专题03 等式、不等式性质与各种不等式解法【8大考点】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式性质及解法核心知识点，从等式基本性质出发，系统梳理不等式对称性、传递性等性质，再延伸至一元二次、分式、高次、含绝对值不等式的解法，构建从基础到应用的连贯学习支架。 该资料以知识点梳理与高频考点例题结合为特色，通过判断不等式、比较大小等题型培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识），课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题03 等式、不等式性质与各种不等式解法高频考点精讲 知识点1：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点2：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点4：分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可通过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 知识点5：高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 知识点6：含绝对值不等式 1、绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 考点二　作差、作商法比较大小 考点三　利用不等式求取值范围 考点四　由不等式的性质证明不等式 考点五　解不含参一元二次不等式 考点六　解分式不等式 考点七　解高次不等式 考点八　解含绝对值的不等式 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 1．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2026高二上·北京·学业考试）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 考点二　作差、作商法比较大小 7．（25-26高二下·河南商丘·期末）（多选）若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南永州·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·上海·专题练习）设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 10．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 11．（25-26高一·全国·课后作业）若，求证：． 12．（25-26高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 考点三　利用不等式求取值范围 13．（2026高一·全国·专题练习）（多选）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 14．（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 15．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 16．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（1）已知实数，满足，求和的取值范围 （2）已知满足，求的取值范围 17．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数x，y满足，，则的取值范围为______. 18．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 考点四　由不等式的性质证明不等式 19．（25-26高一上·北京西城·阶段检测）设，求证. 20．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，求证：. 21．（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 22．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 考点五　解不含参一元二次不等式 23．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·北京·阶段检测）下面四个不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）在下列不等式中，解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一下·贵州黔南·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 考点六　解分式不等式 27．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 28．（25-26高一上·全国·专题训练）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 30．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 考点七　解高次不等式 31．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）不等式的解集为______． 32．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）不等式的解集为______． 34．（25-26高一上·广东东莞·开学考试）解下列关于x的不等式. (1)； (2)； (3)； 考点八　解含绝对值的不等式 35．（2026·广东茂名·二模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·全国·专题训练）设，不等式的解集为__________． 37．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 38．（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 39．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 40．（25-26高二下·河南周口·期中）不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集为__________. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等式、不等式性质与各种不等式解法高频考点精讲 知识点1：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点2：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点4：分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可通过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 知识点5：高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 知识点6：含绝对值不等式 1、绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 考点二　作差、作商法比较大小 考点三　利用不等式求取值范围 考点四　由不等式的性质证明不等式 考点五　解不含参一元二次不等式 考点六　解分式不等式 考点七　解高次不等式 考点八　解含绝对值的不等式 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 1．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 3．（2026高二上·北京·学业考试）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明. 【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 4．（25-26高一上·上海·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，令，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，令，满足，而，D错误. 5．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 6．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据不等式性质可得，结合，利用同向不等式相加的性质，得到． 【详解】因为，所以． 又，所以． 故选：B． 考点二　作差、作商法比较大小 7．（25-26高二下·河南商丘·期末）（多选）若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为，所以，又，因此，正确. 选项C，因为，所以，又因为，所以，正确. 选项D，，若，正负性无法确定，错误. 8．（25-26高一上·湖南永州·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法及特殊值法，逐一判断即可. 【详解】对于A：由题可知，，故，故A正确； 对于B：，由题可知，， 故，，则，即，故B正确； 对于C：若，此时，故C错误； 对于D：，由题可知，， 故，则，即，故D正确. 故选：ABD. 9．（2026高一·上海·专题练习）设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 【答案】 【分析】利用作差比较即可判断． 【详解】∵， ∴， ∴． 10．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 11．（25-26高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 12．（25-26高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 考点三　利用不等式求取值范围 13．（2026高一·全国·专题练习）（多选）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 15．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 16．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（1）已知实数，满足，求和的取值范围 （2）已知满足，求的取值范围 【答案】（1），； （2）. 【分析】（1）先由题得到，再由不等式性质即可得解； （2）由结合不等式性质即可求解. 【详解】（1）因为实数，满足， 所以， 所以，； （2）因为，， 所以. 17．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数x，y满足，，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法求得，进而结合不等式的基本性质求解即可. 【详解】设， 则，解得， 则， 又，， 则，， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 18．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 考点四　由不等式的性质证明不等式 19．（25-26高一上·北京西城·阶段检测）设，求证. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，得到，结合，得到，即可得证. 【详解】由， 因为，可得， 所以，即，所以. 20．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明. 【详解】， 因为，所以，又，所以， 所以. 21．（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 22．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1) 证明：∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； (2) 证明：. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 考点五　解不含参一元二次不等式 23．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集定义计算. 【详解】由已知， 所以. 24．（25-26高一上·北京·阶段检测）下面四个不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解. 【详解】A：对应的方程为，， 所以方程无解，又函数图象开口向下， 所以原不等式的解集为，故A不符合题意； B：对应的方程为，， 所以方程无解，又函数图象开口向上， 所以原不等式的解集为，故B不符合题意； C：对应的方程为，， 所以方程无解，又函数图象开口向上， 所以原不等式的解集为R，故C符合题意； D：对应的方程为，， 所以方程有一个解，又函数图象开口向下， 所以原不等式的解集为，故D不符合题意； 故选：C. 25．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）在下列不等式中，解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论四个不等式的解集，即可得正确答案. 【详解】对于选项A，函数的图象抛物线开口向上， ，所以不等式解集为R，故选项A不正确； 对于选项B，不等式解集为，故选项B不正确； 对于选项C：函数的图象抛物线开口向下， 不等式的解集或，故选项C不正确； 对于选项D：函数的图象抛物线开口向下， 由，不等式解集为，故选项D正确. 故选：D. 26．（25-26高一下·贵州黔南·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可 【详解】不等式变形为， 即， 解得或 所以不等式解集为或 故选：A 考点六　解分式不等式 27．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 28．（25-26高一上·全国·专题训练）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化为，即， 不等式两边同乘，得，等价于， 解得，所以原不等式的解集为. 29．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】移项通分，然后转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】， 解得，所以不等式的解集为. 30．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 考点七　解高次不等式 31．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 32．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解. 【详解】由，得， 所以， 所以，即， 解得或， 故的取值范围为． 故选：D． 33．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】由高次不等式奇穿偶回的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 即， 由高次不等式的性质可知： 不等式解集为：. 故答案为：. 34．（25-26高一上·广东东莞·开学考试）解下列关于x的不等式. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将分式不等式转化为整式不等式，根据二次不等式的解法求解； （2）对于非标准形式的分式不等式，要通过移项、通分的方法将其化为标准形式再利用数轴穿根法求解； （3）分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解. 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为,即， 即且， 由图可知，原不等式的解集为． （3）由可得， 由数轴穿根法可知，或或， 所以不等式的解集为. 考点八　解含绝对值的不等式 35．（2026·广东茂名·二模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，可得，故解集为． 36．（25-26高一上·全国·专题训练）设，不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】不等式可变形为，即，解得. 所以不等式的解集为. 37．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值并分别求解，将各区间的解集取并集得出最终结果. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 38．（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 【答案】 【详解】不等式等价于， 化简可得，即， 所以不等式的解集为. 39．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 40．（25-26高二下·河南周口·期中）不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集为__________. 【答案】 【分析】根据绝对值的分界点，分，，三种情况讨论，分别求解，求并集即可 【详解】当时，原式 ，即，故； 当时，原式，即，故无解； 当时，原式 ，即，故； 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $