系数法 【分析】根据正比例、反比例关系设 m、n，代入数值列方程组求参数. 【详解】解：∵m 与 x+1 成正比例，设， ∵n 与 x 成反比例，设 ∴ 把 x=1，y=0；x=2，y=2 代入： 解得 ∴，整理得 . 3.双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过y1上任意一点A作y轴的平行线交y2于点B．若S△OAB＝2，则求的函数表达式． 【答案】 【知识点】反比例函数 k 的几何意义，三角形面积计算 【分析】AB 平行 y 轴，S△OAB=S△OBM-S△OAM，第二象限反比例函数 k<0. 【详解】解：设直线 AB 交 x 轴负半轴于 M， 对于 图象在第二象限 ∵ ∴ |k|=6， ∵图象在第二象限，k<0，∴k=-6. ∴的函数表达式为 考点三 反比例函数与一次函数的综合运用 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式 的解集； （4）若点在轴上，且，求点的坐标． （1）【答案】反比例函数：，一次函数：y=-x+3 【知识点】待定系数法求反比例函数、一次函数解析式 【分析】先将点 B (2,1) 代入反比例函数解析式求出 m，确定反比例函数，再求出点 A 坐标，将 A、B 代入一次函数解析式求出 k、b. 【详解】解：把 B (2,1) 代入， ，， 反比例函数表达式为. 把 A (1,a) 代入，，. 将 A (1,2)，B (2,1) 代入 y=kx+b， 解得 ∴一次函数表达式为 y=-x+3. （2）【答案】 【知识点】割补法求平面直角坐标系内三角形面积 【分析】求出一次函数与 x 轴交点 C 的坐标，利用计算面积. 【详解】解：在 y=-x+3 中，令 y=0， ∵ -x+3=0， ∴ x=3， ∴ C (3,0). ， ， ∴. 3.【答案】0<x<1 或 x>2 【知识点】利用函数图象解不等式 【分析】不等式对应一次函数图象在反比例函数图象下方的自变量取值范围，结合交点横坐标与 x>0 确定解集. 【详解】解：两函数交点为 A (1,2)，B (2,1)，且 x>0， 观察图象可得：当 0<x<1 或 x>2 时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴不等式的解集为 0<x<1 或 x>2. 4.【答案】P (0,0) 或 P (6,0) 【知识点】平面直角坐标系三角形面积计算、分类讨论思想 【分析】设 P (t,0)，PC=|t-3|，以 PC 为底、点 A 纵坐标为高，依据面积公式列方程求解. 【详解】解：设 P (t,0)， ∵ C (3,0)， ∴ PC=|t-3|. ∵ ∴ |t-3|=3， ∴ t-3=3 或 t-3=-3， 解得 t=6 或 t=0， ∴点 P 的坐标为 (0,0) 或 (6,0). 考点四 用反比例函数解决实际问题： 5．（2026重庆）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)（）； (2) 或 【知识点】反比例函数的图象和性质等 【分析】（1）求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即​的表达式；根据点沿运动， 速度为，当时，，当时，，分两种情况解答． （2）根据、的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 三、课后作业作业设计 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【知识点】反比例函数的定义 【分析】依据反比例函数定义（k 为常数，k≠0）辨别各个选项. 【详解】解：A、y=2026x 是正比例函数； B、y=x+2026 是一次函数； C、 符合反比例函数定义； D、是正比例函数. 故选 C. 2．关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y的值随x值的增大而减小 C．当x＞﹣2时，y＜﹣3 D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上 【答案】D 【知识点】反比例函数的图象与性质 【分析】根据 k=6>0，结合反比例函数图象性质逐一判断选项. 【详解】解：∵，k=6>0， ∴图象分布在第一、三象限，故 A 错误； 在每个象限内，y 随 x 增大而减小，缺少限定范围，B 错误； 当 x>-2 时，无法确定 y<-3，C 错误； 把 x=1 代入得 y=6，把 x=6 代入得 y=1， ∴点 (1,6) 和点 (6,1) 都在图象上，D 正确. 故选 D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为____________． 【答案】0 【知识点】反比例函数解析式，待定系数法 【分析】将点坐标代入反比例函数解析式，建立方程求出 k. 【详解】解：把 (-1,3) 代入， ∵， ∴k-3=-3，解得 k=0. 4. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则_________． 【答案】4 【知识点】反比例函数解析式，待定系数法，网格坐标读取 【分析】设 M (1,a)，N (2,a-2)，两点满足 即 k=xy，列方程求出坐标，计算 k. 【详解】解：设M (1,a)，则N (2,a-2)， ∵M、N 在 上， ∴a=2(a-2)=k，解得 a=4. 结合网格整数坐标、k>0， ∴k=4. 5.阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机 器人，机器人质量为，在冰面上行走时， 四轮均接触冰面. 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A，B，C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变，四轮均需要更换履带）， A，B，C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为 、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 任务一【答案】(S>0) 【知识点】反比例函数实际应用、压强计算公式 【分析】先计算机器人重力，得到压力大小，结合压强公式列出函数表达式. 【详解】解：， ∵， ∴. 任务二、【答案】应更换 C 型号履带 【知识点】反比例函数应用、面积单位换算、压强计算 【分析】统一面积单位，算出四种履带总接触面积，代入解析式求出压强，与冰面最大压强比较. 【详解】解：单位换算：， A 型号总面积：， ，不安全； B 型号总面积：， ，不安全； C 型号总面积：， ，安全. ∴应更换 C 型号履带. 任务三【答案】立即趴下匍匐缓慢移动或丢弃不重要的装备等（合理即可） 【知识点】压强在生活中的应用 【分析】通过增大受力面积减小压强，防止冰面继续破裂. 【详解】解：趴下匍匐前进，增大人体与冰面接触面积，减小对冰面压强，避免冰面进一步碎裂. 学科网（北京）股份有限公司 $