专题1.2 反比例函数的图像与性质（暑假预习讲义）（3大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026年苏科版九年级数学上学期培优讲义

专题1.2 反比例函数的图像与性质 【本节预习目标】 1.掌握描点法画反比例函数图象的步骤，认识反比例函数的图象是双曲线，理解其对称性特征。 2.理解并掌握反比例函数的性质，能根据比例系数的符号，判断图象所在象限与函数增减性。 3.理解比例系数的几何意义，能利用其计算相关图形的面积，或根据面积反求的值。 4.能利用反比例函数图象的对称性解决简单问题，会判断一次函数与反比例函数图象的共存性。 5.初步掌握反比例函数与一次函数的交点问题，能结合图象用数形结合思想解简单的反比例不等式。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 函数图象画法 描点法画一次函数、正比例函数图象，步骤为列表、描点、连线 反比例函数同样使用描点法作图，自变量需注意，分正负对称取值，最终图象为光滑曲线 正比例函数性质 正比例函数：时过一、三象限，随增大而增大；时过二、四象限，随增大而减小 反比例函数的性质同样由的符号决定，但增减性限定在每个象限内，图象为双曲线而非直线 坐标系对称性 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数；关于直线对称的点横、纵坐标互换 反比例函数图象具有中心对称性与轴对称性，可利用对称性快速求交点坐标、拼接图形面积 知识点1：反比例函数的图象 1.图象形状 反比例函数（为常数，）的图象叫做双曲线，由两支独立的曲线组成。图象永远不与轴、轴相交，只是无限靠近坐标轴。 2.描点法作图步骤 ①列表：自变量取若干对互为相反数的非零值，计算对应的函数值； ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸。 3.对称性 ①中心对称：图象关于原点中心对称。若点在双曲线上，则点也一定在双曲线上； ②轴对称：图象关于直线和直线轴对称。 知识点2：反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数的符号决定，具体对比如下： 的符号 图象所在象限 增减性 图例 第一、三象限 在每个象限内，随的增大而减小 第二、四象限 在每个象限内，随的增大而增大 注意：增减性必须强调“在每个象限内”，不能笼统地说“随的增大而减小/增大”，因为两支曲线位于不同象限，跨象限时不满足该增减规律。 知识点3：比例系数的几何意义 1.矩形面积结论 过反比例函数图象上任意一点，分别向轴、轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积恒等于。 2.三角形面积结论 过反比例函数图象上任意一点向其中一条坐标轴作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒等于。 3.逆向应用 已知相关图形的面积可先求出，再结合图象所在的象限确定的符号，进而得到反比例函数的解析式。 【基础巩固题型】 【题型1】反比例函数图象所在象限判断 1.核心知识点 反比例函数的性质；的符号与图象象限的对应关系 2.解题方法技巧 ①先确定比例系数的正负性，含参数时根据题意列不等式求解； ②对应第一、三象限，对应第二、四象限，直接对应判断即可； ③若含平方项，可利用平方的非负性直接判断的符号。 【例题1】.（2026·云南楚雄·二模）反比例函数的图象位于（    ）． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数中的符号，即可判断图象所在象限，当时，图象位于第一、三象限，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 【变式题1-2】.（2026·云南·一模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．先根据图象经过的点的坐标求出值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 该反比例函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 【题型2】反比例函数增减性辨析 1.核心知识点 反比例函数的增减性；“每个象限内”的前提条件 2.解题方法技巧 ①判断增减性先看的符号，时每个象限内随增大而减小，时相反； ②描述增减性必须加上“在每个象限内”，缺少该前提的表述都是错误的； ③可通过举跨象限反例的方式，判断增减性描述的正误。 【例题2】.（2026·江苏徐州·二模）反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】解：∵反比例函数，， ∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当时，y随x的增大而增大. 【变式题2-1】.（2026·湖南长沙·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，结合，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第二、四象限，选项A错误； ∵，当时，y的值随x的增大而增大，选项B错误； 当时，，当时，，包含的情况，因此不是所有满足的y都满足，选项C错误； 若点在函数图象上，则，整理得，即， 因此点满足函数解析式，故也在该函数图象上，选项D正确． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如果一个反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是________（只需写一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的反比例函数表达式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为. ∵反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小， ∴. 取，可得这个反比例函数的表达式可以是. （答案不唯一） 【变式题2-3】.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 【答案】（大于的数均可） 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质，当时，在各象限内随的增大而增大是解题关键，根据题意列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大， ，解得：， 的值可以是（大于的数均可）． 【题型3】反比例函数值大小比较 1.核心知识点 反比例函数的增减性；各象限内函数值的符号特征 2.解题方法技巧 ①先根据各点横坐标的符号，判断每个点所在的象限； ②结合的符号，确定不同象限内函数值的正负，先通过正负初步排序； ③同一象限内的点，再用增减性比较大小，最终得到完整排序。 【例题3】.（2026·湖南永州·二模）若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，将各点横坐标代入函数解析式求出对应y值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在的图像上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 【变式题3-1】.（2026·天津河东·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式计算出对应的，再比较大小即可得到结果． 【详解】解 点，，都在反比例函数的图象上. 将代入得 ， 将代入得 ， 将代入得 ， ， ． 【变式题3-2】.（2026·天津滨海新区·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将三个点的坐标分别代入反比例函数，求出、、的值，再比较大小即可，也可以根据反比例函数的性质进行求解． 【详解】方法一：把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ， ， 方法二：，， 当时，， , 和的纵坐标均大于，， 时，函数单调递减，则有值越大，值越小， , ， 综上：． 【变式题3-3】.（2026·天津东丽·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出横坐标的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 【题型4】的几何意义之面积计算 1.核心知识点 反比例函数的几何意义；矩形、直角三角形面积公式 2.解题方法技巧 ①过双曲线上的点向两轴作垂线形成的矩形，面积直接等于； ②连接原点形成的直角三角形，面积为； ③面积为正值，与的符号无关，已知直接代入计算即可。 【例题4】.（25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 【变式题4-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 【变式题4-2】.（2026·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据已知坐标和三角形的面积关系，分别计算面积即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， ∵把点，，分别代入，得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∵设点C为直线与y轴的交点， ∴点C的坐标为， ∴． 【变式题4-3】.（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 【题型5】待定系数法求反比例函数解析式 1.核心知识点 反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法 2.解题方法技巧 ①设函数解析式为（）； ②将图象上已知点的横、纵坐标代入，计算得到的值； ③将代回解析式，写出最终结果；也可直接计算横、纵坐标的乘积得到。 【例题5】.（25-26八年级下·上海·期末）点在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式___________． 【答案】 【分析】用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为 ， 将点代入解析式得 ， 解得， 因此该反比例函数的解析式为． 【变式题5-1】.（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)当时，随增大如何变化． 【答案】(1) (2)点在该函数图象上 (3)当时，随增大而减小 【分析】（1）利用待定系数法求出的值即可； （2）利用函数图象上点的坐标特点判断即可； （3）利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：把点代入得，解得， 反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 点在该函数图象上； （3）解：， 当时，随增大而减小． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·上海·期末）已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 【答案】 与的函数关系式为；当时， 【分析】先根据正比例和反比例的定义，分别设出y与x、z与y的解析式，利用待定系数法求出对应系数，再整理得到z与x的函数关系式，最后代入x的值计算z即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； ∵与成反比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； 把代入，得， ∴， 即与的函数关系式为， 当时，代入得． 【培优提升题型】 【题型6】反比例函数图象的对称性应用 1.核心知识点 反比例函数的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征 2.解题方法技巧 ①正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，已知一个交点坐标，横、纵坐标同时变号即可得到另一个交点坐标； ②利用中心对称性，可将分散的阴影面积进行拼接，简化面积计算； ③关于直线对称的点，横、纵坐标互换。 【例题6】.（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 【变式题6-2】.（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 【题型7】反比例函数与一次函数图象共存判断 1.核心知识点 一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；符号一致性判断 2.解题方法技巧 ①先假设其中一个函数的图象正确，推导比例系数的符号； ②用推导得到的符号验证另一个函数的图象是否符合其性质； ③若两个函数推导的系数符号一致，则图象正确，否则错误。 【例题7】.（2026·安徽滁州·三模）在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况当或时，函数图象所经过的象限进行判断即可. 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 【变式题7-1】.（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 【题型8】利用图形面积求的值 1.核心知识点 的几何意义；图形面积的割补法；的符号判断 2.解题方法技巧 ①通过割补、平移等方法，将不规则图形的面积转化为与相关的矩形或三角形面积； ②根据面积计算出的值； ③结合函数图象所在的象限，确定的正负，最终得到的值。 【例题8】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 【变式题8-1】.（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 【变式题8-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 【变式题8-3】.（2026·江西上饶·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【详解】（1）解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． （2）解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系． 【压轴素养题型】 【题型9】结合图象解反比例不等式 1.核心知识点 函数图象与不等式的关系；数形结合思想；交点的分界作用 2.解题方法技巧 ①先求出两个函数图象的交点横坐标，以及反比例函数的间断点； ②以交点和原点为分界点，将轴分成若干区间； ③观察每个区间内两个函数图象的上下位置，图象在上方的函数值更大，对应的范围即为不等式的解集。 【例题9】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点． (1)求a和k的值； (2)点P在射线上，过点P作轴，垂足为R，直线与反比例函数的图像交于点Q，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为 【分析】（1）点代入反比例函数，即可求出a，进而确定点坐标；再将代入正比例函数，即可求出k； （2）由射线解析式为，设点横坐标为，则；由轴得，直线与反比例函数交点为．根据列绝对值方程，分、两类求解，舍去无效解后得，即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴ 解得， 综上所述，，； （2）解：如图， 由（1）可知，射线的解析式为， ∵点在射线上， ∴设点的横坐标为，则点的坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点的坐标为， ∵直线与反比例函数交于点， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 当时，即， 此时 解得（舍去负根），符合； 当时，即， 解得，不符合，舍去， 综上所述，，此时， ∴点的坐标为． 【变式题9-1】.（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为．  (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当一次函数的函数值大于反比例函数值时，请直接写出自变量的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据一次函数图象上的点的坐标特征求得点A的坐标，再代入求解k值即可解答； （2）先联立方程组求得点B坐标，再求得一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴点A的坐标为． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立方程组，解得或，  ∴，  由图象可知，当一次函数的函数值大于反比例函数值时，自变量x的取值范围是或． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)点，分别在直线和双曲线上，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)32 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出k，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论； （2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）作直线，上下移动与和相交，结合函数图象分析确定即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴， ∴一次函数解析式，反比例函数解析式； （2）解：令，则， ∴， ∵点E是点C关于x轴的对称点， ∴， ∴， ∴； （3）解：作直线，上下移动与和相交，如图， 点，分别在直线和双曲线上，当时，由图可得在点上方且在轴下方或点上方时符合条件， 此时或． 【变式题9-3】.（2026·山东淄博·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m，n的值和反比例函数的解析式； (2)若点B关于原点O的对称点为，求的面积； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)8 (3)或 【分析】（1）将，分别代入，求出m，n的值，再将代入，得到，即可解答； （2）先推导出，连接，，，令直线与y轴交于点C，得到点C坐标为，再根据三角形的中线及面积进行求解即可． （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 将代入，得 ， 解得 ，， 将代入，得 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意得，点关于原点的对称点为， 连接，，，如图 令直线与y轴交于点C，则 当时，， ∴点C坐标为， 为的中点， ； （3）解：由图象可知，当时，或． 【题型10】反比例函数与几何图形综合 1.核心知识点 反比例函数点的坐标特征；特殊几何图形的性质；坐标与线段的转化 2.解题方法技巧 ①设出图象上关键点的坐标，利用几何图形的性质（如矩形对边相等、等腰直角三角形边相等）表示出其他点的坐标； ②根据点在反比例函数图象上，横纵坐标乘积为，列出方程求解； ③注意多解情况的讨论，结合象限舍去不符合的解。 【例题10】.（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； 【详解】（1）解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； （2）解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ∴点、， . 【变式题10-1】.（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，N． (1)求反比例函数的表达式及a的值； (2)若将直线向下平移得到新的直线与反比例函数的图象交于点C，D，连接，，当四边形是矩形时，求平移的距离； (3)若点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数在第一象限内的图象于点P．若，求点T的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线计算可得，即，再利用待定系数法计算即可得出反比例函数的解析式； （2）求出，由勾股定理可得，设直线向下平移的距离为，则直线向下平移后的解析式为，联立得，整理可得，设点，，则，，，，表示出，由矩形的性质可得，由此计算即可得出结果； （3）求出，从而可得，设点，由（2）可得，，则，，求出直线的解析式为，联立，求出，求出直线的解析式为，设直线与轴交于点，则，，表示出，结合，得出，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入直线可得， ∴，即， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立， 解得或， 由（1）可得， ∴， ∴， 设直线向下平移的距离为，则直线向下平移后的解析式为， 联立得， 整理可得， 设点，， ∵直线与反比例函数的图象交于点C，D， ∴，，、是方程的两个根， ∴，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴平移的距离为； （3）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵点T在y轴上， ∴设点， 由（2）可得，， ∵点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点P在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交于点， 当时，，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴或， ∴点T的坐标为或． 【点睛】一次函数的平移法则：上加下减，左加右减；矩形的性质：对边相等． 【变式题10-2】.（2026·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交点，与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一、第三象限的图象分别交于点C、D，在直线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)存在，或 【分析】（1）根据图象解题即可； （2）根据待定系数法解题即可； （3）过点作直线交于点，交轴于点，直线与轴交于点，结合平行四边形的性质、平移的性质、等腰三角形的性质进行解题． 【详解】（1）解：由图可知，当一次函数的图象在反比例函数图象上方，即时，或， 且一次函数的图象与反比例函数的图象的交点横坐标为和， ∴当时，或； （2）解：由题意知，，， 代入反比例函数解析式中，有 ， 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：对于，当时，；当时，； ∴，， 直线向左平移2个单位长度，得到直线：， 联立， 解得， ∵点在第一象限， ∴， 当时，， ∴； 如图，过点作直线交于点，交轴于点，直线与轴交于点， 则有， 令，解得， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 设直线，代入，， ∴， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， 设，则有 ， 即， 解得， ∴， ∴； 联立， 解得，即； 当时，由对称性可知，点为的中点， 设的横坐标为， 则有， 解得， ∴， 即， 综上所述，存在，且或． 【变式题10-3】.（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，试比较与的大小，直接写出答案； (3)点在x轴负半轴上，连接，将线段平移，使点A与点B重合，点P的对应点Q恰好落在反比例函数图像上，求n的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）把点代入，可得到反比例函数的解析式再把点代入，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）根据平移的性质可得线段向右平移5个单位，再向下平移5个单位到达线段，从而得到点，再把点代入，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：观察图象得：当时，反比例函数的图象在一次函数的图象的上方， 即； （3）解：∵将线段平移，使点A与点B重合，且点，， ∴线段向右平移5个单位，再向下平移5个单位到达线段， ∵， ∴点， 把点代入得： ，解得：． 易错点 1、忽略反比例函数增减性“在每个象限内”的前提，笼统描述函数的增减变化，导致跨象限比较函数值大小时出错。 2、运用的几何意义时，忽略绝对值，直接认为面积等于，未结合象限判断的符号，导致符号错误。 3、判断函数图象共存问题时，未对系数符号进行统一验证，或忽略一次函数常数项对图象位置的影响。 4、解反比例不等式时，漏掉这个分界点，或忽略自变量的取值范围，导致解集出错。 重点 1、反比例函数的图象特征与性质，能根据的符号判断图象所在象限与增减性。 2、比例系数的几何意义，能利用其计算图形面积或反求的值。 3、待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数对称性的基础应用。 难点 1、跨象限的函数值大小比较，以及对增减性前提条件的准确理解与规范表述。 2、的几何意义与图形割补结合的面积计算，以及反比例函数与几何图形的综合问题。 3、数形结合思想解反比例不等式，以及反比例函数与一次函数的综合应用。 一、单选题 1．已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 2．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 3．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 二、填空题 4．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，图象有一支在第三象限，可得比例系数为正数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支在第三象限， ∴， 解得． 5．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 【详解】解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 6．如图，菱形中，轴，点A在反比例函数图象上，点B、C均在反比例函数的图象上，，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】设A点的坐标为，，根据题意列方程组，即可求出的中点的横纵坐标，再根据菱形的性质得经过的中点且垂直，即可得B、D的横坐标，将点B的横坐标代入求出纵坐标，再根据D点与B点关于对称，即可求出D点的坐标． 【详解】解：设A点的坐标为，， ∵，轴， 组成方程组， 解得， 又∵的中点到点C的距离为， ∴的中点的横坐标为，纵坐标为A的纵坐标为， ∵四边形是菱形， ∴经过的中点且垂直， ∴点B的横坐标也为，代入得，， ∴点B的坐标为， ∵D点与B点关于对称， ∴D点的坐标为． 三、解答题 7．已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)第一、三象限 (3) 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据反比例函数的性质即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上， ∴， 解得； ， 解得； （2）由（1）可得， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限； （3）根据题意得：， 解得． ∴所有这样的点的横坐标的取值范围是． 8．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：不等式时x的解集为或． 9．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求点A、B的坐标及反比例函数的表达式． (2)若点P是x轴上一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转，点A的对应点恰好能落在反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意，得点A、B关于原点对称，即可得出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N．利用旋转的性质证明全等，设，从而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式求出的值，进而得到的长，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得点A、B关于原点对称． ∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴，；． 将代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，则 由旋转，得，． ∴， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． ②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N， 同①，可得， ∴， 设，则， ∴， 将代入，得， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． 综上所述，点P的坐标为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答案； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数的表达式得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 把点代入得， ∴， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得关于 的不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，，解得， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为或点C的横坐标为， ∴点C的坐标为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 反比例函数的图像与性质 【本节预习目标】 1.掌握描点法画反比例函数图象的步骤，认识反比例函数的图象是双曲线，理解其对称性特征。 2.理解并掌握反比例函数的性质，能根据比例系数的符号，判断图象所在象限与函数增减性。 3.理解比例系数的几何意义，能利用其计算相关图形的面积，或根据面积反求的值。 4.能利用反比例函数图象的对称性解决简单问题，会判断一次函数与反比例函数图象的共存性。 5.初步掌握反比例函数与一次函数的交点问题，能结合图象用数形结合思想解简单的反比例不等式。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 函数图象画法 描点法画一次函数、正比例函数图象，步骤为列表、描点、连线 反比例函数同样使用描点法作图，自变量需注意，分正负对称取值，最终图象为光滑曲线 正比例函数性质 正比例函数：时过一、三象限，随增大而增大；时过二、四象限，随增大而减小 反比例函数的性质同样由的符号决定，但增减性限定在每个象限内，图象为双曲线而非直线 坐标系对称性 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数；关于直线对称的点横、纵坐标互换 反比例函数图象具有中心对称性与轴对称性，可利用对称性快速求交点坐标、拼接图形面积 知识点1：反比例函数的图象 1.图象形状 反比例函数（为常数，）的图象叫做双曲线，由两支独立的曲线组成。图象永远不与轴、轴相交，只是无限靠近坐标轴。 2.描点法作图步骤 ①列表：自变量取若干对互为相反数的非零值，计算对应的函数值； ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸。 3.对称性 ①中心对称：图象关于原点中心对称。若点在双曲线上，则点也一定在双曲线上； ②轴对称：图象关于直线和直线轴对称。 知识点2：反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数的符号决定，具体对比如下： 的符号 图象所在象限 增减性 图例 第一、三象限 在每个象限内，随的增大而减小 第二、四象限 在每个象限内，随的增大而增大 注意：增减性必须强调“在每个象限内”，不能笼统地说“随的增大而减小/增大”，因为两支曲线位于不同象限，跨象限时不满足该增减规律。 知识点3：比例系数的几何意义 1.矩形面积结论 过反比例函数图象上任意一点，分别向轴、轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积恒等于。 2.三角形面积结论 过反比例函数图象上任意一点向其中一条坐标轴作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒等于。 3.逆向应用 已知相关图形的面积可先求出，再结合图象所在的象限确定的符号，进而得到反比例函数的解析式。 【基础巩固题型】 【题型1】反比例函数图象所在象限判断 1.核心知识点 反比例函数的性质；的符号与图象象限的对应关系 2.解题方法技巧 ①先确定比例系数的正负性，含参数时根据题意列不等式求解； ②对应第一、三象限，对应第二、四象限，直接对应判断即可； ③若含平方项，可利用平方的非负性直接判断的符号。 【例题1】.（2026·云南楚雄·二模）反比例函数的图象位于（    ）． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【变式题1-2】.（2026·云南·一模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【题型2】反比例函数增减性辨析 1.核心知识点 反比例函数的增减性；“每个象限内”的前提条件 2.解题方法技巧 ①判断增减性先看的符号，时每个象限内随增大而减小，时相反； ②描述增减性必须加上“在每个象限内”，缺少该前提的表述都是错误的； ③可通过举跨象限反例的方式，判断增减性描述的正误。 【例题2】.（2026·江苏徐州·二模）反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【变式题2-1】.（2026·湖南长沙·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如果一个反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是________（只需写一个）． 【变式题2-3】.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 【题型3】反比例函数值大小比较 1.核心知识点 反比例函数的增减性；各象限内函数值的符号特征 2.解题方法技巧 ①先根据各点横坐标的符号，判断每个点所在的象限； ②结合的符号，确定不同象限内函数值的正负，先通过正负初步排序； ③同一象限内的点，再用增减性比较大小，最终得到完整排序。 【例题3】.（2026·湖南永州·二模）若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·天津河东·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·天津滨海新区·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·天津东丽·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【题型4】的几何意义之面积计算 1.核心知识点 反比例函数的几何意义；矩形、直角三角形面积公式 2.解题方法技巧 ①过双曲线上的点向两轴作垂线形成的矩形，面积直接等于； ②连接原点形成的直角三角形，面积为； ③面积为正值，与的符号无关，已知直接代入计算即可。 【例题4】.（25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【变式题4-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【变式题4-3】.（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【题型5】待定系数法求反比例函数解析式 1.核心知识点 反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法 2.解题方法技巧 ①设函数解析式为（）； ②将图象上已知点的横、纵坐标代入，计算得到的值； ③将代回解析式，写出最终结果；也可直接计算横、纵坐标的乘积得到。 【例题5】.（25-26八年级下·上海·期末）点在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式___________． 【变式题5-1】.（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)当时，随增大如何变化． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·上海·期末）已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 【培优提升题型】 【题型6】反比例函数图象的对称性应用 1.核心知识点 反比例函数的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征 2.解题方法技巧 ①正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，已知一个交点坐标，横、纵坐标同时变号即可得到另一个交点坐标； ②利用中心对称性，可将分散的阴影面积进行拼接，简化面积计算； ③关于直线对称的点，横、纵坐标互换。 【例题6】.（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【变式题6-1】.（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【变式题6-2】.（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式题6-3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【题型7】反比例函数与一次函数图象共存判断 1.核心知识点 一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；符号一致性判断 2.解题方法技巧 ①先假设其中一个函数的图象正确，推导比例系数的符号； ②用推导得到的符号验证另一个函数的图象是否符合其性质； ③若两个函数推导的系数符号一致，则图象正确，否则错误。 【例题7】.（2026·安徽滁州·三模）在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型8】利用图形面积求的值 1.核心知识点 的几何意义；图形面积的割补法；的符号判断 2.解题方法技巧 ①通过割补、平移等方法，将不规则图形的面积转化为与相关的矩形或三角形面积； ②根据面积计算出的值； ③结合函数图象所在的象限，确定的正负，最终得到的值。 【例题8】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【变式题8-1】.（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式题8-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【变式题8-3】.（2026·江西上饶·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【压轴素养题型】 【题型9】结合图象解反比例不等式 1.核心知识点 函数图象与不等式的关系；数形结合思想；交点的分界作用 2.解题方法技巧 ①先求出两个函数图象的交点横坐标，以及反比例函数的间断点； ②以交点和原点为分界点，将轴分成若干区间； ③观察每个区间内两个函数图象的上下位置，图象在上方的函数值更大，对应的范围即为不等式的解集。 【例题9】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点． (1)求a和k的值； (2)点P在射线上，过点P作轴，垂足为R，直线与反比例函数的图像交于点Q，如果，求点P的坐标． 【变式题9-1】.（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为．  (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当一次函数的函数值大于反比例函数值时，请直接写出自变量的取值范围 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)点，分别在直线和双曲线上，当时，直接写出的取值范围． 【变式题9-3】.（2026·山东淄博·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m，n的值和反比例函数的解析式； (2)若点B关于原点O的对称点为，求的面积； (3)当时，求x的取值范围． 【题型10】反比例函数与几何图形综合 1.核心知识点 反比例函数点的坐标特征；特殊几何图形的性质；坐标与线段的转化 2.解题方法技巧 ①设出图象上关键点的坐标，利用几何图形的性质（如矩形对边相等、等腰直角三角形边相等）表示出其他点的坐标； ②根据点在反比例函数图象上，横纵坐标乘积为，列出方程求解； ③注意多解情况的讨论，结合象限舍去不符合的解。 【例题10】.（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积． 【变式题10-1】.（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，N． (1)求反比例函数的表达式及a的值； (2)若将直线向下平移得到新的直线与反比例函数的图象交于点C，D，连接，，当四边形是矩形时，求平移的距离； (3)若点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数在第一象限内的图象于点P．若，求点T的坐标． 【变式题10-2】.（2026·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交点，与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一、第三象限的图象分别交于点C、D，在直线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，试比较与的大小，直接写出答案； (3)点在x轴负半轴上，连接，将线段平移，使点A与点B重合，点P的对应点Q恰好落在反比例函数图像上，求n的值． 易错点 1、忽略反比例函数增减性“在每个象限内”的前提，笼统描述函数的增减变化，导致跨象限比较函数值大小时出错。 2、运用的几何意义时，忽略绝对值，直接认为面积等于，未结合象限判断的符号，导致符号错误。 3、判断函数图象共存问题时，未对系数符号进行统一验证，或忽略一次函数常数项对图象位置的影响。 4、解反比例不等式时，漏掉这个分界点，或忽略自变量的取值范围，导致解集出错。 重点 1、反比例函数的图象特征与性质，能根据的符号判断图象所在象限与增减性。 2、比例系数的几何意义，能利用其计算图形面积或反求的值。 3、待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数对称性的基础应用。 难点 1、跨象限的函数值大小比较，以及对增减性前提条件的准确理解与规范表述。 2、的几何意义与图形割补结合的面积计算，以及反比例函数与几何图形的综合问题。 3、数形结合思想解反比例不等式，以及反比例函数与一次函数的综合应用。 一、单选题 1．已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 二、填空题 4．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 5．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 6．如图，菱形中，轴，点A在反比例函数图象上，点B、C均在反比例函数的图象上，，则点D的坐标为______． 三、解答题 7．已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 8．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 9．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求点A、B的坐标及反比例函数的表达式． (2)若点P是x轴上一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转，点A的对应点恰好能落在反比例函数的图象上，求点P的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $