第二章 一元二次方程重难点检测卷 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 一元二次方程单元复习检测卷，覆盖全章知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合科技前沿（如低空经济研发）、文化传承（《九章算术》）等情境，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配九年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、应用|结合图形面积（第2题）、古文问题（第9题）| |填空题|8/24|根与系数关系、实际应用|销售利润模型（第17题）、运动问题（第18题）| |解答题|10/66|解方程、综合应用、几何代数结合|阅读理解求最值（第22题）、方阵与生产问题（第25、26题）|

第二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·单元测试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 2．（23-24九年级上·四川德阳·期中）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 【答案】D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 3．（25-26九年级上·重庆·单元测试）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 4．（2026九年级上 甘肃嘉峪关·阶段测试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 6．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据根的判别式的意义对A、D进行判断；利用因式分解法解方程可对B进行判断；根据直接开平方法解方程可对C进行判断． 【详解】解：A．，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．或，解得，，即方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意； C．，解得，，即方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．，方程没有实数根，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解发、直接开平方法解一元二次方程，其中，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7．（23-24九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理表示出；利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是列代数式，矩形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·单元测试）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 9．（24-25九年级上·河北保定·单元测试）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴， 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 10．（25-26九年级上·陕西咸阳·单元测试）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 12．（25-26九年级上·河北张家口·单元测试）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 13．（23-24九年级上·广东惠州·阶段检测）如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由，可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的利用整体法解方程是解本题的关键． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·单元测试）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 15．（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 【答案】1或2023/2023或1 【分析】先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况． 【详解】解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程（a≠0）的一个根为， ∴， 此时， 故答案为1或2023． 【点睛】本题考查了换元法，解题时注意不要忘记的情况． 16．（2026九年级上 江苏徐州·阶段测试）已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 18．（23-24九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    【答案】1或4/4或1 【分析】若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24九年级上 山东枣庄·阶段测试）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 21．（25-26九年级上 全国）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 22．（23-24九年级上·广东惠州·单元测试）阅读理解：求代数式的最小值. 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1. 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案； （2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是9； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方． 23．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 24．（23-24九年级上·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 25．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 【答案】解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可． 【详解】略 26．（25-26九年级上·重庆渝北·单元测试）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 27．（23-24九年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 如图，已知，为坐标轴正半轴上的两点，且满足，点P从点O开始在线段上向点A以每秒2个单位的速度运动；点Q从点B开始在线段上向点O以每秒1个单位的速度运动如果P、O同时出发，运动时间为t（秒）．    (1)求a，b的值； (2)填空：斜边上的高________； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)连接，请探究：能否成为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)1秒或3秒 (4)能， 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性列方程解决即可； （2）借助面积列式计算即可； （3）用含t的式子表示的面积，再列方程解决即可； （4）由题意只能是顶角，此时，则，列方程解出即可． 【详解】（1）解：∵，而，， ∴，， ∴，； （2）解： 在中，， ∵斜边AB上的高为h， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由已知得，，，，， 当的面积是面积的时， ， 即， 整理得， 解得，， 经检验，这两个解都符合题意， 所以，当的面积是面积的时，t的值是1秒或3秒； （4）解：能成为等腰三角形， 在中，． ∵是的一个外角， ∴， ∴如果是等腰三角形，只能是顶角，此时， ∴， ∴， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 所以，当时，能成为等腰三角形． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、直角三角形性质、等腰三角形性质及一元二次方程的应用，根据题意列出方程解决是关键． 28．（25-26九年级上·山东济南·单元测试）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·单元测试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川德阳·期中）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 3．（25-26九年级上·重庆·单元测试）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026九年级上 甘肃嘉峪关·阶段测试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 6．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C．0 D． 7．（23-24九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·单元测试）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北保定·单元测试）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 10．（25-26九年级上·陕西咸阳·单元测试）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12．（25-26九年级上·河北张家口·单元测试）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 13．（23-24九年级上·广东惠州·阶段检测）如果，那么的值为______． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·单元测试）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 15．（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 16．（2026九年级上 江苏徐州·阶段测试）已知，是方程的两个实数根，则=________． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 18．（23-24九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24九年级上 山东枣庄·阶段测试）解分式方程：． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 21．（25-26九年级上 全国）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 22．（23-24九年级上·广东惠州·单元测试）阅读理解：求代数式的最小值. 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1. 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 23．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 24．（23-24九年级上·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 25．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 26．（25-26九年级上·重庆渝北·单元测试）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 27．（23-24九年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 如图，已知，为坐标轴正半轴上的两点，且满足，点P从点O开始在线段上向点A以每秒2个单位的速度运动；点Q从点B开始在线段上向点O以每秒1个单位的速度运动如果P、O同时出发，运动时间为t（秒）．    (1)求a，b的值； (2)填空：斜边上的高________； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)连接，请探究：能否成为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由． 28．（25-26九年级上·山东济南·单元测试）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $