30.1 直线与圆 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“直线与圆”核心知识点，系统梳理直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）、切线的性质（垂直于过切点的半径等）、切线的判定（过半径外端且垂直）、判定与性质综合应用及切线长定理，构建从定义到性质、判定再到综合应用的递进学习支架。 资料以题型为纲，设“解题知识”模块明晰原理，典例与变式题结合，如切线判定题引导作辅助线培养几何直观，实际情境题（地球赤道、不倒翁）助学生用数学眼光观察现实，提升推理能力与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后过关验收可帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第30章 30.1 直线与圆 内 容 导 航 题型1 直线与圆的位置关系 题型2 切线的性质 题型3 切线的判定 题型4 切线的判定与性质 题型5 切线长定理 考 点 演 练 题型1 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例1】若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【答案】A 【解答】解：∵半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点， ∴圆心O到直线l的距离＞6cm， 故选：A． 【变式1】如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3， ∴直线l与⊙O相交． 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解答】解：∵点（﹣3，4）是圆心， ∴圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3． ∵圆的半径为4， ∴圆心到x轴的距离等于圆的半径，圆心到y轴的距离小于圆的半径， ∴圆与x轴相切，与y轴相交． 故选C． 【变式3】8．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题： （1）将⊙A向左平移　3　 个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为　（2，1）　 ，阴影部分的面积S＝　6　 ； （2）求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】 解：（1）根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A′的坐标是（2，1）； 则移动的距离是5﹣2＝3； 根据平移变换的性质，则阴影部分的面积即为图中平行四边形的面积＝2×3＝6； （2）如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D， 则BC＝2DC． 由A（5，1）可得AD＝1． 又∵半径AC＝2， ∴在Rt△ADC中， DC ∴BC＝2． 题型2 切线的性质 解｜题｜知｜识 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【典例1】如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图， 由对称性可知：圆心O在AC上． AC4． ∵BC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥EC． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°． ∴△OEC为等腰直角三角形． ∴OCOE． ∴CG＝OC﹣OG1． ∴AG＝AC﹣CG＝4（1）＝31． 故选：C． 【变式1】如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为（　　） A．43° B．45° C．47° D．49° 【答案】A 【解答】解：∵∠DOB＝∠BOF＝23.5°， ∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°， 由题意知：GD∥FH， ∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°﹣＝133°， ∵FI是⊙O的切线， ∴FI⊥OF， ∴∠OFI＝90°， ∴∠IFH＝∠OFH﹣∠OFI＝133°﹣90°＝43°， 故选：A． 【变式2】如图，已知BC与⊙O相切于点D，AE是⊙O的直径，当∠ACB＝90°，∠BAD＝26°时，∠CAD的度数是（　　） A．26° B．64° C．34° D．19° 【答案】A 【解答】解：∵BC与⊙O相切于点D， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD∥AC， ∴∠CAB＝∠DOB， ∵OA＝OD，∠BAD＝26°， ∴∠CAB＝∠DOB＝2×26°＝52°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝26°， 故选：A． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27＝0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求⊙M的直径； （2）求直线ON的解析式； （3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）解方程x2﹣12x+27＝0，得x1＝9，x2＝3， ∵A在B的左侧， ∴OA＝3，OB＝9， ∴AB＝OB﹣OA＝6， ∴OM的直径为6（1分）． （2）过N作NC⊥OM，垂足为C，连接MN，则MN⊥ON． ∵sin∠MON， ∴∠MON＝30°， 又cos∠MON， ∴ON＝OM×cos30°＝3； 在Rt△OCN中， OC＝ON•cos30°＝3， CN＝ON•sin30°＝3， ∴N的坐标为（3分）， （用其它方法求N的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分）． 设直线ON的解析式为y＝kx， ∴k， ∴k， ∴直线ON的解析式为（4分）． （3）存在． T1（3，0），T2（﹣3，0），T3（9，0），T4（3，0） 如图2，T1，T2，T3，T4为所求作的点，△OT1N，△OT2N，△OT3N，△OT4N为所求等腰三角形． （每作出一种图形给一分）（8分）． 题型3 切线的判定 解｜题｜知｜识 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【典例1】如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，AD＝BD，过点D作DH⊥AC于点H． （1）求证：DH为⊙O的切线； （2）若∠ACB＝60°，⊙O的直径为，求AD的长． 【答案】（1）连接OD， ∵AD＝BD，OB＝OC， ∴CD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC． ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD． ∵OD为⊙O的半径， ∴DH为⊙O的切线． （2）10． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AD＝BD，OB＝OC， ∴CD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC． ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD． ∵OD为⊙O的半径， ∴DH为⊙O的切线． （2）解：连接CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵AD＝BD， ∴AC＝BC， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ACB＝60°， ∴∠BCD＝30°， ∵⊙O的直径为， ∴BD10， ∴． 【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． ①求证：AF•CF＝2DF•EF； ②若CD＝20，sinA，求CF的长． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析，②24． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠OAC+∠B＝90°， ∵∠DCA＝∠B， ∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）①证明：如图，过点D作DM⊥CF于点M，则∠DMF＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠DMF＝∠AEF＝90°， ∵∠DFM＝∠AFE（对顶角相等）， ∴△DFM∽△AFE， ∴， ∴AF•FM＝DF•EF， ∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC+∠DCA＝90°， ∵∠OAC+∠EFA＝90°， ∴∠DCA＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠DFC， ∴∠DCA＝∠DFC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵DM⊥CF， ∴CM＝FM， ∴， ∴， ∴AF•CF＝2DF•EF； ②解：∵∠CDM＝∠MDF＝∠OCA＝∠OAC， ∴， ∴， ∵CD＝20， ∴， ∴CF＝2CM＝2×12＝24． 【变式2】已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作⊙A， （1）当半径r为　3　 时，⊙A与BC相切； （2）当半径r为　2.4　 时，⊙A与BD相切； （3）当半径r的范围为　3＜r＜4　 时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴AB⊥BC，AD⊥DC， （1）∵圆心A到BC边的距离为AB＝3，⊙A与BC相切， ∴r＝AB＝3， 则当半径r为3时，⊙A与BC相切； （2）连接BD，过A作AE⊥BD，交BD于点E， ∵在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4， ∴BD5， 又S△ABDBD•AEAB•AD， ∴圆心A到BD边的距离AE2.4，又⊙A与BC相切， ∴r＝AE＝2.4， 则当半径r为2.4时，⊙A与BD相切； （3）∵⊙A与直线BC相交，圆心A到BC边的距离为AB＝3， ∴r＞3， 又⊙A与直线CD相离，圆心A到BC边的距离为AD＝4， ∴r＜4， 则当半径r的范围为3＜r＜4时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离． 故答案为：3；2.4；3＜r＜4 【变式3】如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，DE，求线段AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD平分∠CAD， ∴AE∥OD， ∴∠AED+∠EDO＝180°， ∵DE⊥AC， ∴∠EDO＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接BC交OD于F， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠AED＝∠EDO＝90°， ∴四边形DECF为矩形， ∴DE＝CF，∠DFC＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC＝2CF＝2， ∵AB＝4， ∴AC2． 方法二： （1）证明：连接OD，则OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠CAB， ∴∠EAD＝∠OAD＝∠ODA， ∵DE⊥AC， ∴∠EDA+∠EAD＝∠OAD+∠EDA＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）作DF⊥AB于F，连接OC， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AC， ∴DE＝DF， ∵OD＝2， ∴∠DOF＝60°， ∵∠EAD＝∠OAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠CAO＝∠DOF＝60°， ∵OC＝OA， ∴AC＝OA＝OC＝2． 题型4 切线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【典例1】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D． （1）请说明AE是⊙O的切线； （2）若OA＝BC＝2时，求劣弧AC的长和阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴∠B＝∠D， ∵∠EAC＝∠D， ∴∠EAC＝∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠EAC+∠BAC＝90°， ∴BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线． （2）劣弧长，． 【解答】（1）证明：由条件可知∠B＝∠D， ∵∠EAC＝∠D， ∴∠EAC＝∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠EAC+∠BAC＝90°， ∴BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：连接OC，如图： 由条件可知△OBC为等边三角形，AB＝2AO＝4， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°， ∴的长为：； ； ∵∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，交⊙O于点E （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，AD，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OC． ∵OA＝OC（⊙O的半径）， ∴∠OCA＝∠OAC（等边对等角）； 又∵AC平分∠BAD， ∴∠OAC＝∠CAD， ∴∠ACO＝∠CAD（等量代换）， ∴OC∥AD（内错角相等，两直线平行）； 而AD⊥CD， ∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线； （2）解：∵AD⊥CD， ∴在Rt△ADC中， AC4， 连接BC，则∠ACB＝90° ∵∠DAC＝∠OAC ∴△ADC∽△ACB ∴ ∴AB， ∴OBAB， 所以⊙O的半径为． （3）解：连接OE、OC， 则△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝∠AEO＝∠COE＝60°， ∴扇形AOE的面积＝扇形OCE的面积， ∴△AOE和梯形OCDE的高为：•sin60°2， ∴DE＝AD﹣AE＝2， 所以图中阴影部分的面积＝（扇形AOE的面积﹣△AOE的面积）+（梯形OCDE的面积﹣扇形OCE的面积） ＝扇形AOE的面积﹣△AOE的面积+梯形OCDE的面积﹣扇形OCE的面积 ＝梯形OCDE的面积﹣△AOE的面积 （）×22（平方单位）， 所以图中阴影部分的面积为（平方单位）． 【变式2】如图，已知⊙O的圆心O在射线PM上，PN切⊙O于Q，PO＝20cm，∠P＝30°，A、B两点同时从P点出发，点A沿PN方向移动，点B以4cm/s的速度沿PM方向移动，且直线AB始终垂直PN．设运动时间为t秒，求下列问题．（结果保留根号） （1）求PQ的长； （2）当t为何值时直线AB与⊙O相切？ 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：连接OQ ∵PN与⊙O相切于点Q ∴OQ⊥PN ∵∠P＝30°，OP＝20 ∴OQ＝10， 在Rt△OPQ中，； （2）解：设运动t秒 BP＝4t，则AB＝2t，AP＝2t ①如图，当AB与⊙O切于点E时，连接OE ∴OE⊥AB， 又∵OQ⊥PN，AB⊥PN ∴四边形AEOQ是矩形 ∴OE＝AQ＝10 ∴，t， ②如图，当A′B′与⊙O相切于点F时，连接OF ∴OF⊥A′B′ 又∵OQ⊥PN，AB⊥PN ∴四边形A′FOQ是矩形 ∴OF＝A′Q， ∵A′P﹣PQ＝A′Q ∴，t ∴当t为秒或秒时，直线AB与⊙O相切． 【变式3】在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． （Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线； （Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB＝5，AC＝8，求DG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，如图， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO． ∴∠C＝∠ADO． ∴OD∥BC． ∵DF⊥BC， ∴∠ODE＝90°． ∴直线DE是⊙O的切线； （Ⅱ）解：连接DB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵AB＝BC， ∴AD＝DC． ∵AC＝8， ∴AD＝4． 在Rt△ADB中，BD3， ∵DG⊥AB于H， 由三角形面积公式，得AB•DH＝AD•DB． ∴DH， ∵AB⊥DG， ∴DG＝2DH． 题型5 切线长定理 解｜题｜知｜识 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝3， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2． 故选：C． 【变式1】如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（　　） A．35° B．45° C．60° D．70° 【答案】D 【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°， ∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°． 根据切线长定理得PA＝PB， 所以∠PBA＝∠PAB＝55°， 所以∠P＝70°． 故选：D． 【变式2】如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是（　　） A．8 B．10 C．16 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：∵AD，AE是圆的切线． ∴AD＝AE 同理，BD＝BF，CF＝CE． 三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BD+AC+CE＝AD+AE＝2AD＝16． 故选：C． 【变式3】已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA＝6，求△PCD的周长． （2）若∠P＝50°求∠DOC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OE， ∵PA、PB与圆O相切， ∴PA＝PB＝6， 同理可得：AC＝CE，BD＝DE， △PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12； （2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC＝∠COE， 同理：∠DOE＝∠BOD， ∴∠COD∠AOB＝65°． 过 关 验 收 1. 已知⊙O的半径为2cm，点A在直线m上，OA＝2cm，则直线m与⊙O的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 【答案】C 【解答】解：设点O到直线m的距离为d， ∵点A在直线m上，OA＝2cm， ∴d≤2cm， ∵⊙O的半径为2cm， ∴d≤⊙O的半径， ∴直线m与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：C． 2. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【解答】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴d＜r， ∴直线和圆相交． 故选：B． 3. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，开始时，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件 　4＜t≤8　 时，⊙P与直线CD相交． 【答案】4＜t≤8 【解答】解：∵OP＝6cm， ∴当点P在线段OA上，圆P与CD相切时，需要运动（6﹣2）÷1＝4秒， ∵⊙P的圆心在射线OB上，圆P与CD相切时，需要运动（6+2）÷1＝8秒 ∴当⊙P的运动时间t（秒）满足条件4＜t＜8时，⊙P与直线CD相交． ∴4＜t＜8． 4. 如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC＝10，AD＝4．