第2章 一元二次方程 单元学情调研试题 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根与系数关系及实际应用，梯度合理，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|根的判别式（第6题）、应用题（第9、10题）|基础概念辨析，如第4题考查解法选择| |填空题|5/15|直接开平方法（第12题）、增长率（第15题）|聚焦运算细节，如第14题结合相反数| |解答题|8/55|新定义“同伴方程”（第21题）、新能源电池成本（第22题）|分层设计，材料阅读（第20题）与利润问题（第23题）体现应用意识|

参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. ，  13.   14.   15.   16. 【小题】 变形，得， 两边同时开平方，得， ， 【小题】 分解因式，得， 即， ， 【小题】 配方，得， 两边开平方，得， ， 【小题】 ， ， ，。  17. 【小题】 根据题意，得，且，解得 【小题】 存在  有两种情况：当满足，且时，解得，则方程变为，解得；当满足，且时，解得，则方程变为，解得  18. 【小题】 证明：， 方程总有两个实数根． 【小题】 解关于的一元二次方程，得． ，． 由题意，得或 解得或． 的取值范围是或．  19. 【小题】 解：方程有实数根， 解得． 【小题】 ，． ， ，即解得，． 由，得．的值为．  20. 【小题】 ， 【小题】 解：设，则原方程可化为， ，解得，． 当时， 当时，，， 此方程无实数根， 原式  21. 【小题】 【小题】 解一元二次方程，得，． 当相同的根是时，，解得 当相同的根是时，，解得． 综上所述，的值为或 【小题】 关于的一元二次方程同时满足和， 关于的一元二次方程的两个根是，． 的两个根是，，且关于的一元二次方程与互为“同伴方程”， 或．  22. 设这两年该电池成本的年平均下降率为，由题意，得， 解得，不合题意，舍去． 答：这两年该电池成本的年平均下降率为．  23. 【小题】 设每件商品的售价定为元，则每件商品的利润为元，日销售量为件．根据题意，得整理，得，解得，商家想尽快销售完该款商品，答：每件商品的售价应定为元  【小题】 设该款商品打折销售．根据题意，得，解得答：该款商品至少需打折销售   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章一元二次方程单元学情调研试题 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，关于的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 2.若一元二次方程的一个根为，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 3.方程的解为(    ) A. B. C. ， D. ， 4.下列方程，最适合用公式法求解的是(    ) A. B. C. D. 5.用配方法解方程时，原方程可变形为(    ) A. B. C. D. 6.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 7.已知，是方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是  (    ) A. B. C. D. 9.如图，一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.某种花卉每盆的盈利与每盆植的株数有一定的关系．当每盆植株时，平均每株的盈利为元；若每盆每多植株，则平均每株的盈利减少元．若要使每盆的盈利达到元，则每盆应多植多少株？设每盆应多植株，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若方程是关于的一元二次方程，则的值为          ． 12.用直接开平方法解方程时，可转化为两个一元一次方程，分别是          ． 13.已知，且，则的值为          ． 14.若关于的方程的两根互为相反数，则的值为          ． 15.某学校图书馆年年底有图书万册，预计到年年底增加到万册，设图书数量的年平均增长率为，可列方程为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.用适当的方法解下列方程： 。 17.已知关于的方程，回答下面的问题： 若方程是一元二次方程，求的值． 若方程是一元一次方程，则的值是否存在？若存在，请求出的值，并求出方程的解． 18.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根 若方程的两个实数根一个小于，另一个大于，求的取值范围． 19.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20.材料：二次三项式，方程可以这样解：，或，，． 问题：方程的根是           已知实数满足求代数式的值． 21.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”例如：方程和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 根据上述定义，有下列方程：其中，属于“同伴方程”的有          填序号． 关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值． 若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 22.在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续年保持新能源汽车年产销量全球第一随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，年电池成本约为元千瓦时，年电池成本约为元千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率． 23.某电商在网上对一款成本为每件元的商品进行销售，如果按每件元的价格销售，那么每天可售出件．通过市场调查发现，每件商品的售价每降低元，日销售量就增加件． 若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件商品的售价应定为多少元？ 张叔叔的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件元．为提高市场竞争力，促进线下销售，张叔叔决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该款商品至少需打几折销售？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $