专题2.4 一元二次函数、方程和不等式 易错必刷题型专训（48题12个考点）-2026-2027学年高一上学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以“一元二次函数、方程和不等式”为核心，通过12个专题系统构建知识体系，以框架图呈现考点内在联系，涵盖不等关系表示、比较大小、基本不等式应用等重难点，形成完整的知识脉络。 讲义亮点在于“易错必刷”分层练习设计，如实际应用题（企业研发人员调整问题）培养数学眼光，作商法比较代数式大小训练数学思维，题型包含单选、多选、解答题，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题2.4 一元二次函数、方程和不等式易错必刷题型专训 （48题12个考点） 【易错必刷一 用不等式表示不等关系】 1．某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 2．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 3．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 4．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【易错必刷二 作商法比较代数式的大小】 5．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．已知，则与的大小关系为____________. 8．已知，比较与的大小 【易错必刷三 由已知条件判断所给不等式是否正确】 9．已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 11．若，，则下列不等式中成立的是________（填上正确的序号）． ①；②；③；④． 12．某蛋糕师制作，两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶；制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶.现有面粉，黄油，牛奶，若分别制作个种蛋糕，个种蛋糕.试列出,满足的不等式组. 【易错必刷四 由基本不等式比较大小】 13．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 15．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 16．已知且，试比较，，的大小． 【易错必刷五 基本不等式求积的最大值】 17．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 18．（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 19．若实数满足，则的最大值为________． 20．已知正数、满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【易错必刷六 二次与二次(或一次)的商式的最值】 21．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 22．（多选）下列命题中真命题有（    ） A．若，则的最大值为2 B．当，时， C．若，则的最大值为 D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立 23．已知，则的最小值为___________. 24．已知，求的最大值． 【易错必刷七 基本不等式的内容及辨析】 25．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 27．如果，那么______（当且仅当时取“=”）． 28．（1）描述并证明基本不等式； （2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明：； 【易错必刷八 解不含参数的一元二次不等式】 29．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 30．（多选）的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 31．不等式的解集是___________． 32．解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【易错必刷九 解含有参数的一元二次不等式】 33．关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 34．（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 35．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 36．解关于x的不等式：． 【易错必刷十 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 37．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 38．（多选）下列四个不等式中，解集为是（　　） A． B． C． D． 39．若正数a，b满足，则的最小值是_________. 40．已知关于的方程. 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若的两边，的长是这个方程的两个实数根，且，当为等腰三角形时，求的值． 【易错必刷十一 一元二次不等式的实际应用】 41．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（多选）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 43．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 44．某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时，求每本杂志的售价为多少元？ (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元？ 【易错必刷十二 二次函数的图象分析与判断】 45．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 46．（多选）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 47．若实数，且满足，，则__________. 48．若二次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为C. （1）若，求p的值 （2）若△的面积为105，求p的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元二次函数、方程和不等式易错必刷题型专训 （48题12个考点） 【易错必刷一 用不等式表示不等关系】 1．某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 2．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】根据已知结合不等式与不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于B，小明比小华轻，应表示为“”，故B错误； 对于C，的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c， 则可表示为“且且”，C正确； 对于D，若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“”，D正确. 故选：CD 3．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 4．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【分析】由题意根据题中给的不等关系直接转换成相应的不等式组，注意球的个数应为自然数，由此即可得解. 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 【易错必刷二 作商法比较代数式的大小】 5．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论. 【详解】依题意，正实数x，y满足，， 若，则，所以①错误. ，所以②正确. 由于，所以，所以③正确. ，所以④正确. 故选：BCD 7．已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【分析】运用做商比较法，由题意可得，与1比较大小. 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 8．已知，比较与的大小 【答案】 【分析】利用作商法比大小. 【详解】, 同理，, 从而， 即>. 【易错必刷三 由已知条件判断所给不等式是否正确】 9．已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 10．（多选）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ACD 【详解】选项A：取反例：令 ，，此时 ，满足 ，但  ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 选项B：根据不等式的基本性质可得 ，该结论恒成立，因此该不等式正确. 选项C：当 时，；当 时， ，因此该不等式错误.. 选项D：取反例：令 ，，，，满足 的条件， 但 ，，此时 ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 11．若，，则下列不等式中成立的是________（填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】先给出，，作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确. 【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误； 由于，，故，故③正确. 故答案为：③. 12．某蛋糕师制作，两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶；制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶.现有面粉，黄油，牛奶，若分别制作个种蛋糕，个种蛋糕.试列出,满足的不等式组. 【答案】 【分析】根据题意，列全所以有的不等关系式，得出相应的不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，制作个种蛋糕，个种蛋糕，则满足： ①制作两种蛋糕需要的面粉不超过，用不等式表示为； ②制作，两种蛋糕需要的黄油不超过，用不等式表示为； ③制作，两种蛋糕需要的牛奶不超过，用不等式表示为； ④，两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故，. 所以，满足的不等式组为 【易错必刷四 由基本不等式比较大小】 13．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 14．（多选）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 15．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 【答案】≤ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 16．已知且，试比较，，的大小． 【答案】 【解析】首先利用综合法，结合基本不等式，证得，由此两边加上，求得；两边加上，求得.由此比较出三者的大小关系. 【详解】∵，∴．① ∴（当且仅当时等号成立）．② ①式两边分别加上，得，∴． ②式两边分别加上，得 ，∴． 综上，，当且仅当时等号成立． 【易错必刷五 基本不等式求积的最大值】 17．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可得到不等式，解出即可. 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 18．（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，可判断AB；利用，结合基本不等式可判断C；由，计算可判断D. 【详解】因为正数，满足，所以，所以， 当且仅当时，取等号，故A正确，B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ，当且仅当时，取等号，故D正确. 故选：ACD. 19．若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. 20．已知正数、满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当时，即当时，取最小值为. （2）由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故的最小值为. 【易错必刷六 二次与二次(或一次)的商式的最值】 21．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 22．（多选）下列命题中真命题有（    ） A．若，则的最大值为2 B．当，时， C．若，则的最大值为 D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立 【答案】ABC 【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B正确. C选项，则， ，当且仅当时等号成立，C正确. D选项，当均为负数时，也成立，所以D选项错误. 故选：ABC 23．已知，则的最小值为___________. 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 24．已知，求的最大值． 【答案】 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 当时取等号. 为将化为常数，则需， 解得， 所以， 故的最大值为． 【易错必刷七 基本不等式的内容及辨析】 25．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 26．（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 27．如果，那么______（当且仅当时取“=”）． 【答案】 【分析】根据题意，结合，即可得到答案. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 28．（1）描述并证明基本不等式； （2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明：； 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立，用作差法证明； （2）利用（1）中的基本不等式两项两项组合得三个不等式相加后可得结论． 【详解】证明：（1）当且仅当a=b时，等号成立. 对于，有，当且仅当，即时等号成立． 所以，当且仅当时，等号成立. （2）由条件得 ，当且仅当时等号成立 ，当且仅当时等号成立 ，当且仅当时等号成立 以上三个不等式相加可得：， 当且仅当时等号成立 得证. 【易错必刷八 解不含参数的一元二次不等式】 29．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 30．（多选）的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是或. 故选：AC. 31．不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 32．解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将二次项系数化为正数，再因式分解，结合一元二次函数的图象可得； （2）根据，且开口朝上，结合一元二次函数的图象可得. 【详解】（1），即，即， 则不等式的解集为； （2）因，且的开口朝上， 则不等式的解集为. 【易错必刷九 解含有参数的一元二次不等式】 33．关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 34．（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 35．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为， 可得，且方程的解为， 所以，则， 所以， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 36．解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【易错必刷十 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 37．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由不等式的解集是R，则， 【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意； B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意； C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意； D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意； 故选：B． 38．（多选）下列四个不等式中，解集为是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据题意，找到不等式对应的一元二次函数函数，再利用判别式判断其解集是否为空集即可. 【详解】对于A，对应函数开口向下， ，则解集不为； 对于B，，对应的函数开口向上， ，其解集为； 对于C，，对应的函数开口向上， ，其解集为； 对于D，对应的函数开口向下，其解集为； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：掌握一元二次不等式的解集与一元二次函数的性质之间的关系是解题的关键. 39．若正数a，b满足，则的最小值是_________. 【答案】 【分析】根据题意，转化为关于的方程存在实数解，结合，即可求解. 【详解】由题意知，正数满足， 即关于的方程存在正实数解， 由方程的图象表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 要使得方程存在正实数解， 则只需满足，即， 因为，可得，解得，所以的最小值为. 故答案为：. 40．已知关于的方程. 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若的两边，的长是这个方程的两个实数根，且，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】证明见解析；的值为或. 【分析】先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可得出结果； 设，根据题意得出，进而求出的值. 【详解】解：证明：因为， 所以不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 由于无论为何值，方程总有两个不相等的实数根， 故若要为等腰三角形，那么方程必有一个根为. 设 (是方程的一个根)， 则有， 即，解得或， 故当△ABC为等腰三角形时，的值为或. 【易错必刷十一 一元二次不等式的实际应用】 41．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 42．（多选）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】BC 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】设桶的容积为x， 根据题意可得关于x的一元二次不等式：，且， 化简可得， ， 故选：BC 43．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【分析】设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 44．某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时，求每本杂志的售价为多少元？ (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元？ 【答案】(1)3元或3.5元 (2)每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元 【分析】（1）设每本杂志的售价为元，由题意可得，进而解方程即可求解； （2）设每本杂志的售价为元，由题意可得，进而解不等式即可求解. 【详解】（1）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得或， 则当杂志提价后销售总收入是21万元时，每本杂志的售价为3元或3.5元. （2）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得， 则每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元时，才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元. 【易错必刷十二 二次函数的图象分析与判断】 45．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 46．（多选）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 47．若实数，且满足，，则__________. 【答案】 【分析】根据题意可知是方程的两个根，利用韦达定理求解即可. 【详解】根据题意可知是方程的两个根， 所以，， 则， 故答案为： 48．若二次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为C. （1）若，求p的值 （2）若△的面积为105，求p的值. 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）由，并结合韦达定理，可求出的值； （2）由，，可得，又，进而结合韦达定理，可求出的值. 【详解】由题意，令，得，即， 令，则，.恒成立， （1）由韦达定理得，， 解得或. （2）由，，可得， 所以， 因为， 所以，解得或. 学科网（北京）股份有限公司 $