那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是　相离　 ． 【答案】相离 【解答】解：连接OD交CE于F，则OD⊥AD． 又BA⊥DA， ∴OD∥AB． ∵OB＝OC， ∴CF＝EF， ∴OD⊥CE， 则四边形AEFD是矩形，得EF＝AD＝4． 连接OE． 在Rt△OEF中，根据勾股定理得OF3， 即圆心O到CE的距离大于圆的半径，则直线和圆相离． 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣3，0），以点P为圆心，2为半径的⊙P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当⊙P与y轴相切时，t的值为（　　） A．0.5 B．1 C．0.5或2.5 D．1或3 【答案】C 【解答】解：当⊙P在y轴的左侧，⊙P与y轴相切时，⊙P移动的距离为1个单位， 则t＝0.5， 当⊙P在y轴的右侧，⊙P与y轴相切时，⊙P移动的距离为5个单位， 则t＝2.5， 综上所述：⊙P与y轴相切时，t的值为0.5或2.5， 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC＝6， ∵PC＝8﹣2＝6， ∴BC＝PC； ∴∠BPC＝45°， ∴S△APB＝S△APO+S△AOB＝S△ABC﹣S△BCP， 2r10r6×86×6 2r+10r＝12， 解得r＝1． 故选：A． 7. 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】C 【解答】解：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BOC＝180°﹣∠A＝110°． 故选：C． 8. 如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，求∠APB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一：∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴PA＝PB， ∴OA⊥PA， ∵∠OAB＝25°， ∴∠PAB＝65， ∴∠APB＝180﹣65°×2＝50°； 方法二：连接OB， ∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， ∴∠OAP+∠OBP＝180°， ∴∠APB+∠AOB＝180°； ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠AOB＝130°， ∴∠APB＝50°； 方法三：连接OP交AB于点C， ∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， OP平分∠APB， ∴∠APC＝∠OAB＝25°， ∴∠APB＝50°． 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA， ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA， ∴∠1＝∠OAE， ∵AE⊥CD， ∴∠1＝90°， ∴∠OAE＝90°， ∴OA⊥AE， ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F， ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴OF＝AE＝4cm， 又∵OF⊥CD， ∴DFCD＝3cm， 在Rt△ODF中，OD5cm， 即⊙O的半径为5cm． 10. 如图，AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝　70　 °，∠AEB＝　125　 °； （2）求证：DG是⊙O的切线． 【答案】（1）70，125； （2）见解析． 【解答】（1）解：由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝70°， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°， ∵AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴，， ∴， 故答案为：70，125； （2）证明：连接OD交BC于H，如图， ∵AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴OD⊥BC， ∴BH＝CH， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， ∴DG是⊙O的切线． 11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC． （1）求证：PA＝PC； （2）求证：PA是⊙O的切线； 【答案】（1）（2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）∵OD⊥AC， ∴AD＝DC， ∴OD是线段AC的垂直平分线， ∴PA＝PC； （2）∵PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠PAC＝∠ABC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CBA+∠CAB＝90°， ∴∠PAC+∠CAB＝90°， ∴∠PAB＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴PA是⊙O的切线． 12. 如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE． （1）请你连接AD，证明：AD是⊙O1的直径； （2）若∠E＝60°，求证：DE是⊙O1的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1） ∵AC是⊙O2的直径，AB⊥DC， ∴∠ABD＝90°， ∴AD是⊙O1的直径． （2）证法一：∵AD是⊙O1的直径， ∴O1为AD中点 ．连接O1O2； ∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等， ∴O1O2＝AO1＝AO2， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠AO1O2＝60°． ∵O1为AD中点，O2为AC中点， ∴O1O2∥DC， ∴∠ADB＝∠AO1O2＝60°． ∵AB⊥DC，∠E＝60， ∴∠BDE＝30， 则∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝60°+30°＝90°， ∴DE是⊙O1的切线． 证法二：连接O1O2； ∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等， ∴点O1在⊙O2， ∴O1O2＝AO1＝AO2， ∴∠O1AO2＝60°． ∵AB是公共弦， ∴AB⊥O1O2， ∴∠O1AB＝30°． ∵∠E＝60°， ∴∠ADE＝180°﹣（60°+30°）＝90°． ∴DE是⊙O1的切线． 13. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，∠CAB＝30°，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵， ∴∠BAC＝∠FAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠FAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：作OH⊥AD于H，如图，易得四边形OCBH为矩形， ∴OH＝CD＝2， ∵∠FAC＝∠CAB＝30°， ∴∠OAH＝60°， 在Rt△AOH中，∵sin∠OAH， ∴OA4， 即⊙O的半径为4． 14. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝10，BC＝12，求DF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OD，AD， ∵AC是⊙O的直径， ∴AD⊥BC，又AB＝AC， ∴BD＝DC，∠B＝∠C， ∵BD＝DC，OA＝OC， ∴OD∥AB， ∵四边形AEDC是⊙O的内接四边形， ∴∠DEB＝∠C， ∴∠DEB＝∠B， ∴DE＝DB，又点F是BE的中点， ∴DF⊥AB， ∴DF⊥OD，即DF是⊙O的切线； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝6， 在Rt△ABD中，AD8， △ABD的面积AD×BDAB×DF，即6×810×DF， 解得，DF＝4.8． 15. 已知，AG是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AG交⊙O于点C，连接AO并延长交BC于点M （Ⅰ）如图1，若BC＝10，求BM的长； （Ⅱ）如图2，连接AC，过点C作CD∥AB交AG于点D，AM的延长线交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．求证：PC是⊙O的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵AG是⊙O的切线， ∴AG⊥AM， ∵BC∥AG， ∴AM⊥BC， ∴BMBC＝5； （2）证明：如图所示，过C点作直径CE，连接EB． ∵CE为直径， ∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD． ∴∠E＝∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°， ∴CE⊥PC， ∴PC是⊙O的切线． 16. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：PD是⊙O的切线．理由如下： ∵AB为直径， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADO+∠ODB＝90°． ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB． ∵∠PDA＝∠PBD， ∴∠ODA+∠PDA＝90°．即∠PDO＝90°， 又∵直线PD经过⊙O半径的外端， ∴PD是⊙O的切线． 17. 如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D， ∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB ∵△PCD的周长等于3， ∴PA+PB＝3， ∴PA． 故选：A． 18. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是　14　 ． 【答案】14 【解答】解：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14， 故答案为：14． 19. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°． （Ⅰ）求∠P的大小； （Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴PA⊥AB， ∴∠BAP＝90°； ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°． 又∵PA、PC切⊙O于点A、C， ∴PA＝PC， ∴△PAC为等边三角形， ∴∠P＝60°． （Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°． 在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°， ∵cos∠BAC， ∴AC＝AB•cos∠BAC＝2cos30°． ∵△PAC为等边三角形， ∴PA＝AC， ∴PA． 20. 已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴OA⊥AD，OB⊥BC， ∵OA，OB是半径， ∴AF、BP都是⊙O的切线， 又∵PF是⊙O的切线， ∴FE＝FA，PE＝PB， ∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章 30.1 直线与圆 内 容 导 航 题型1 直线与圆的位置关系 题型2 切线的性质 题型3 切线的判定 题型4 切线的判定与性质 题型5 切线长定理 考 点 演 练 题型1 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例1】若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【变式1】如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【变式3】8．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题： （1）将⊙A向左平移　 　 个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为　 　 ，阴影部分的面积S＝　 　 ； （2）求BC的长． 题型2 切线的性质 解｜题｜知｜识 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【典例1】如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为（　　） A．43° B．45° C．47° D．49° 【变式2】如图，已知BC与⊙O相切于点D，AE是⊙O的直径，当∠ACB＝90°，∠BAD＝26°时，∠CAD的度数是（　　） A．26° B．64° C．34° D．19° 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27＝0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求⊙M的直径； （2）求直线ON的解析式； （3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由． 题型3 切线的判定 解｜题｜知｜识 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【典例1】如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，AD＝BD，过点D作DH⊥AC于点H． （1）求证：DH为⊙O的切线； （2）若∠ACB＝60°，⊙O的直径为，求AD的长． 【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． ①求证：AF•CF＝2DF•EF； ②若CD＝20，sinA，求CF的长． 【变式2】已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作⊙A， （1）当半径r为　 　 时，⊙A与BC相切； （2）当半径r为　 　 时，⊙A与BD相切； （3）当半径r的范围为　 　 时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离． 【变式3】如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，DE，求线段AC的长． 题型4 切线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【典例1】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D． （1）请说明AE是⊙O的切线； （2）若OA＝BC＝2时，求劣弧AC的长和阴影部分的面积． 【变式1】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，交⊙O于点E （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，AD，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【变式2】如图，已知⊙O的圆心O在射线PM上，PN切⊙O于Q，PO＝20cm，∠P＝30°，A、B两点同时从P点出发，点A沿PN方向移动，点B以4cm/s的速度沿PM方向移动，且直线AB始终垂直PN．设运动时间为t秒，求下列问题．（结果保留根号） （1）求PQ的长； （2）当t为何值时直线AB与⊙O相切？ 【变式3】在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． （Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线； （Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB＝5，AC＝8，求DG的长． 题型5 切线长定理 解｜题｜知｜识 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（　　） A．35° B．45° C．60° D．70° 【变式2】如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是（　　） A．8 B．10 C．16 D．不能确定 【变式3】已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA＝6，求△PCD的周长． （2）若∠P＝50°求∠DOC． 过 关 验 收 1. 已知⊙O的半径为2cm，点A在直线m上，OA＝2cm，则直线m与⊙O的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 2. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 3. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，开始时，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件 　 　 时，⊙P与直线CD相交． 4. 如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC＝10，AD＝4．那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是　 　 ． 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣3，0），以点P为圆心，2为半径的⊙P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当⊙P与y轴相切时，t的值为（　　） A．0.5 B．1 C．0.5或2.5 D．1或3 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C． D． 7. 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 8. 如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，求∠APB的度数． 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 10. 如图，AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝　 　 °，∠AEB＝ 　 °； （2）求证：DG是⊙O的切线． 11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC． （1）求证：PA＝PC； （2）求证：PA是⊙O的切线； 12. 如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE． （1）请你连接AD，证明：AD是⊙O1的直径； （2）若∠E＝60°，求证：DE是⊙O1的切线． 13. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，∠CAB＝30°，求⊙O的半径． 14. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝10，BC＝12，求DF的长． 15. 已知，AG是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AG交⊙O于点C，连接AO并延长交BC于点M （Ⅰ）如图1，若BC＝10，求BM的长； （Ⅱ）如图2，连接AC，过点C作CD∥AB交AG于点D，AM的延长线交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．求证：PC是⊙O的切线． 16. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由． 17. 如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　） A． B． C． D． 18. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是　14　 ． 19. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°． （Ⅰ）求∠P的大小； （Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）． 20. 已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $