专题06 直线与圆的位置关系（竞赛培优专项训练）九年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系竞赛核心题型，以8大模块构建从基础概念到综合应用的递进式训练体系，精选典例覆盖切线证明、内心性质等关键考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|4道|位置关系判定及动态问题|从基础位置关系到切线核心技能，再到三角形与圆综合及正多边形拓展，形成完整知识链| |切线的证明|4道|切线判定定理应用| |切线的证明与性质综合应用|4道|切线性质与几何计算结合| |切线长定理|4道|切线长性质及线段关系| |圆与圆的位置关系|4道|位置判定及半径计算| |三角形内心|4道|内心性质及角度计算| |三角形内切圆与外接圆综合|4道|内外切圆性质综合应用| |正多边形与圆|4道|正多边形性质及面积计算|

专题06 直线与圆的位置关系 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01直线与圆 题型02切线的证明 题型03切线的证明与性质综合应用 题型04切线长定理 题型05圆与圆的位置关系 题型06三角形内心 题型07三角形内切圆与外接圆综合 题型08正多边形与圆 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 直线与圆 1．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 3．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 4．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 考点二 切线的证明 1．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 3．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 4．如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 考点三 切线的证明与性质综合应用 1．如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 2．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 3．如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 4．如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 考点四 切线长定理 1．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定错误的有（   ） A． B． C． D． 4．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 考点五 圆与圆的位置关系 1．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 2．如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 4．在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 考点六 三角形内心 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 3．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 4．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 考点七 三角形内切圆与外接圆综合 1．已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 2．如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则________． 3．如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 4．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 考点八 正多边形与圆 1．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 2．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 4．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 1．（2024九年级·全国·竞赛）在同一个圆中，内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在一个边长为的正六边形纸板中截去一个边长为的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）下列事件是必然事件的是（    ）． A．平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 B．半径分别为和的两圆相外切，则两圆的圆心距为 C．正五边形的外角和为540° D．一条弧的长度为，所对圆心角为°，则这条弧所在圆的半径为 4．（九年级·香港·竞赛）如图所示，排列着圆心分别为，，，和的五个圆，相邻的两个圆互相外切．相邻圆的圆心用线段相连．已知，，，，．问半径最大的圆的圆心是哪个点？（   ） A． B． C． D． E． 5．（九年级上·浙江台州·竞赛）如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．（九年级上·浙江·竞赛）为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 7．（2025八年级·全国·竞赛）如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为正五边形的中心，若要将绕点旋转后得到，则以下旋转方式正确的是（    ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 10．（八年级·贵州遵义·竞赛）三角形内角平分线的交点称为三角形的内心，如图，是的内心，是的内心，是的内心，若的度数为整数，则不可能为（    ）度 A．100 B．108 C．112 D．120 E．135 11．（2024九年级上·陕西西安·竞赛）如图，，是等边三角形，边长分别为3、2，求的内切圆的半径． 12．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06直线与圆的位置关系 目录 A组考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01直线与圆 题型02切线的证明 题型03切线的证明与性质综合应用 题型04切线长定理 题型05圆与圆的位置关系 题型06三角形内心 题型07三角形内切圆与外接圆综合 题型08正多边形与圆 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛试题12道） A组 考点专项过关练 考点一直线与圆 1.在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,动点O在对角线AC上.如果以点O为圆心，以1为半径长的⊙O 与边AB有两个公共点，那么线段OA的取值范围是() 人1s0As号 B.1<0A号 c.10A≤4 D.1≤OA<5 【答案】D 【详解】解：，四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,∠ABC=90° AC=AB+BC2=V32+42=5 过点O作OE⊥AB于E B OE⊥AB,∠ABC=90° OE‖BC ∴△AOE-△ACB OE_OA .BCAC' 1143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE_OA 即4=5 整理得OE=4OA :⊙O半径为1，且⊙O与边AB(线段AB)有两个公共点 ∴.需满足两个条件：①直线AB与⊙O相交，②端点A在⊙O外（或圆上）， ①直线AB与⊙O相交，即圆心到AB的距离小于半径则OE<1, ÷号0a1 解得OA<5 4 ②端点A在⊙O外（或圆上），则OA≥1 除上，1<0A异 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.以点C为圆心，r为半径作圆.若⊙C与斜边 AB所在直线有且只有一个公共点，则r的值为() D B 12 A.5 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3. .AB=VAC2+BC2=42+32=5, 过点C作CD⊥AB于点D, Sa=号ABCD=ACBC, .CD=ACCB=3×4=12 AB 55 ,:⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点， ∴.⊙C与AB相切， r=CD=12 3.如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2Cm为半径作⊙M.点M在射线OB上 2143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 运动，当OM=4cm时，⊙M与直线OA的位置关系是 B 【答案】相切 【详解】解：过点M作MC⊥OA,交OA于点C, 在Rt△OMC中，OM=4cm,∠BOA=30°， ..CM=-OM=2cm. ,⊙M的半径是2cm,点M到直线OA的距离是2cm, ∴.⊙M与直线OA的位置关系是相切 B 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=12cm,点P,Q分别是边AD,BC上的点，连接PQ,满 足DP=4cm,CQ=7cm,点M在线段AP上，过点M作直线l⊥AD,若直线l上存在4个点N,使 △PQN为直角三角形，设AM=t,则t的取值范围是一· 【答案】4<t<5或5<t<8 【详解】解：过点P作PH⊥BC,垂足为H,如图， ,四边形ABCD是矩形， ∴PH=AB, .DP=4cm,CQ=7cm, .'.PH=4cm,HQ=7-4=3cm, 3143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△PHQ中，PQ=VPH+HQ2=V42+3=5, 以PQ为直径作⊙O,当⊙O与l相切时，过O作OT⊥AD,连接OS, 在Rt△0TS中，ST=VOS2-0T2= 2 .PF-ST-2.MS=3-3-1. 22 AM=tAD-DP-PT-ST-MS=124-3号-1=4： 22 ①若△PQN为直角三角形，如图(1)，当直线l与圆相切时，t=4, N D N2 (1) 使△PQN为直角三角形的点N有N1,N2,N33个，继续向右运动，直线l与圆有2个交点，此时点N有4 个： ②当直线1过点Q时，如图(2)， N N D BQ=AM=BC-CQ=12-7=5 B (2) ∴t=5, 使△PQN为直角三角形的点N有N1,N22个， 继续向右运动，此时点N有4个： ③当直线经过点P时，如图(3)， 4143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D W CAM=AP=AD-DP=12-4=8 N2 (3) ∴t=8, 使△PQN为直角三角形的点N有N1,N22个， ∴.由图可知，满足条件的t的取值范围是4<t<5或5<t<8 考点二切线的证明 1.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E, 且交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若AB=10,∠A=60°，求BD的长. (I)证明：连接OD,AD E .AB是⊙O的直径， .∠ADB=90 ∴AD⊥BC ,∵AB=AC ∴BD=CD 5143 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=OB, ∴.OD是△BAC的中位线， .OD‖AC EF⊥AC, .OD⊥EF .EF是⊙O的切线： (2)解：，AB=AC,AD⊥BC,∠A=60° ∴，△ABC为等边三角形， ·<BAD= 2 ∠BAC=30°， 在Rt△ABD中， BD=1AB=×10=5. 2 .BD长为5. 2.如图，AB为OO的直径，射线AD交⊙O于点F,点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD,垂 足为E,连接AC. 0 B (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若∠BAC=30°，AB=4,求阴影部分的面积. (1)证明：连接BF,OC, D B :AB是⊙O的直径， ∴.∠AFB=90°，即BF⊥AD, :CE⊥AD, 6143 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF‖CE, :点C为劣弧BF的中点， .OC⊥BF, :BF‖CE, OC⊥CE, OC是⊙O的半径， .CE是⊙O的切线， (2)解：连接OF,CF, D E B 0 .OA=OC,∠BAC=30°， ∴.∠BAC=∠OAC=30°， ∠BOC=60°， :点C为劣弧BF的中点， ∴·FC=BC, ∴.∠FOC=∠BOC=60°， .OF=OC. ∴，△FOC是等边三角形， ∴.∠OCF=60°， .∠OCF=∠BOC, .CF‖AB, ∴.S△ACF=S△cOF, ∴.S阴影=S扇形F0c, AB=4, ..OF=OC=0B=2, 六S扇形FOc= 0·π×2_2π， 360 7143 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 即阴影部分的面积为3兀. 3.如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙O上一点且与点C位于AB两侧， AD=CD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD. D (I)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线. (1)解：如图所示，连接AD, .AC=AC,∠ABC=40°， 0 E B ∴.∠ADC=∠ABC=40° AD=CD, ∠DCA=∠DAC=180°.∠ADC-180.40°=70° 2 2 .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90 ∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°： (2)证明：如图所示，连接OD, D ◇E .DE⊥CB ∴.∠E=90°， .∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70°. BD=BD, 8143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAB=∠DCE=20° .OA=OD. ∴.∠ODA=∠OAD=20°， ∴.∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20°， ∴.∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线. 4.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，E为AB延长线上一点，延长ED交⊙O于点C, ∠BDE=2∠BAC,连接OD B E C (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若CD=2,DE=5,求⊙0的半径. (1)证明：连接OC, 0 B E .AB ⊙O BD⊙O 是 的直径， 是 的切线， ∴AB⊥BD, ∴.∠ABD=90°， .∠BOC=2∠BAC,∠BDE=2∠BAC, ∴.∠BOC=∠BDE, .:∠BDE+∠BDC=180°， ∴.∠B0C+∠BDC=180, .四边形BOCD中，∠BOC+∠OCD+∠BDC+∠ABD=360°， ∴.∠OCD=90°， ∴.OC⊥EC, 9143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OC是⊙O的半径， ∴.CE是⊙O的切线： (2)解：.∠ABD=∠OCD=90° 在Rt△OBD和Rt△OCD中， d, .∴.Rt△OBD≌Rt△OCD HL, ∴BD=CD, :∠ABD=90°， .∴.∠DBE=180°-∠ABD=90°， CD=2, ∴BD=2, .DE=5, ∴.Rt△BDE中，BE=√DE2-BD=V52-2=V21, 在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2, 即0C2+2+52=oB+21, 解得0B=0C=221 3 2V21 即⊙0的半径为3， 考点三切线的证明与性质综合应用 1.如图，在四边形ABCD中，ABCD,AD⊥AB,以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切 点为E,若AB=1,CD=3,求半径AD的长是() D A.2 B.3 c.5 D.5 【答案】C 【详解】解：连接DB、DE, 10/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD⊥AB,AD是⊙D的半径， .AB是⊙D的切线， :BC是⊙D的切线， ∴.AB=BE=1,∠ABD=∠EBD,DE⊥BC, .AB CD, .∠ABD=∠BDC, .∠EBD=∠BDC, ∴.DC=BC=3, .EC=BC-BE=3-1=2 在Rt△DEC中，DE=3-2=V5, ..AD=DE=5 故选：C 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE,交CD的延长线于点 E,且AE⊥CD E (I)求证：DA平分∠BDE: (2)已知AE=4cm,⊙O的半径为5cm,求CD的长. (1)证明：连接OA, .OA=OD. 11/43 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O B 图1 .∠ODA=∠OAD, ,AE是⊙O的切线， ∴.OA⊥AE AE⊥CD EC‖OA, ∴.∠OAD=∠EDA, .∠ODA=∠EDA, .DA平分∠BDE: (2)解：过点O作OF⊥CD,垂足为点F, ,∠OAE=∠AED=∠OFD=90°， .四边形AOFE是矩形， ∴.OF=AE=4cm, C 图2 又.OF⊥CD,⊙O的半径为5cm. 在Rt△ODF中，OD=VOF2+DF=5cm, :'.DF=CD=3cm, 2 即CD=6cm. 3.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C为OB边的中点，⊙O经过点C,BD与 ⊙O相切于点D. 12/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (1)求证：AB与⊙O相切： (2)若AB=2,求AD的长. (1)证明：在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°， ∴0A=0B. 2 ,C为OB边的中点， :0c-0B. ∴.OA=OC, .∴.OA是⊙O的半径， ∴.AB与⊙O相切： (2)解：连接OD, D .BD⊙O AB⊙O A B 与 相切于点D, 与 相切， ∴AB=BD, 在△ABO与△DBO中， i, ∴.△ABO≌△DBO|SSS, ∴.∠DB0=∠ABO=30°， ∴.∠ABD=60, ,∴，△ABD是等边三角形， .∴AD=AB=2 4.如图，已知四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O与边CD相切于点E. 13143 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1) (2) (1)如图1，连接BE,求证：∠ADC=2∠CBE; (2)如图2，连接OD,OC交⊙O于点M,若OM=CM=2,求CD的长. (I)证明：：∠DAB=∠ABC=90°且点B在⊙O上， ∴BC是⊙O的切线，且AD‖BC, 又，⊙O与边CD相切， ∴CB=CE, :∠CBE=∠CEB=180.∠C 2 又∠ADC=180°-∠C, .∠CBE=5∠ADC, 即∠ADC=2∠CBE, (2)解：如图，连接BM, A D M (2) .OM=MC=2,∠OBC=90°， ..BM=OM=MC=2=0B. ∴△OBM是等边三角形， .∠BOC=60°， ∴.∠BC0=30°， 连接OE, OB=OE,OC=OC,BC=CE. .△OBC≌△OEC SSS, 14/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ECO=∠BC0=30°， .∠BCD=60°， .AD BC, ∴.∠ADC=180°-60°=120°， .OA=OE,OD=OD,AD=DE, △OAD≌△OED|SSS, ∴.∠ODA=∠ODE=60°， ∴.△OCD是含有60°角的直角三角形， :CD=83 3· 考点四切线长定理 1.如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆 的切线，与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则△ADE的面积为() A D E B A.12 B.24 C.8 D.6 【答案】D 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.AB,DC是圆O的切线， .AE与圆O切于点F, 根据切线长定理有AF=AB=4,EF=EC, 设EF=EC=x, 则DE=4-X,AE=4+x, .四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADE=90°， 15/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.三角形ADE是直角三角形， 在三角形ADE中由勾股定理得： (4-x2+42=(4+x2, ∴.x=1, .∴.CE=1, ∴.DE=4-1=3, .SAADE=AD·DE÷2=3×4÷2=6. 2.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB=() B A.54° B.58 C.64 D.68° 【答案】C 【详解】解：如图，连接AO,延长AO,交⊙O于E,连接BE,则AE为⊙O的直径， B ,AE为⊙O的直径， .∠ABE=90°， :∠ACB和∠AEB都是AB所对的圆周角，∠ACB=58°， ∴.∠AEB=∠ACB=58, ∴.∠EAB=90°-∠AEB=32°， PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点， ∴.AE⊥PA,PA=PB, .∠PAB=90°-∠EAB=58°，∠PAB=∠PBA, ∴.∠APB=180°-2∠PAB=64° 3.如图，PA、PB切⊙O于A、B,AC是⊙O直径，连结OB、BC.若∠APB=60°，则下列结论中， 16/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一定错误的有() A.OB=BC B.BC‖PO C.PO=AC D.∠PBC=∠POC 【答案】D 【详解】解：，PA、PB切⊙O于A、B, .PA=PB,∠OBP=∠OAP=90°， :∠APB=60°， .∠AOB=360°-∠OBP-∠OAP-∠APB=120°， ∴.∠BOC=180°-∠AOB=60°， 又.OC=OB, ∴.△OBC为等边三角形， OB=BC,故选项A错误： 在Rt△OPB和Rt△OPA中， L, Rt△OPB≌Rt△OPB HL ÷∠BOP=∠AOP=号∠AOB=60, ,△OBC为等边三角形， .∠OBC=60° ∴.∠OBC=∠BOP, .BCPO,故选B错误： 由Rt△OPB≌Rt△OPB (HL得∠OPB=∠OPA=7∠APB=30°， ..OB=OP, 又：OB=号AC, :.PO=AC,故选项C错误： :△OBC为等边三角形， 17/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OCB=60°， .BC PO ∴.∠PBC+∠BPO=180°，∠POC+∠BCO=180°， ∴.∠PBC=180°-∠BP0=150°，∠P0C=180°-∠BC0=120°， ∴.∠PBC≠∠POC,故选项D正确. 故选：D, 4.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E.AB与AC相 等吗？为什么？ B D 。O E 解：AB与AC相等 如图，连接OD、OE, B D E ,'AB,AC是小圆的两条切线，切点分别为D、E, ∴.OD⊥AB,OE⊥AC,AD=AE 又.'AB,AC是大圆的弦，OD⊥AB,OE⊥AC .'AB=2AD,AC=2AE, .∴.AB=AC. 考点五圆与圆的位置关系 1.已知圆O1和圆O2的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是() A.当O1O2=2时，两圆没有公共点 B.当0102=5时，两圆有一个公共点 C.当01O2=0时，两圆有公共点 D.当O102=7时，两圆有两个公共点 【答案】D 18/43 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：⊙O1和⊙O2的半径分别是5和7，且7-5=2,5+7=12， A、当0102=2时，0102=7-5=2，两圆内切，有1个公共点，故A错误： B、当O1O2=5时，2<5<12，两圆相交，有2个公共点，故B错误： C当01O2=0时，O1O2<2,两圆内含，没有公共点，故C错误： D当01O2=7时，2<7<12，两圆相交，有2个公共点，故D正确. 2.如图，已知∠ABC=60°，半径为1Cm的⊙O与边BA、BC均相切，如果OO1与∠ABC的两边都相 切，且与⊙O相交，那么⊙O1的半径长可以是() A A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：标记⊙O与边BA、BC的切点为E,H, 则OE⊥AB,OH⊥BC, 在Rt△OEB与Rt△OHB中，乙， .∴.Rt△OEB≌Rt△OHB HL, .∠OBE=∠0BH=号∠ABC=号×60=30°， 即点O在∠ABC的角平分线上， 作⊙O1,⊙O1与⊙O外切，切点为M,N,且与边BA、BC均相切，⊙O1与BA的切点为点D,⊙O1 与BA的切点为点F, 同理可得，点O1与O1在∠ABC的角平分线上， 设⊙01的半径为， .∠OBE=30°， .∴.BO1=201D=2r,B0=2OE=2×1=2, BO +O M+OM=BO, .2r+r+1=2 解有r= 19/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得⊙O1的半径为3， .⊙01与⊙0相交， 当r=1时，⊙01与⊙0重合，不合题意， 观察四个选项可知，⊙O1的半径长可以是2. 故选B. BO.H 3.如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2,那么图 中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为· B π 【答案】20.5n 【详解】解：，△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠A=∠B=45°，AC=BC=2, ..AB=AC2+BC2=2V2. 假设⊙A与⊙B的半径分别为r1,「2，且⊙A与⊙B外切，两圆为等圆， ∴r1+r2=AB=2V2,r1=r2=V2, ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和 45r+45r-夏 3603602 4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5(如图所示)·点D在边AB上（不与点A、B重 合)，DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,⊙E的半径长为2.如果⊙F与⊙E外切，那么⊙F 20/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的半径长的取值范围是 34 【答案】 srs10 【详解】解：如图，连接CD,EF,设EF与⊙E交于点G, A B 如果⊙F与⊙E外切，则FG的长为⊙F的半径长， 在Rt△ABC中，AC+BC2=AB2, ∴.AC=132-52=12 .DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°， ∴.四边形DECF为矩形， ∴.CD=EF, ∴.FG=EF-EG=CD-2, 当CD⊥AB时，CD最短， 根据三角形面积公式可得，此时CD=AC·,BC-60 AB 13 FG=CD-2=34 13 当点D无限接近点A时，此时FG<AC-2=10, 4≤FG<10: 1 34≤r<10. 即⊙F的半径长r的取值范围是13 21/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点六三角形内心 1.已知⊙O为△ABC的内切圆，则点O是△ABC的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：：⊙O是△ABC的内切圆， ∴，点O是△ABC的内心，即三条角平分线的交点. 2.如图，△ABC的周长为17，点O为△ABC的内心，连接OB、OC,OD⊥BC于点D.若OD=2, 则△ABC的面积是 B D 【答案】17 【详解】解：如图，连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, E .·O△ABC 点为 内心， ∴.OA,OB,OC分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB, .OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC, ..OD=OE=OF=2. ∴.S△ABC=S△AOB+S△A0C+S△BOC -方AB-0D+号AC·OF+号C0D -ODAB+AC+BC] 22/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2x17 =17. B如图，△ABC内接于⊙O,CD上AB于D点，若O为△BCD的内心，则D 0 D B 【答案】V2-1 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC, C D CD⊥AB于D点， .∠BDC=90°， ∴.∠DBC+∠DCB=90°， O为△BCD的内心， ∠0BC+∠0CB=号<DBC+号4DCB=<DBC+∠DCB=45 .∠B0C=135°， OA=OB=OC,∠OBA=∠OBC, .∠OBA=∠OAB=∠OBC=∠OCB. .∠AOB=∠BOC=135°， ∴.∠A0C=360°-135°-135°=90°， ∴2ABC=5∠AOC=45°， “.△BDC是等腰直角三角形， ∴BD=CD 设BD=CD=a,则CB=VBD2+CD2=a2+a=V2a, 23/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABO和△CBO中， b, ∴.△ABO≌△CBO|SAS, ..AB=CB=V2a, ..AD=AB-BD=2a-a=2-1a, :D-2-10-2-1 ·BD 4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为AC的中点.请仅用无刻度的直尺按照 下列要求作图（保留作图痕迹） D D 图1 图2 (1)在图1中，作出∠ABC的平分线： (2)在图2中，作出△ABC的内心 【详解】(1)解：如图，连接OD并延长交⊙O于点E,连接BE,BE即为所求： :点D是AC的中点，O是AB中点， ..OD BC, ∴.∠OEB=∠CBE, .OB=OE. ·∠OEB=∠OBE ∴.∠OBE=∠CBE, ∴.BE平分∠ABC: (2)解：如图，在(1)的基础上，连接OC、BD交于点F,连接AF并延长交BC于点G,连接OG并延 长交⊙O于点H,连接AH交BE于点M,点M即为所求. 24/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E M G H 图2 ,点D是AC的中点，O是AB中点，即OC、BD是△ABC的中线， .∴AG是△ABC的中线，即点G是BC中点， .OG‖AC, ∴.∠OHA=∠CAH, .OA=OH. ·∠OHA=∠OAH .∠OAH=∠CAH, ∴.AH平分∠BAC, 又，BE平分∠ABC,AH交BE于点M, .点M是△ABC的内心. 考点七三角形内切圆与外接圆综合 1.已知O,I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC=148°，则∠BIC的大小是 【答案】127°或143° 【详解】解：，O是△ABC的外心，∠BOC=148°， ∴当点A在优额EC上时，∠BAC=∠B0G=74, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-74°=106°， ,I是△ABC的内心， ∴.∠ABI=∠CBI,∠ACI=∠BCI, ∠CBI+∠BCI=×106=53, 2 25/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BIC=180°-∠CBI+∠BCI=180°-53°=127°： 当点A在劣弧BC上时，∠BAC=180°-74°=106°， .∠ABC+∠ACB=180°-106°=74°， :I是△ABC的内心， ∴.∠ABI=∠CBI,∠ACI=∠BCI, ∠CBI+∠BCI=×74=370, .∠BIC=180°-∠CBI+∠BCI=180°-37°=143°. 故答案为：127°或143°. 2.如图，在△ABC中，∠ACB=58°，△ABC的内切圆⊙O与AB,AC分别相切于点D,E,连接DE, BO的延长线交DE于点F,则∠BFD= 【答案】29 【详解】解：如下图所示，连接AO、EO、DO, E ,⊙O是△ABC的内切圆， ∴.OE⊥AC,OD⊥AB,AO平分∠CAB,OB平分∠ABC, ∴.AO⊥ED, 26143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OME=90°， ∠OAB=克∠CAB,∠0BA=号∠ABC, 在△AOB中，∠AOB=180°.∠OAB-∠OBA, ∠A0B=1802∠CAB-3<CBA =180°-2∠CAB+∠CBA 又.'∠CAB+∠CBA=180°-∠C=180°-58°=122° ∠A0B=180°.1×122=119， .∠AOB是△OMF的外角， .∴.∠AOB=∠OMF+∠BFD, ∴.∠BFD=∠AOB-∠OMF=119°-90°=29° 故答案为：29° 3.如图，已知△ABC. A B (1)利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆： (2)若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径. (1)解：如图，先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O,再过点O作OD⊥BC于点D,以点 O为圆心，OD的长为半径画圆： E D (2)解：设△ABC的内切圆⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,连接OE,OF,OA, .△ABC的周长为24， .∴.AB+BC+AC=24 .'△ABC的面积为24，OE=OF=OD 27/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5os+5x+5x-吉AB-0E+号c0D+号AC-0F-AB+nC+AC-0D-x24×0D=24 ∴.OD=2, ∴.它的内切圆的半径为2 4.如图，在一张四边形ABCD的纸片中，ABDC,AD=AB=BC=22,∠D=45°，以点A为圆心， 2为半径的圆分别与AB、AD交于点E、F. E B (1)求证：DC与⊙A相切； (2)若用剪下的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个 圆锥的底面？ 【答案】(1)证明：过点A作AG⊥CD于G点，如图： .:∠D=45° G .∴.DG=AG, AD=22. ∴.AG=2 ,圆A的半径为2， ∴.G点在圆A上， .AG⊥CD, DC与⊙A相切： (2) 解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： .AB CD,AD=BC, ∴.四边形ABCD是等腰梯形， :∠D=45°， ∴.∠C=45°. .∠DAB=135°， 28/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.扇形AEF的弧长三 135×π×2_3π 180 2 3π :圆锥的底面圆的周长为2， L=2r, 设圆锥的底面圆的半径为，则 r=3 4 过点B作⊙A的切线，交⊙A于点Q,交CD于点P,连接AQ,则AQ⊥BQ,AQ=2,如图： 在Rt△AQB中，BQ=VAB2-AQ-2V2}-22=2, ∴.BQ=AQ :.△AQB为等腰直角三角形， 作△BCP的内切圆O,如图： A E B :△ABQ是等腰直角三角形， .∠QAB=45°， ∴.∠DAQ=90°， .∠AQB=90°， .AD‖BP, AB DP, ∴，四边形ADPB是平行四边形， ∴.DP=AB=BC=2V2,∠AQB=∠CBP=90° ∴△BCP是等腰直角三角形， ∴.PC=4, 设圆O的半径为R, SAPRC=号XPB×BG×BC+BP+PCxI 29/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.22×2V2=22+22+4R, 解得：R=2V2-2, 25.2星 ∴，可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面. 考点八正多边形与圆 1.如图五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，点MN分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时 针运动，AM与BN交于点P.则∠APN的度数是() E M A.72° B.108 C.120° D.没有确定值 【答案】B 【详解】解：如图，.五边形ABCDE是正五边形， :2ABC=5-2×180°=108， 5 ,'点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴.BM=CN, E D B M .∠BAM=∠CBN ∴.∠APN=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=108°. 2.我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形.如图2，已知圆的内 接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为() 30/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 4 A.33 4_9V3 B.3-2 c子丽 2 37- 3 D. 2 【答案】C 【详解】解：设圆的圆心为O,正六边形的一条边为AB,连接OA,OB A B 多边形为正六边形， 圆心角∠A0B=360 =60° 6 正六边形的边长为2， .圆的半径R=OA=OB=AB=2 ∴.△OAB为等边三角形 S扇形OAB= 0π2=2 3603 过点O作OC1AB于点C,则AC=2AB=1 在Rt△0AC中，OC=V0A2-AC2=V22-12=3 508AB-0C=3×2x3-93 六阴影部分的面积S=S形OAR-子n-3】 3.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB=15°，则该正多边形的边数为 31/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为⊙O,连接OA,OB D .·∠ADB=15° A ∴.∠AOB=2∠ADB=30°， 而360°÷30°=12， ∴这个正多边形为正十二边形 4.作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A,请完成下列任务： (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF; (②)连接BF,CE.判断四边形BCEF的形状并加以证明. 【答案】()解：如图，正六边形ABCDEF即为所求： F B (2)解：四边形BCEF是矩形，理由如下， 如图，连接OE, 32143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCDEF 六边形 是正六边形， ∴.AB=AF=DE=DC,FE=BC .'AB=AF=DE=DC ∴.BF=CE ∴.BF=CE, 'EF=BC, .∴四边形BCEF是平行四边形， :∠E0D=360 6 =60°，OE=OD, .△EOD是等边三角形， ∴.∠OED=∠ODE=60, ∴.∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°. DE=DC. ∴.∠DEC=∠DCE=30°， ∴.∠CEF=∠g-∠CED=90°， .平行四边形BCEF是矩形， B组 选拔真题冲奖练 1.(2024九年级·全国·竞赛)在同一个圆中，内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为()， A.6:4:3 B.3:2:1 c.3:2:2 D.23:2:V2 【答案】B 【详解】解：设圆的半径是r, 则多边形的半径是r, 33/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，则内接正三角形的边长=2rsin60°=V3r 图1 如图2，内接正四边形的边长=2rsin45°=2r, 图2 如图3，正六边形的边长=r, as 图3 因而半径相等的圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为V3:V2:1. 故选：B 2.(2024九年级全国·竞赛)如图，在一个边长为m的正六边形纸板中截去一个边长为m的等边三角形后， 余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为() A.3:1 B.4:1 c.5:1 D.6:1 【答案】C 【详解】解：如图所示，设正六边形ABCDEF的中心为O,连接OB、OA, ∴.OA=OB,∠AOB=60°， ∴.△AOB是等边三角形， ,正六边形的边长为m, 34/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴△AOB是边长为m的等边三角形， ∴.S阴影=S△A0B= 6 ∴.余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为5：1， 故选：C 3.（2024九年级全国竞赛)下列事件是必然事件的是（). A.平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 B.半径分别为2cm和6cm的两圆相外切，则两圆的圆心距为8cm C.正五边形的外角和为540° nI D.一条弧的长度为l,所对圆心角为n°，则这条弧所在圆的半径为180n 【答案】B 【详解】解：A、平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，此时要求这条弦不是直径， 故A不是必然事件： B、2cm+6cm=8cm,半径分别为2cm和6cm的两圆相外切，则两圆的圆心距为8cm,故B是必然事 件： C、正五边形的外角和为360°，故C是不可能事件： 1801 D、弧的长度为l,所对圆心角为°，则这条弧所在圆的半径为 故D是不可能事件 πn 故选：B 4.(九年级·香港·竞赛)如图所示，排列着圆心分别为A,B,C,D和E的五个圆，相邻的两个圆互相外 切.相邻圆的圆心用线段相连.已知AB=16,BC=14,CD=17,DE=13,AE=14.问半径最大的圆 的圆心是哪个点？() A.A B.B C.C D.D E.E 35/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：设圆心分别为A,B,C,D和E的五个圆的半径为rA,rB,rc,rD,rE, ,AB=16,BC=14,CD=17,DE=13,AE=14, ∴i, .①+②+③+④+⑤得2rA+rB+rc+rD+rE=74 则rA+rB+rc+rD+rE=37, 然后把①、②、③、④、⑤分别代入得rA=10,rB=6,rc=8,rD=9,rE=4, ∴.rA>rD>rc>rB>rE, ∴半径最大的圆的圆心A点， 5.(九年级上·浙江台州竞赛)如图，H是△ABC的垂心，AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于D、 E、F,则H是△就的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【答案】A 【详解】.'点H是△ABC的垂心， ∴.AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB, 由AD⊥BC,BE⊥AC可得∠ADC=∠BEC=90°， ∴.∠ADC+∠BEC=180°， .C、D、H、E四点共圆， ∴.∠ADE=∠ACF, 同理可证B、D、H、F四点共圆， .∠ADF=∠ABE 又∠ACF+∠CAF=90°，∠ABE+∠CAF=90°， .∴.∠ACF=∠ABE ∴.∠ADE=∠ADF, ∴.DH平分∠EDF, 同理可证EH平分∠就，FH平分∠EFD, 36/43 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点H是△就三内角平分线的交点，即点H是△乙的内心. 故选：A. 6.(九年级上·浙江·竞赛)⊙O为△ABC的外接圆，则必在⊙O上的是△ABC的() A.外心关于BC的对称点 B.垂心关于BC的对称点 C.内心关于BC的对称点 D.重心关于BC的对称点 【答案】B 【详解】A、外心O是外接圆的圆心，关于BC的对称点O到BC的距离等于O到BC的距离，但O到顶点 的距离不一定等于半径，故O不一定在⊙O上，故此选项不正确： B、根据几何定理，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，故此选项正确： C、内心是角平分线交点，其位置由内角决定，对称点不一定满足外接圆上点到顶点的距离相等，故不在 ⊙O上，故此选项不正确： D、重心是中线的交点，与顶点的距离关系不满足外接圆半径，对称点也不在⊙O上，故此选项不正确： 故选：B. 7.(2025八年级：全国·竞赛)如图，在△ABC中，BC≠AB,∠B=60°，取△ABC的内心记为点O, 分别作OM交AB于点M,ON交BC于点N,且OM=ON.则下列说法：①∠MON=120°；②四边形 OMBN的面积为△ABC面积的2倍：③当MN=BN时，△MON的周长有最小值：④过点MN,且以 点O为圆心的圆是△ABC的外接圆.则下列说法不正确的是() N M A.①②③ B.②④ C.③④ D.①②④ 【答案】D 【详解】解：如图，连接OB,过点O作OD⊥BC,OE⊥AB于点D,E, △ABC ABC 人 B ME 点O为 的内心，即为三角形 内切圆圆心，故④符合题意； .OB是∠ABC的平分线， 37/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OD=OE, 在Rt△ODN和Rt△OEM中， b, ∴.Rt△ODN≌Rt△OEM HL, ∴.∠DON=∠EOM, .∴.∠MON=∠DOE, .∠ABC=60°， ∴.∠D0E=120°， .∠MON=120°， 当取点N关于OD的对称点N,连接ON,此时OM=ON,但是，∠MON≠120°，所以①的判断不 一定正确，故①符合题意 .△DON≌△EOM, “四边形OMBN的面积=2 SABOD, .点D的位置固定， ∴.四边形OMBN的面积是定值， .∠B=60°，BC≠AB ∴.△ABC的形状不固定，三角形的面积也不固定，故②符合题意： 如图，过点O作OF⊥MN于点F, .ON=OM,∠MON=120 B M ∴.∠ONM=30°， .MN=2NF=2ON cos 2 ONM=3ON, ∴.△MON的周长=MN+2ON=V3ON+2ON=(V3+2)ON, ∴.当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值， 此时，Rt△OBN≌Rt△OBM HL, ∴.BN=BM, .∠B=60°， 38/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BMN是等边三角形， ∴.BN=MN, :.当MN=BN时，△MON的周长有最小值，故③不符合题意， 故选：D 8.(2024九年级·全国·竞赛)如图，点O为正五边形的中心，若要将△AOB绕点O旋转后得到△COD, 则以下旋转方式正确的是() A.按顺时针方向旋转144 B.按顺时针方向旋转404° C.按逆时针方向旋转144° D.按逆时针方向旋转216 【答案】C 【详解】解：正五边形的中心角为360°÷5=72°， 如果按顺时针方向旋转，OA到OC旋转的角度为72°×3=216°， 如果按逆时针方向旋转，OA到OC旋转的角度为72°×2=144°， 故选：C 9.(2024九年级·全国竞赛)如图，两半圆的圆心点O1、O2分别在直角△ABC的两直角边AB、AC上， 直径分别为AB、CD,如果两半圆相外切，且AB=AC=6Cm,那么图中阴影部分的面积为()， 0 A.(7-π)cm2 B.(5-π)cm2 C.7cm2 D.5cm2 【答案】D 【详解】解： 39/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 如图，连接DE,AF,O1O2, 设⊙O2半径为rcm,则O2C=rcm, .'△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=6cm .AO2=6-rcm,AO=3cm, 两半圆相外切， ∴.O102=3+rcm, 在Rt△AO102中，由勾股定理得，3+6-r=3+r2 解得：r=2, .:∠ABC=∠ACB=45°，DC、AB为两半圆直径， ∴.∠DEC=∠AFB=90°， ∴.CE=DE,AF=BE, ∴.弓形S1=S2,弓形S3=S4, .SMe=S△ABc-S△ABF-S△DEC =1×6×6-1x6×3-×2×2×2 2 =5cm. 故答案为：D. 10.(八年级·贵州遵义·竞赛)三角形内角平分线的交点称为三角形的内心，如图，D是△ABC的内心， E是△ABD的内心，F是△BDE的内心，若∠BFE的度数为整数，则∠BFE不可能为()度 40/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.100 B.108 C.112 D.120 E.135 【答案】ABC 【详解】解：，E是△ABD的内心， ·∠BDE=J ∠ADB, :D是△ABC的内心， ∴.∠ADB=180°- ∠ABC+∠BAC=180180-∠C)=90+号∠C, 1 即∠ADB=90+ 2 ∠C, F是△BDE的内心， 同理得∠BFE=90+ 2<BDE, 2BFE-90+号BDE=0+ADB=90+90+7<C-125+日C :∠BFE的度数为整数， ∴.当∠C=4°时，∠BFE=113°最小， 则∠BFE至少是113°， 故选ABC. 11.(2024九年级上陕西西安竞赛)如图，△ABC,△乙是等边三角形，边长分别为3、2，求 △CDF的内切圆的半径. 3 【答案】6 【详解】解：：∠EFC是△AEF的外角， 41/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EFD+∠DFC=∠A+∠AEF, 又：△ABC,△乙是等边三角形， ∴.∠EFD=∠A=60°，EF=DF, .∠DFC=∠AEF, ∴.△AEF≌△CFD AAS, 同理可得△AEF≌△BDE AAS, ∴.AF=DC, .∴.CD+CF=AF+CF=3, ∴.△CDF的周长为3+2=5， 设△CDF内切圆的圆心为O,的内切圆的半径为r, △CDF的面积为5aome+5aom+5ae号rDF+rDC+rCF-r1DFP+nc+CF-之rx5 。1 2 1 1 SAD&x元=1x元=Fx 3 3 3 即2rx5=53 12￥ 93 解得：r= 6 12.(2024九年级上·安徽安庆·竞赛)如图，△ABC内接于⊙O,点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O 于D点，连接OD交BC于点E,连接BD,BI. A B D (1)求证：DB=DI; (2)连接OI,若OI⊥AD,且AB+AC=10,求BC的长. (1)证明：：点I是△ABC的内心， ∴.AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, ∴.∠CAD=∠BAD,∠ABI=∠CBI, ,∠CAD=∠CBD, ∴.∠BAD=∠CBD, 42/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI, ∴.∠BID=∠DBI, ..DB=DI: (2)解：如图，过点I作IG⊥AC于点G,则∠AGI=90°， D ,OI⊥AD, ..AI=DI, 由(1)得，DB=DI, ..AI=DB ,∠CAD=∠BAD, ..CD=BD. .OD⊥BC, :∠BED=90°，BE=号BC. ∴.∠AGI=∠BED=90°， 又，∠GAI=∠EBD, .∴△AGI≌△BED, :AG=BE=号BC, 2 :点I是△ABC的内心，即点I是△ABC内切圆的圆心， AG-IAB+AC-BG). 号BC=AB+AC-BC, ..AB+AC=2BC, .AB+AC=10, .BC=5. 43/43