第29章 圆（大单元教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦《圆》的核心知识，涵盖定义、性质、位置关系及计算。通过生活情境（车轮、投圈游戏）和动手操作（画圆）导入，衔接直线几何（三角形、四边形）知识，构建从具体到抽象的学习支架。 以“圆的对称性”为主线整合单元内容，通过折叠、测量等探究活动（如垂径定理、圆周角定理）培养直观想象与逻辑推理，多元评价（过程性+终结性）助力精准教学。帮助学生提升数学建模能力，为教师提供结构化教学与分层指导方案。

第二十八章旋转 （大单元教学设计） 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 1. 在初中数学课程体系中的定位 第29章《圆》是初中几何学习的核心收尾章节，属于平面几何中曲线图形的重要内容.在此之前，学生已经系统学习了直线、射线、线段、三角形、四边形等直线型几何图形的有关性质和证明.本章是在直线型几何知识基础上，引导学生探索一种特殊的曲线型图形——圆，是从直线几何过渡到曲线几何的关键载体.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合.这些独特的性质使圆成为连接几何变换、代数计算与实际应用的桥梁.本章的学习，既是对此前所学平面几何知识的综合运用与深化总结，也为高中阶段进一步学习解析几何、三角函数等内容奠定重要基础. 2. 本章内容结构 第29章《圆》的知识体系主要分为三大模块： 圆的基础概念（29.1）：圆的定义、圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、等弧等基本概念； 圆的核心性质（29.2）：垂直于弦的直径的性质（垂径定理）、弧弦圆心角之间的关系、圆周角定理及其推论，以及点与圆、直线与圆的位置关系； 弧长与扇形面积计算（29.3）：弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积. 本章知识点之间联系紧密，兼具概念性、逻辑性和应用性。垂径定理、圆心角定理、圆周角定理是几何证明、角度计算、线段计算的核心依据，弧长与扇形面积公式广泛应用于生活实际问题. 3. 中考地位 本章在中考数学中占有重要地位，所涉及的命题大都与圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关.其知识综合性较强，是考查学生几何直观、逻辑推理和综合运用能力的重要载体. 新课标衔接与核心素养 本章的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等方面： 数学抽象：从生活中的圆形物体（车轮、硬币、圆形建筑等）抽象出圆的概念，理解“到定点的距离等于定长的点的集合”这一集合定义. 逻辑推理：在探究垂径定理、圆心角定理、圆周角定理的过程中，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，培养合情推理和演绎推理能力.圆的知识运用具有高度的综合性，需要学生综合运用三角形、四边形等知识进行推理证明. 数学建模：通过解决实际生活中与圆相关的问题（如计算圆形花坛面积、确定圆心位置、拱桥设计等），增强学生的数学建模能力. 直观想象：通过动手操作（折叠圆形纸片、测量圆心角和圆周角等）和探究活动，发展学生的空间观念，提高对圆相关图形的直观认识和空间想象力. 数学运算：在弧长、扇形面积、圆锥侧面积等计算中，培养学生的运算能力. 大单元整体教学是着眼于知识结构的教学，将“具有内在联系”的教学内容进行重整并形成相对完整的教学单元，促进学生对单元知识的整体把握.就本章而言，应以“圆的对称性”为大概念主线，将圆的定义、性质、位置关系、计算等内容有机串联，帮助学生构建“圆”的系统认知结构。本章小结中，应按照圆的有关概念、性质、计算，绘制系统的知识结构图，帮助学生回顾反思本章内容. 学情分析 （一）已有知识基础 学生在小学阶段已经对圆有了初步的认识，能够辨别生活中的圆形物体，体会到圆在交通运输、土木建筑、生活等方面广泛存在.学生已经会利用圆规画圆，经历了在操作活动中探索圆的性质的过程，初步了解了圆所具有的一些性质，并能用自己的语言加以简洁描述.这些感性认知和操作经验为进一步探究圆的定义及相关性质奠定了基础. 进入九年级，学生已经系统学习了三角形、特殊三角形、四边形、特殊四边形等直线型几何图形的知识，具备了一定的几何直观、空间想象和逻辑推理能力.学生已经熟练掌握直线型几何图形的相关知识，具备基础的观察、分析和抽象概括能力.这些知识和能力储备为本章从直线几何向曲线几何的跨越提供了必要支撑. （二）学习困难与挑战 圆作为一种特殊的曲线图形，与之前学习的多边形有着本质区别，其概念和性质更为抽象。例如，对于圆的集合定义“到定点的距离等于定长的点的集合”，学生可能难以直观理解；对圆的相关性质掌握也较少. 在探究圆的性质（如垂径定理、圆周角定理）时，需要学生具备较强的逻辑推理能力和空间想象力，这对学生来说是一个较大的跨越.学生在将圆的知识应用到实际问题中时，可能会出现知识迁移困难、无法准确建立数学模型等问题.在运用圆的相关性质解决实际问题时，可能面临复杂的计算和推理过程. （三）学习特点与教学对策 九年级学生在学习兴趣上，对具有探索性和挑战性的问题表现出较高的热情。他们在逻辑推理和空间想象力方面具备一定能力，喜欢通过操作实践和合作交流来学习，学习风格多样，有的偏向于直观感受，有的则更擅长抽象思考. 因此，在教学设计中应注重以下几点： 从生活情境出发，激发学习兴趣，实现从小学到初中对圆的认识的顺利过渡； 加强动手操作和探究活动，通过折叠、测量、作图等方式帮助学生建立直观感受； 注重知识的结构化呈现，帮助学生构建系统的认知框架； 针对学生的个体差异，提供分层指导，关注基础薄弱学生的概念理解和学优生的思维拓展. 单元教学目标知识与技能 1. 理解圆的定义及相关概念：理解圆的描述性定义和集合定义（到定点的距离等于定长的点的集合）；认识圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等概念，能从图形中准确识别并规范表示；了解点与圆的位置关系. 2. 掌握圆的核心性质：探索并证明垂径定理及其推论；掌握弧、弦、圆心角之间的关系；探索并掌握圆周角定理及其推论（圆周角等于同弧所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形对角互补）；理解圆的轴对称性和旋转不变性. 3. 掌握与圆有关的位置关系：了解不在同一直线上的三个点确定一个圆；了解三角形的外心. 4. 掌握圆的计算方法：掌握弧长公式和扇形面积公式；理解圆锥的侧面展开图，掌握圆锥的侧面积和全面积的计算方法；了解正多边形与圆的关系. 5. 掌握尺规作图方法：能过不在同一直线上的三点作圆；能作三角形的外接圆. 数学思考 1. 发展抽象思维能力：通过观察生活中的圆形物体，经历从具体情境中抽象出圆的概念的过程，理解数学概念来源于生活实际的本质. 2. 培养逻辑推理与论证能力：在垂径定理、圆周角定理的探究与证明中，经历观察—猜想—验证—证明的完整过程，学会用演绎推理进行几何证明；在弧弦圆心角关系的探究中，体会从特殊到一般的归纳方法. 3. 发展空间观念与几何直观：通过折叠圆形纸片、利用几何画板动态演示等操作活动，感受圆的对称性，建立对圆相关图形的空间想象能力. 4. 体会转化与化归的数学思想：在解决圆的相关问题时，能将未知问题转化为已知问题（如将圆周角问题转化为圆心角问题），体会转化思想在数学学习中的重要作用. 问题解决 1. 能运用圆的知识解决简单几何问题：能综合运用垂径定理、圆心角定理、圆周角定理等进行角度计算、线段计算和几何证明. 2. 能建立圆的数学模型解决实际问题：能将生活中的圆形物体、弧形建筑、扇形设计等实际问题抽象为圆的数学模型；能运用弧长公式、扇形面积公式解决与圆有关的圆锥等实际测量和计算问题. 3. 能进行简单的尺规作图操作：能根据条件独立完成过不在同一直线上三点作圆、作三角形的外接圆等尺规作图. 4. 发展综合运用与创新思维能力：在解决与圆有关的综合性问题中（如圆与三角形、四边形、函数、方程的综合），培养分析问题、解决问题的综合能力. 情感态度 1. 激发数学学习兴趣：通过联系生活中丰富的圆形实例（车轮、圆形建筑、投圈游戏等），感受圆在实际生活中的广泛应用，激发探索圆的奥秘的热情. 2. 培养科学探究精神：在圆的性质的发现与证明过程中，养成大胆猜想、严谨求证的科学态度；通过合作交流与探究活动，增强团队合作意识和交流表达能力. 3. 增强数学应用意识：通过运用圆的知识解决实际问题，体会数学来源于生活又服务于生活，培养用数学眼光观察世界的意识. 4. 渗透爱国主义教育：结合赵州桥等蕴含圆知识的我国著名建筑进行教学，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；在数学文化的浸润中增强民族自豪感. 5. 培养严谨求实的科学态度：在几何证明和计算中，养成言必有据、一丝不苟的学习习惯，树立学好数学的自信心. 学习活动设 圆的基础概念活动一 圆的核心性质活动二 弧长与扇形面积计算活动三 单元整合活动四 学习评价设计 过程性评价 过程性评价贯穿大单元教学全过程，聚焦学生的学习过程与即时表现，及时诊断教学问题、激励学生进步。本单元过程性评价从以下四个维度展开： （一）课堂观察与即时评价 教师通过课堂提问、学生板演、小组讨论、草图绘制等方式，捕捉学生的学习行为和思维轨迹。评价聚焦以下方面： 评价维度 观察要点 评价标准 概念理解 能否准确表述圆的定义、圆心角、圆周角、弦、弧等概念 优秀：表述规范准确；良好：基本正确但有遗漏；需改进：表述模糊或错误 性质掌握 能否正确运用垂径定理、圆周角定理等进行推理 优秀：推理严谨完整；良好：思路正确但表达欠规范；需改进：定理运用错误 参与程度 课堂发言、小组合作的积极性与质量 从“参与度、探究能力、合作意识、思维深度”四个维度进行实时评价 作图能力 圆规作图的规范性、尺规作图的准确性 优秀：作图规范精准；良好：基本正确；需改进：作图存在明显错误 （二）课时作业评价 每课时结束后，布置分层作业，采用形成性评价方式，允许学生根据作业情况进行多次修改后给出评价. 1. 基础性作业（全体必做） 以教材课后习题为主，重点巩固圆的基本概念、半径直径关系、垂径定理的直接应用、弧长与扇形面积和圆锥的侧面积等的基本计算等. 2. 发展性作业（选做） 设计综合性较强的几何证明与计算题，如综合运用垂径定理和圆周角定理解决复杂问题. 3. 拓展性作业（挑战） 设计联系实际的开放性任务，如“运用圆的知识为学校设计一个圆形花坛的灌溉方案”“用弧长和扇形面积知识设计一个扇形统计图”等. 作业评价采用学生自评、同伴互评与教师评价相结合的方式，从“解题规范性、思路清晰度、答案准确性”三个维度进行等级评定. （三）探究活动表现评价 针对本章的探究活动（如垂径定理的发现、圆周角定理的验证、弧长和圆锥侧面积公式的推导等），设计表现性评价任务： 垂径定理探究：通过折叠圆形纸片，观察垂直于弦的直径的性质，记录发现过程并写出证明思路. 圆周角定理探究：利用几何画板或量角器测量同弧所对的圆周角和圆心角，归纳得出结论. 弧长公式推导：通过计算不同圆心角所对的弧长，经历从特殊到一般的归纳过程. 评价标准： 优秀 能独立完成探究，发现规律并给出严谨证明，能清晰表达探究过程 良好 能在教师引导下完成探究，理解规律并能进行简单证明 需改进 需要较多帮助才能完成探究，对规律的理解不够深入 （四）学习档案袋评价 为每位学生建立《圆》单元学习档案袋，收录以下材料： 1. 概念整理单：每节课后整理的核心概念、定理及其图形表示； 2. 错题反思本：记录典型错题，分析错误原因并写出正确解法； 3. 思维导图：单元学习过程中逐步完善的圆的知识结构图； 4. 探究报告：探究活动的记录与反思. 档案袋评价在单元中期和结束时各进行一次，重点关注学生的知识建构过程和思维发展轨迹. 终结性评价 终结性评价在本单元学习结束时进行，旨在全面考查学生对本单元知识与技能的掌握情况以及核心素养的发展水平. （一）单元综合测试 全面检测学生在以下方面的达成情况： 圆的基本概念和性质的掌握程度；垂径定理、圆周角定理的理解与运用；点与圆关系的判断；弧长、扇形、圆锥的侧面积的计算能力；综合运用圆的知识进行几何证明和解决实际问题的能力. 测试结束后，从以下维度进行试卷分析： 试题难度分析：统计各题得分率，诊断教学薄弱环节；知识点分布分析：对照单元教学目标，检视各知识点的达成情况；典型错误分析：归类整理学生常见错误，分析错误原因. （二）综合实践活动评价 设计一个与圆相关的综合实践活动作为终结性评价的组成部分，如：项目任务：“为学校设计一个圆形花坛及周边步行道”. 评价内容：圆的几何设计（半径、直径、圆心确定）、弧长与面积和圆锥侧面积计算（扇形花坛面积、弧形步道长度）、设计报告的规范性与美观性. 评价采用教师评价与小组互评相结合的方式，从“数学知识运用、问题解决能力、合作交流、创新意识”四个维度进行评定. 反思性教学改进 反思性教学改进是连接评价与教学改进的关键环节，旨在通过系统的教学反思，不断优化教学设计，提升教学质量. （一）教师教学反思 1. 课前反思 本单元教学目标的设定是否合理、可测？ 教学活动的设计是否能够有效达成目标？ 学情分析是否准确，教学起点定位是否恰当？ 2. 课中反思 学生在课堂上的参与度和思维活跃度如何？ 学生对核心概念（如圆周角定理）的理解是否到位？ 教学节奏是否合适，是否需要调整教学策略？ 3. 课后反思 教学目标是否达成？达成度如何？ 哪些教学环节效果良好，哪些需要改进？ 学生的典型错误反映了哪些教学问题？ 建立“三层反思”模式，通过录音或录像自己的课堂，分析提问质量、师生互动效果，提出改进建议. （二）学生反思 引导学生开展单元反思，可从以下问题入手： 知识梳理：“通过本章学习，我掌握了圆的哪些知识？能用思维导图表示出来吗？” 方法总结：“我学会了哪些研究圆的性质的方法？这些方法还能用在什么地方？” 困惑与收获：“本章学习中我遇到了哪些困难？是如何克服的？最大的收获是什么？” 学生反思可以采用“单元反思单”的形式，在单元学习结束后填写，作为学习档案袋的组成部分. （三）教学改进措施 基于过程性评价和终结性评价的反馈，制定以下教学改进策略： 学生对圆周角定理理解不深 增加几何画板动态演示，强化从特殊到一般的探究过程. 垂径定理证明步骤不规范 设计专项训练，规范几何证明的书写格式. 弧长与扇形面积公式混淆 通过对比教学，引导学生理解公式的异同与内在联系；理解由圆锥侧面转化为扇形面积，并能掌握计算公式及运算方法. 综合题解题思路不清晰 加强“分析法”训练，引导学生从结论出发逆向寻找解题路径. 实际应用建模能力不足 增加情境化、项目化的学习任务，强化数学建模意识. （四）评价与教学的闭环 本单元建立“评价—反馈—改进—再评价”的闭环机制： 1. 过程性评价持续监测学习进程，即时反馈，及时调整教学策略； 2. 终结性评价全面检测学习成果，系统诊断教学问题； 3. 反思性教学改进整合两类评价结果，形成改进方案； 4. 改进方案在后续教学（如下一单元或复习课）中落实，并通过新一轮评价验证改进效果. 单元教学结构图 教学设计 圆的基础概念活动一 · 情境引入 1. 生活情境——车轮为什么是圆的？ 教师展示各种车辆的图片（自行车、汽车、火车等），提出问题：“同学们观察一下，这些车辆的车轮都是什么形状？为什么车轮要做成圆形的？如果做成正方形或三角形，会出现什么情况？” 学生分组讨论，教师引导： 正方形车轮滚动时，中心到地面的距离会变化，车辆会上下颠簸； 圆形车轮滚动时，中心到地面的距离始终保持不变，车辆平稳行驶. 2. 游戏情境——投圈游戏 教师呈现情境：几位同学正在做投圈游戏，目标（奖品）在中间，同学们呈“一”字排开. 提出问题：“这样的队形对每个人都公平吗？应该排成什么队形才公平？” 学生思考后得出：应该围成一个圆圈，因为圆上各点到圆心（目标）的距离都相等. 3. 动手操作——画圆 每位学生用圆规在纸上画一个圆，教师请一位学生在黑板上用绳子（一端固定，另一端系粉笔）画圆. （设计意图：从生活现象入手，让学生感受圆在生活中的广泛应用，激发学习兴趣。通过“车轮为什么是圆的”这一问题，引导学生从“圆上各点到定点距离相等”这一本质属性思考问题；投圈游戏则让学生在实际情境中体会圆的公平性原理；动手画圆则为后续抽象定义提供直观经验。三个情境层层递进，从感性认识到理性思考，为抽象出圆的定义做好铺垫.） · 探究新知 探究点1 圆的定义 （1）旋转定义 教师引导学生回顾画圆的过程，观察圆规画圆时发生了什么. 定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 圆心： 固定的端点O叫做圆心； 半径： 线段OA叫做半径； 记法： 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”. 追问引导： 从画圆的过程可以看出，圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么特点？ 学生回答：圆上各点到圆心的距离都等于半径. （2）集合定义 教师引导：“反过来想，到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成什么图形？” 定义： 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 强调： 圆是一条封闭的曲线，是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线，而不是曲面. （3）确定圆的两个要素 教师展示几组图形： 圆心相同、半径不同的圆（同心圆）； 半径相同、圆心不同的圆。 结论： 确定一个圆需要两个要素——圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小）. 探究点2 与圆有关的概念 （1）弦和直径 教师画图演示： 弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦； 直径： 经过圆心的弦叫做直径. 强调：直径是弦，是经过圆心的特殊弦；但弦不一定是直径。直径是圆中最长的弦. （2）弧 弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 半圆： 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 劣弧： 小于半圆的弧叫做劣弧； 优弧： 大于半圆的弧叫做优弧. （3）等圆与等弧 等圆： 能够重合的两个圆叫做等圆，即半径相等的两个圆； 等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 探究点3 点与圆的位置关系 教师引导：既然圆是到定点距离等于定长的点的集合，那么平面内的点与圆有怎样的位置关系？ 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 点P在圆外 ⇔ d > r； 点P在圆上 ⇔ d = r； 点P在圆内 ⇔ d < r. （设计意图：从画圆的实际操作抽象出圆的旋转定义，再从旋转定义引导学生发现“圆上各点到圆心距离相等”的本质，进而引出集合定义——完成了从“怎么做”到“是什么”再到“为什么”的认知升华。这一过程渗透了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法.弦、弧等概念的引入则通过图形直观展示，帮助学生建立清晰的概念图式.点与圆的位置关系的探究，既是对集合定义的深化理解，也为后续学习直线与圆的位置关系做好铺垫.） · 应用新知 例1 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）直径是弦，弦也是直径. （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆. （3）半径相等的两个圆是等圆. （4）长度相等的两条弧是等弧. 【分析】：本题考查对圆的相关概念的准确理解。中的类似题目可作参考. 【详解】解：（1）错误.直径是弦（经过圆心的弦），但弦不一定是直径——只有经过圆心的弦才是直径. （2）正确.半圆是弧的一种（直径分圆所得），但弧还包括优弧和劣弧，不一定都是半圆. （3）正确.能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆能够完全重合. （4）错误.等弧必须是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，仅仅长度相等不一定能重合. 例2 已知⊙O的半径为5 cm. （1）若OP = 3 cm，则点P在⊙O的______； （2）若OQ = 5 cm，则点Q在⊙O的______； （3）若OR = 7 cm，则点R在⊙O的______. 【分析】：本题考查点与圆的位置关系的判断方法——比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系. 【详解】解：（1）OP = 3 cm < 5 cm = r，点P在圆内； （2）OQ = 5 cm = r，点Q在圆上； （3）OR = 7 cm > 5 cm = r，点R在圆外. 例3 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上. 【分析】：本题考查圆的集合定义的应用。要证明四个点在同一个圆上，只需证明它们到同一点（圆心O）的距离相等. 【详解】解：在矩形ABCD中，对角线AC=BD，且对角线互相平分； ∴ OA=OC=½AC，OB=OD= ½BD； 又∵ AC = BD，∴ OA=OB=OC=OD； ∴ 点A、B、C、D到点O的距离相等，都等于½AC； 根据圆的集合定义，到定点距离等于定长的点在同一个圆上； ∴ A、B、C、D四点在以O为圆心，½AC为半径的同一个圆上. （设计意图：例题以课本为蓝本，既覆盖了本节课的核心知识点，又体现了从基础到综合的能力培养路径.） 圆的核心性质活动二 · 情境引入 复习回顾，制造冲突 问题1： 同学们，在活动一中我们已经学习了圆的定义和基本概念。请大家回忆：过一个三角形的三个顶点，能否作一个圆？为什么？ 可以.因为三角形的三个顶点不在同一条直线上，确定一个圆心（三角形外心），即可作出这个三角形的外接圆. 问题2： 既然过任意三角形的三个顶点都能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点都能作一个圆吗？ 学生自由发言，意见不一.教师展示一组四边形（矩形、正方形、普通平行四边形、等腰梯形等）的图形. 追问： 有些四边形的四个顶点能在同一个圆上，有些却不能.那么，一个四边形的四个顶点能够共圆，需要满足什么条件呢？ （设计意图：从学生已掌握的“过三角形的三个顶点能作一个圆”这一旧知出发，自然过渡到“过四边形的四个顶点能否作圆”这一新问题，通过认知冲突激发学生的探究欲望.“四点共圆”的条件探究，既是对圆的性质的综合运用，又为后续圆周角定理的学习提供了重要的知识载体.同时，从三角形到四边形的拓展，渗透了“从简单到复杂”的数学研究方法，引导学生体会知识之间的联系与迁移.） · 探究新知 探究点1 操作感知——尝试作图，发现问题 活动1：动手画一画 学生分组活动：教材图3给出了一些四边形（矩形、正方形、菱形、等腰梯形、一般四边形等），请各小组尝试分别过这些四边形的四个顶点作圆. 要求：（1）先判断能否作出一个圆经过四个顶点； （2）能作圆的，作出图形并标出圆心； （3）不能作圆的，说明理由. 学生动手操作，小组交流.教师巡视指导. 问题： 你们发现哪些四边形可以四个顶点共圆？哪些不能？ 学生汇报观察结果：矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点可以共圆；一般的平行四边形、一般四边形不能共圆. 探究点2 度量猜想——寻找规律，提出假设 活动2：测量内角，发现关系 问题： 对于能够共圆的四边形，它的内角之间有什么特殊关系？请各小组测量能共圆的四边形的四个内角，寻找规律. 学生动手测量、记录、计算. 引导学生发现：能够共圆的四边形，其对角互补（即相对的两个内角之和为180°）. 追问： 这个发现对吗？请各组再测量几组能共圆的四边形加以验证. 学生进一步验证，确认规律成立. 猜想： 如果一个四边形四个顶点共圆，那么它的对角互补. 探究点3 推理论证——证明猜想，形成定理 活动3：证明发现 教师引导学生利用圆周角的知识进行证明. 已知： 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上. 求证： ∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. 证明思路引导： ∠A是圆周角，它所对的弧是弧（不经过点A的那条弧）； ∠C是圆周角，它所对的弧是（不经过点C的那条弧）； 这两条弧合起来恰好是整个圆周，即两条弧的度数之和为360°； 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半； ∴ ∠A＋∠C＝×（两条弧的度数之和）＝×360°＝180°. 同理可证∠B＋∠D＝180°. 教师总结：圆内接四边形的对角互补. 探究点4 逆向探究——探索判定，完整结论 活动4：逆向思考 问题1： 如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点是否一定共圆？ 引导学生利用反证法进行探究：假设四个顶点不共圆，过其中三个顶点作圆，第四个顶点在圆外或圆内，结合对角互补的条件推出矛盾. 结论： 如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点共圆. 归纳： 四点共圆的判定条件——四边形的对角互补 ⇔ 四个顶点共圆. （设计意图：探究新知环节遵循“操作—猜想—验证—证明—归纳”的完整探究路径以学生动手操作和自主探究为主线，在“做数学”中感悟“圆内接四边形对角互补”这一核心性质，体会“性质与判定”的辩证关系.） · 应用新知 例1：在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠C＝100°，请判断A、B、C、D四个点是否在同一个圆上，并说明理由. 【分析】本题考查四点共圆判定条件的直接应用。题目给出了四边形的一组对角∠A和∠C的度数，计算发现∠A+∠C＝80°+100°＝180°，即对角互补。根据“对角互补的四边形四个顶点共圆”这一判定定理，可以判断A、B、C、D四个点在同一个圆上. 【详解】解：∵ ∠A＝80°，∠C＝100°（已知） ∴ ∠A＋∠C＝80°＋100°＝180°（等式的性质） 即四边形ABCD的对角互补. ∴ A、B、C、D四个点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 答： A、B、C、D四个点在同一个圆上. 例2 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝70°，求∠C的度数. 【分析】本题考查圆内接四边形性质的直接应用。已知四边形ABCD内接于⊙O，根据“圆内接四边形的对角互补”这一性质，∠A与∠C是一组对角，因此∠A＋∠C＝180°。已知∠A＝70°，代入即可求出∠C的度数. 【详解】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形（已知）， ∴ ∠A＋∠C＝180°（圆内接四边形的对角互补）. 又∵ ∠A＝70°（已知）， ∴ 70°＋∠C＝180°， ∴ ∠C＝180°－70°＝110°. 答： ∠C的度数为110°. 例3 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，连接AC、BD。若∠A＝35°，∠C＝45°，求∠B和∠D的度数. 【分析】本题考查圆周角定理与圆内接四边形性质的综合运用。观察图形，A、C、B、D四个点都在⊙O上，因此四边形ACBD是圆的内接四边形。根据圆内接四边形对角互补的性质，∠A与∠B互补，∠C与∠D互补.已知∠A＝35°，∠C＝45°，即可求出∠B和∠D的度数. 【详解】解：∵ 点A、C、B、D都在⊙O上， ∴ 四边形ACBD是⊙O的内接四边形. ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°（圆内接四边形的对角互补） 又∵ ∠A＝35°，∠C＝45°（已知）， ∴ ∠B＝180°－∠A＝180°－35°＝145°， ∠D＝180°－∠C＝180°－45°＝135°. 答： ∠B的度数为145°，∠D的度数为135°. （设计意图：涵盖了“判定—求角—综合推理”三个能力层次，符合“理解—掌握—运用”的学习进阶规律。每道例题均配有详细的分析与解答过程，既可作为教师讲解的范例，也可作为学生自主学习的支架，帮助学生逐步提升几何推理与问题解决能力.） 弧长与扇形面积计算活动三 · 情境引入 创设情境，提出问题 问题1： 同学们，在运动会的4×100米接力赛中，观察跑道——为什么运动员的起跑线不在同一处？这样比赛公平吗？ 学生讨论后回答：因为外圈跑道的弯道比内圈长，起跑线前移是为了弥补弯道长度的差异，确保每位运动员跑的总路程相同. 追问： 那么，弯道部分的路程究竟有多长？如何计算一段圆弧的长度呢？ 问题2： （教师展示扇形图）生活中有许多扇形物体——扇子、披萨、风扇叶片等。如果要给一把扇子贴上装饰纸，需要多少材料？这就涉及到扇形面积的计算. 问题3： （教师出示弯形管道图片）制造弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料。如图，管道的弯角处是一段圆弧，如何求出这段圆弧的长度？ (设计意图:以学生熟悉的“跑道起跑线差异”为切入点，从生活现象中引出“弧长需要计算”的需求；以“扇子用料”“弯形管道下料”等实际问题为载体，让学生感受到弧长和扇形面积计算在生活中的广泛应用。三个问题分别对应“弧长”和“扇形面积”两个核心内容，形成认知驱动，激发学生的学习兴趣和探究欲望，体现“数学来源于生活、服务于生活”的理念。同时，从跑道、扇子等实物中抽象出“弧”和“扇形”的数学模型，培养学生的数学抽象素养.) · 探究新知 （一）弧长公式的探究 活动1：回顾旧知，寻找思路 问题1： 圆的周长公式是什么？（C = 2πR） 问题2： 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？（360°） 追问： 既然圆的周长对应360°的圆心角，那么1°的圆心角所对的弧长是多少？ 学生思考回答：1°的圆心角所对的弧长 = 2πR ÷ 360 = . 问题3： n°的圆心角所对的弧长呢？ 引导学生归纳：n°的圆心角所对的弧长是1°圆心角所对弧长的n倍. 弧长公式： 其中， 表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示圆的半径. 强调： 公式中n表示1°圆心角的倍数，不带单位. （二）扇形面积公式的探究 活动2：认识扇形 教师展示扇形图形，引导学生观察其特征. 定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 辨析练习： 判断下列图形中哪些阴影部分是扇形. 活动3：类比推导扇形面积公式 问题1： 圆的面积公式是什么？（S = πR²） 问题2： 圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形面积？（360°） 问题3： 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 学生回答：1°的圆心角所对的扇形面积 = πR² ÷ 360 = . 问题4： n°的圆心角所对的扇形面积呢？ 引导学生类比弧长公式的推导过程，归纳扇形面积公式. 扇形面积公式： 活动4：发现弧长与扇形面积的关系 问题： 观察弧长公式 和扇积公式 ，你能发现它们之间的联系吗？ 引导学生变形推导： 扇形面积的另一个公式： 强调： 已知弧长 和半径R时，可用 求扇形面积，更加简便. （三）圆锥面积 观察与讲解：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.它可以看作是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. r、h、的关系：在由母线、高、底面半径组成的直角三角形中， 追问1：圆锥的侧面展开后得到一个什么图形？（扇形） 追问2：这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？为什么？ （扇形的半径 = 圆锥的母线长 展开时，扇形上的每一点到顶点的距离都是母线长.） 追问3：这个扇形的弧长与圆锥的什么有关？为什么？ （扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，展开后，原来底面圆周上的点展开了，弧长对应原来的底面周长.） 侧面积公式推导： 追问1：圆锥的侧面积是什么平面图形的面积？ 是展开后扇形的面积. 追问2：圆锥的侧面积公式怎样得到？ == ×弧长×半径 代入对应关系：弧长 = 2πr，半径 =. == ×2πr×=πr 全面积公式推导： = + =πr+ =πr(+r) 追问3：已知扇形的圆心角n和母线长，如何求底面半径r？ （由 2πr = 得 r = ） (设计意图:探究新知环节遵循“从整体到部分、从已知到未知”的认知规律。弧长公式的推导从圆的周长（整体）出发，逐步过渡到1°圆心角所对的弧长（部分），再到n°圆心角所对的弧长，让学生经历“特殊到一般”的归纳过程；扇形面积公式的推导采用类比迁移的策略，引导学生模仿弧长公式的推导路径自主探究，培养知识迁移能力；关系探究环节通过对比两个公式，发现扇形面积与弧长之间的内在联系，得到 ，体现数学知识的结构性和统一性.圆锥的侧面积转化为扇形面积，得到圆锥侧面公式.整个环节注重“公式的来龙去脉”，让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，培养逻辑推理和数学建模素养.) · 应用新知 例1. 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料。如图，管道的弯角部分是一段圆弧，已知圆弧所在圆的半径R = 900 mm，圆心角∠AOB = 100°，求这段圆弧的弧长（结果取整数）. 【分析】追问1：管道的展直长度由哪几部分组成？（两段直线段 + 中间一段弯道弧长） 追问2：图中弯道对应的圆心角是多少度？（100°）半径是多少？（900 mm） 追问3：如何求这段弧长？ （代入弧长公式计算） 【详解】解：由弧长公式，可得弯道弧的长： 因此所要求的展直长度 答：管道的展直长度约为2970 mm. 例2 已知扇形的半径为6 cm，圆心角为60°，求该扇形的面积. 【分析】本题考查扇形面积公式的直接应用。已知半径R = 6 cm，圆心角n = 60°，代入扇形面积公式 即可求解。 详解： 由扇形面积公式 ， 代入 R = 6，n = 60， （cm²） 答： 该扇形的面积为 6πcm² 例3.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 【分析】追问1：有水部分的面积在图中是哪一部分？（弓形——扇形OAB减去△OAB） 追问2：已知半径OC=0.6 m，水面高CD=0.3 m，OD是多少？（OD = 0.6 - 0.3 = 0.3 m） 追问3：在Rt△AOD中，OD与OA有什么关系？（OD=OA，所以∠OAD=30°，∠AOD=60°） 追问4：∠AOB等于多少度？（120°） 追问5：如何求有水部分的面积？ （=-） 【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C. 由题意，OC = 0.6 m，CD = 0.3 m， ∴ OD = OC - CD = 0.3 m。 在Rt△AOD中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m， ∴OD=OA，∠OAD = 30°，∠AOD = 60°. 同理∠BOD = 60°，∴ ∠AOB = 120°. =-= －AB·OD=0.12π－×0.6××0.3≈0.22（m²） 答：截面上有水部分的面积约为0.22 m². 例4 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m²、高为3.2 m、外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？ 【分析】追问1：蒙古包由哪两部分组成？（下部圆柱+上部圆锥） 追问2：搭建蒙古包需要用毛毡覆盖哪些面？ （圆柱的侧面 + 圆锥的侧面。底面不需要毛毡，因为铺在地上.） 追问3：已知底面积为12 m²，如何求底面半径r？ （π = 12，r= ≈1.954 m） 追问4：圆柱的侧面积如何求？（= 2πr） 追问5：圆锥的母线如何求？高是多少？ （圆锥高= 3.2-1.8=1.4 m，） 【详解】解：下部圆柱：底面积 = 12 m²，高=1.8m. 上部圆锥：高=3.2-1.8=1.4 m. 底面半径：r=≈ 1.954（m）. 圆柱侧面积：= 2πr≈2 ×3.142×1.954 ×1.8≈ 22.10（m²）. 圆锥母线：（m）. 圆锥侧面积：= πr≈ 3.142× 1.954 ×2.404 ≈14.76（m²） 一个蒙古包所需毛毡：22.10+14.76≈36.86（m²）. 20个蒙古包所需毛毡：20 ×36.86 ≈738（m²）. 答：至少需要738 m²的毛毡. (设计意图:例题涵盖了“直接代公式—单一公式应用—综合建模求解”三个能力层次，符合“理解—掌握—运用”的学习进阶规律。每道例题均配有详细的分析与解答过程，既可作为教师讲解的范例，也可作为学生自主学习的支架，帮助学生逐步提升从“套用公式”到“分析建模”的数学思维能力.) 单元整合活动四 · 情境引入 创设情境，引发思考 问题1： 从活动一到活动三，我们围绕“圆”学习了哪些内容？请同学们回顾并尝试用思维导图的方式梳理出来. 学生自主梳理，小组交流，教师巡视指导.选取有代表性的思维导图进行展示. 问题2： （教师展示一个残缺的圆形工件图片）在车间里，工人师傅遇到了一个问题——一个圆形工件破损了一部分，只剩下一段圆弧，如何确定这个圆原来的圆心和半径？ 问题3： AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，你能结合图中的已知条件，提出哪些与圆有关的问题？ 学生尝试提问：可以求哪些角的度数？可以证明哪些线段相等？可以判断哪些三角形的形状？ 教师引导：从一个基本图形出发，可以衍生出许多与圆的性质相关的问题——垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、圆内接四边形性质等。这说明圆的知识是相互关联、有机统一的整体。今天，我们将对“圆”这一章进行单元整合复习，构建完整的知识体系，提升综合运用能力. （设计意图：以“知识梳理”和“问题驱动”双线并行的方式引入单元整合复习。问题1引导学生自主回顾、梳理本章所学内容，通过绘制思维导图实现知识的系统化和结构化；问题2从“残缺圆工件找圆心”的实际问题切入，体现圆的性质在解决实际问题中的价值；问题3以一个开放性的基本图形为载体，激发学生从多角度思考与圆相关的问题。三个问题层层递进——从回顾整理到实际问题再到开放探究，既激活了学生的已有知识储备，又揭示了本章知识的内在联系，为后续的系统复习和综合应用做好铺垫.） · 探究新知 活动1：完善思维导图，形成知识网络 在引入环节自主梳理的基础上，教师引导学生从以下维度系统整理本章知识： 1. 圆的基本概念 圆的定义（运动观点、集合观点） 弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧 2. 圆的核心性质 对称性：轴对称（任何一条直径所在直线都是对称轴）、中心对称（圆心是对称中心） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆内接四边形：对角互补 3. 点与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系（点在圆内、圆上、圆外） 4. 与圆有关的计算 公式 和扇积公式 ， 扇形面积的另一个公式： 圆锥侧面积：== ×2πr×=πr 活动2：归纳常见解题策略 教师结合典型图形，引导学生总结与圆有关的常用解题方法： 策略1：遇直径，想直角 直径所对的圆周角是90°，常用来构造直角三角形，结合勾股定理求解. 策略2：遇弦，想垂径 涉及弦的问题，常过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理计算弦长、弦心距或半径. 策略3：遇弧，想角 等弧所对的圆周角相等、圆心角相等，常用来进行角度的转化与推理. 策略4：遇四边形，想对角 圆内接四边形对角互补，常用来进行角度的计算与证明. 活动3：从基本图形出发，串联知识 以“直径+弧中点”这一基本图形为载体，教师引导学生系统回顾本章核心知识： 问题链： 连接OC，OC与AB有什么关系？（OC⊥AB，垂径定理） 连接AC、BC，△ABC是什么三角形？（等腰直角三角形，直径所对圆周角为90°） 若延长AC、BD交于点M，△ABM是什么三角形？ 若过点C作CN⊥BM，你能发现哪些线段相等或角相等？ 通过一个图形的层层追问，将垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质、等腰三角形判定等知识串联起来. （设计意图：探究新知环节围绕“知识体系化、方法系统化、思维结构化”三个维度展开。知识梳理环节借助思维导图将零散的知识点串联成有机的整体，帮助学生建立清晰的知识网络；方法提炼环节总结与圆有关的五种常见解题策略，将“隐性经验”显性化，提升学生的解题元认知能力；典型图形环节以一个基本图形为载体，通过层层递进的问题链串联多个知识点。三个活动分别从“是什么（知识）”“怎么做（方法）”“怎么想（思维）”三个层面展开，体现了单元整合复习“由点到线、由线到面”的设计理念，实现从“碎片化学习”到“整体性建构”的跨越.） · 应用新知 例1.如图，中，弦相交于点，，求证：．    【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法“角边角”即可求解． 【详解】解：∵与所对弧相同，与所对弧相同， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 例2.如图，在中，，为的半径，点C为优弧的中点，．求证：．    【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定，通过点为优弧的中点，得，即证明，难度较小． 【详解】证明：如图，连接，    ∵点为优弧的中点， ∴． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 例3.在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式． （1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长； （2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长； （3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空． 【详解】解：（1），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； 小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：； 在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：． 思考：根据以上公式可知， 发现弧长与扇形的面积的关系为． 例4.如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【分析】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）连接，，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，利用勾股定理计算即可． （2）设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得，计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． · 课堂小结 知识技能:圆的有关概念 圆：线段OA绕端点O旋转一周，端点A形成的图形,O为圆心，OA为半径.弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分。劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示。等弧必须在同圆或等圆中能重合.圆心角：顶点在圆心的角.圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.外心：三角形外接圆圆心（三边垂直平分线交点）. 圆的基本性质 对称性：轴对称（任一直径所在直线）、中心对称（圆心）、旋转不变性.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中有一组相等，其余也相等. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半.推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②直径所对圆周角是90°，90°圆周角所对弦是直径；③圆内接四边形对角互补. 点与圆有关的位置关系 点与圆（d为点到圆心距离）：d＜r ⇔ 点在圆内  d＝r ⇔ 点在圆上  d＞r ⇔ 点在圆外. 与圆有关的计算 弧长公式：，扇形面积公式：, 圆锥侧面积：== ×2πr×=πr. 思想方法: 数形结合：位置关系 ⇔ d与r的大小比较，图形与数量互转.分类讨论：圆周角有两种情况（优弧、劣弧），平行弦可能在圆心同侧或异侧.转化化归：圆周角→圆心角；扇形面积→三角形面积；圆锥→扇形展开图；实际问题→圆模型.从特殊到一般：先研究特殊角度、特殊位置，再归纳一般规律.方程思想：求弦长、半径、弦心距时，“过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度”. 易错警示: 概念辨析:直径是弦（最长的弦），但弦不一定是直径;等弧必须同圆或等圆中能重合，仅长度相等不够.垂径定理推论的条件 :“平分弦的直径垂直于弦”中的弦不能是直径（直径互相平分但不一定垂直）.圆周角的计数:一条弦所对的圆周角有两个（分别在优弧和劣弧上），二者互补，不可只写一个. · 当堂练习 一、选择题 1.已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 【详解】解：的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ， 点P与的位置关系是：点在圆外． 故选：A． 2.如图，点A，B，C均在上，若，则（　　） A． B． C． D． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：A． 3.如图，已知四边形内接于，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， 故选：D． 4.已知圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴母线， ∴， 故选：D． 5.如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弦AB的长为（    ） A．10cm B．16cm C．20cm D．24cm 【详解】解：如图，过O作于C，交于D， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴中，， ∴． 故选`：D． 6.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3,AB=8,则FC的长是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【详解】由题知AC为直径,∴∠ABC=90°. ∵OE⊥AB,∴OD∥BC. ∵OA=OC,∴OD为△ABC的中位线, ∴AD=AB=×8=4. 又∵OD=3, ∴OA==5, ∴OE=OA=5. ∵OE∥CF,O是AC的中点, ∴OE是△ACF的中位线, ∴CF=2OE=2×5=10. 故选：A. 二、填空题 7．如图1，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，如图2是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 m．（结果保留） 【详解】解：，半径为， 的长． 故答案为：． 8．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    【详解】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 9．内接于，，则 ． 【详解】解：如图，当点O在内部时， ∵， ∴ 如图，当点O在外部时， ∵， ∴ ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 10． 如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形． (1) 若，三段弧所围成的曲边三角形周长为___________; (2) 若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是 ． 【详解】解：(1)是等边三角形， ， ， 的长度即为以为半径的半圆的弧长， 即：， (2)点A表示的数为， 将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是， 故答案为 ：． 三、解答题 11.如图，在中，，于D，求度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴. 12．已知边长为3的等边三角形内接于，求的半径． 【详解】解：作于D点，连接， ∵等边三角形内接于，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为． 13.母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r． ∴底面周长为：，底面面积为：，侧面积为：， ， ， . 14．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 15.汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路口都设置右转“危险区”标线．图2是货车在路口右转“危险区”的示意图，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，． (1)图2中、，弧围成的扇形面积为_______平方米；（结果保留） (2)用a的代数式表示“危险区”的面积，并求出当时，“危险区”的面积（结果保留）； (3)小明站在线段的延长线上，且与的距离为米的地方，若、之间的距离为3米，请判断小明是否有危险，并说明理由．（取） 【详解】（1）解：后内轮转弯半径米，， 弧围成的扇形面积为（平方米）； （2）解：当时，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，， 如图，补全内轮所在半圆的正方形，则四边形，均是正方形， 弧围成扇形面积为（平方米），正方形的面积为（平方米），正方形的面积为（平方米）， （平方米）； (3)解：有危险，理由如下： 如图，连接并延长一定长度过点E， 米，， （米）， 、之间的距离为3米， （米），延长线与弧的交点到的距离为（米）， 四边形是正方形， ，， ， ， 小明有危险． 单元作业设计 基础达标 1、 选择题 1．在中，，，若将绕点O逆时针旋转，则线段AB扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，由题意可知，线段扫过的面积为以线段为半径的圆面积以为半径的圆的面积， ，， 线段扫过的面积， 故选：A． 2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ）    A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【详解】解：第②块碎片有一段完整的弧，在这段弧上任作两条既不平行也不重合的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长，这样就可配到一块与原来大小一样的圆形玻璃； 故选：B． 3．如图，点A，B，C，D在上，，点是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点B是的中点， ∴， 由圆周角定理得，，故C正确． 故选：C． 4.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 故选B． 5.如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下，对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法    过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法    以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人都错误 【详解】解：由甲的作法可知，为直角三角形， ∴为的外接圆的直径， ∵点O为中点， ∴， ∴点为的外心，故甲的作法正确； 由乙的作法可知，， ∴点为的外心，故乙的作法正确； 故选：A． 6.⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 7.如图，，是的弦，，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接，若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接，    ， ， ， ， 点为上任意一点（点不与点重合）， ， ， ， ∴的度数可能是． 故选：D． 8.如图，为的直径，点、在上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 9.如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】连接、， 是直径， ， ， ， 的度数为， ， ． 故选：B． 10.如图①，点，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（    ） A． B． C．6 D． 【详解】解：根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，， ∴圆的半径， 当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当P点走到点A，O，P三点共线的位置，即点M处时，如图， 此时点P走过的弧长为， ∴点P的运动速度为， ∵当时，， ∴此时， ∴此时是等边三角形， ∴， ∴当时，点P走过的弧长为， ∴． 故选：D 二、填空题 11.如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为 ． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：5． 12.如图，、是上的两点，是直径，，若，则的度数为 . 【详解】解：∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴. 13.如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的长是 ． 【详解】解：连接，则， ∵将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 弧的长， 故答案为：． 14．如图，为等边的外接圆，点在劣弧上运动（不与点重合），连接．则的度数为 ．若的面积是，则的最大值是 ．    【详解】解：∵为等边的外接圆，点在劣弧上运动， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转，得到，    ∴，，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当为直径时，最大， 如图，连接，并延长交于， 则，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴直径为， ∴最大值为； 故答案为：， 三、解答题 15.如图，中，弧弧，，求的度数． 【详解】解：∵中，弧弧， ∴， ∴． 16.如图，，是的两条弦，且，求证：． 【详解】， ， ， ． 17.如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 18．如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    【详解】解：圆的半径为：， ， ， ，解得：， 三角形的高为． 19.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 【详解】解：证明：作OH⊥AB于H，如图， 则AH＝BH， ∵OC＝OD，OH⊥AB， ∴CH＝DH， ∴CH﹣AH＝DH﹣BH， 即AC＝BD． 20.圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 【详解】解：已知，， ∴， 底面圆的周长， 圆锥侧面积， 圆锥底面积， 圆锥全面积． 圆心角． 21．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；    （2）连接,交于, ∵ ， ， 在 中, ， 设的半径为， 在 中, ， 即， . 22.如图，是的直径，点在上，，是垂足．    (1)动手操作：在上作一点，使，连接交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)综合应用：在你所作的图中，求证：； 【详解】（1）如图所示，    ∵ ∴ ∴点D即为所求； （2）证明：∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 23.如图，在中，，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)求证：． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴点B在上． （2）连接，如图， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∵， ∴， （3）分别作，交于点，连结，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即． 能力提升 一、选择题 1.如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：连接，，    ∵同弧所对的圆周角相等， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　） A． B．2π C．π D． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3.已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【详解】解：过点O作于E，于D， 分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当两弦在圆心的两侧，如图，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 的度数为或． 故选C． 4.如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在Rt中，为中点，， 当时，最小，此时矩形的对角线最小， ∵，为弦，为中点， ∴在过的直径上， 而为圆心，则、、三点都在一条直线上； 故、、三点共线时，最小； 此时在Rt中，设，知道，， 有， 有， 解得，(舍去)， ， 故选A． 二、填空题 5.沿一条母线将圆锥的侧面展开，若展开图扇形的圆心角为，则圆锥的高与底面圆的半径的比值为 ． 【详解】如下图所示，由于圆锥侧面展开图是扇形，并且扇形的圆心角为； 故设展开后扇形半径为，圆锥底面圆半径为； 扇形弧长=； ∴； ∴； 在直角三角形中，根据勾股定理； 圆锥的高：； ∴； 故答案为：． 6.如图，在中，直径弦，以为圆心，长为半径画弧，交直径于点，连结并延长交于点，连结，则 °，若，则的长为 ． 【详解】连接，过点作直径，连接， 以为圆心，为半径画弧交直径于点， ， 直径弦， 是的垂直平分线， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 为直径，， ，， ， ， 故答案为：60，． 三、解答题 7.如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，；．    (1)求的度数； (2)连接，若，求的半径． 【详解】（1）解：， ， ， ； ； （2）解：如图，连接，    ，°， ， ， 中， ，， 解得． 8．如图，为的直径，，垂足为点E，，． (1)求的大小； (2)求阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴ （2）解：连接， 由（1）知： ∵为的直径，， ∴ 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得 解得： ∴ 由（1）知： ∴ ∴. 9．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，． 【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）． (1)当时，______； (2)如图3，当时，求的度数，并求出在旋转过程中点C运动的路径长； (3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴当时，点共线，点A，D，C共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：2 （2）解：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在旋转过程中点C运动的路径长为； （3）解：∵点O是的中点，， ∴，即， ∴点O的运动轨迹为以为直径的圆，如图， ∵运动过程中的长是个定值， ∴点P的位置是的中点，这个定值为， ∵， ∴点D在为直径的圆上， ∴， 故答案为：的中点；1，． 10.【教材呈现】（1）如图，直线，与的面积相等吗？为什么？    【基础巩周】（2）如图，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；    【尝试应用】（3）如图，在半径为5的中，，，．求；    【详解】解：（1）与的面积相等，因为与等底等高； （2）如图，连接，，    ，正方形中， ， ，， 阴影面积等于扇形的面积， 四边形是正方形， ， 扇形的面积为：， 阴影面积与圆面积的比值为：； （3）如图，连接，作于E，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 素养挑战 一、选择题 1．如图，是的直径，点在上，，垂足为，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为（    ）    A．2 B． C．5 D．10 【详解】解：连接， 点为的中点， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上，是此圆的直径， ， 在中， ， 由勾股定理得， ， ． 的最大值为．    故选C． 2．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆， E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（     ）    A．2 B．3 C．4 D． 【详解】如图，过点D作关于直线的对称点F，    连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于， 因为四边形是矩形，，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为4， 故选∶C． 4.如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：连接，，    由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角为， 设半圆的半径为r， ， ， 解得： 半径为2， 故选：C． 二、填空题 5.如图，已知、均是的弦，，垂足分别为M，N，若，则的长为 ． 【详解】解：∵垂足分别为， ∴、分别是与的中点， ∴是的中位线， 故答案为：4． 6.如图，为的直径，是的弦，且，， ，图中阴影部分的面积为，则 ．      【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， 即图中阴影部分①的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分②的面积与扇形的面积相等， ∵图1中，圆O的面积为，而图1中阴影部分的面积为 ∴图1中阴影部分的面积占圆面积的一半， 如图2，扇形的面积与图1中阴影部分①的面积相等，扇形的面积与图1中阴影部分②的面积相等， ∵为的直径， ∴， 在图2中，中，， 即， 故答案为：． 三、解答题 7．如图为上的四点，点为延长线上的一点，且，点为弧的中点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【详解】（1） ， ， ， 又四边形为圆内接四边形， ， 为弧的中点， ， ， ， 又， ； （2）由（1）知， 为等腰直角三角形， ， 在Rt中， 由勾股定理得， 又， 在Rt中， 由勾股定理得． 8.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 【详解】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， ∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    任务4：由任务3可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．    9．阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【详解】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，． （2），， ，，， 点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小， 点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）如图3，连接， 点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①结论：， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 10．大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ 图形 条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数． 说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为． (1)问题解决： ①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案） ②计算花坛Ⅱ的半径； ③计算花坛Ⅲ的半径； ④请用含的代数式表示花坛的半径． (2)问题拓展： 兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米． 【详解】（1）解：①连接, 因为， 所以是直径，的中点为圆心， 故米， 所以半径为米； 故答案为：米； ②设半径为米，记圆心为，连接，，如图所示： 因为，， 所以，米， 在，， 即， 解得； ③延长交于点，连接，过点分别作，作，连接，，如图所示： 因为，米， 所以是等腰三角形， 因为， 所以， 因为，延长交于点， 所以， 则是等腰三角形， 所以米， 因为，， 所以四边形是矩形，， 则米，米， 因为米， 所以米， 则米； ④依题意，，米，米，米，为正数． 可构造网格（如图），过点作的延长线上， 根据小正方形网格（边长为）特征， 则米， 易得等腰直角三角形，如图： 即， 所以， 记该圆心为点，以劣弧所对的圆周角为，如图所示： 则， 则． 在中，， 解得米． 故半径为米； （2）解：记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点， 因为，米， 所以， 要使面积最小值， 即取最小值， 因为， 所以， 则是等腰直角三角形， 所以， 设半径为米， 则， 当点，，三点共线时，即点与点重合，如图所示： 则，此时半径最小， 因为是等腰直角三角形， 则, 所以米， 那么， 所以， 解得，（舍去）， 因为， 则米， 所以面积最小值为米， 故答案为：． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $