专题03 反比例函数（竞赛培优专项训练）九年级数学全国通用

专题03 反比例函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01根据反比例函数的定义求参数 题型02求反比例函数的值 题型03由图像求反比例函数解析式 题型04由反比例函数图象求对称点的坐标 题型05由比例系数求特殊图形面积 题型06根据图形面积求解析式 题型07反比例函数与几何综合 题型08反比例函数的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题8道） 考点一 根据反比例函数的定义求参数 1．已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义，得， 解得或， ∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， 当时，，满足条件， 当时， ，不满足条件， ∴， ∴函数的表达式为． 故答案为：． 2．已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【答案】或 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 3．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 4．函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1）解：∵函数是反比例函数，，解得 系数， 代入点：， 解得 经检验，，符合要求 ， （2）由（1）得函数解析式为 且 当时， 当时，，且随的增大而增大， 当时， ∴ 综上，或 考点二 求反比例函数的值 1．在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 2．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 3．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 4．已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 考点三 由图像求反比例函数解析式 1．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 3．如图，点P在反比例函数 的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 4．图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【答案】(1)第四象限；；(2) 【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限； 由图知，解得． （2）过作轴的垂线，垂足为，如图． 在中，令，则， 解得： 即． 由得， ∴， 即A点的纵坐标为． 将代入，求得， 即． ∴ ∴． 考点四 由反比例函数图象求对称点的坐标 1．如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______． 【答案】-4 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 故答案是：-4． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n） (1)求反比例函数y＝的表达式； (2)若两函数图象的另一交点为C，直接写出C的坐标． 【答案】(1)；(2)（-1，3） 【详解】（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣3x的图象上， ∴代入得：n＝（﹣3）×（﹣1）＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝（﹣1）×3＝﹣3． ∴反比例函数的解析式为． （2） 与y＝﹣3x的图象关于原点对称轴，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为 ∴另一个交点C的坐标是（-1，3）． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为． (1)求点的坐标和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转后点的对应点恰好能落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1）解：由题意，分别将点的纵坐标代入正比例函数和反比例函数的表达式可知：，， 整理可得，， 解得， ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 点的坐标为， ∴由点，关于原点对称得点的坐标为； （2）解：①当点在轴正半轴上时，如图所示， 分别过点、向轴作垂线，垂足为、， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，，， ∴点的坐标为，将点坐标代入反比例函数表达式， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴点的坐标为； ②当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点、向轴作垂线，垂足为、， 同理可得，，， ∴， 设，则，，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为，将点坐标代入反比例函数表达式， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 4．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E． (1)根据图象的对称性，可知A点坐标为　 　，B点坐标为　 　； (2)求反比例函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1),；(2)；(3)5 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象相交于，两点． 关于原点对称， ， 点坐标为，B点坐标为， 故答案为,； （2）解：把代入得，， 反比例函数解析式为； （3）解：连接、， 轴， ， ， 的面积为5． 考点五 由比例系数求特殊图形面积 1．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数 （）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：作于点D，连接， 设等边三角形的边长为a，则， ∴， ∵平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上， ， ， （负数舍去）， ∴等边的边长为． 2．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点处，且，若点的坐标为（2，4），则直线BF的解析式为__________． 【答案】 【详解】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2． ∵CD＝BD， ∴S△CDO＝＝S矩形ABCO， ∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCO， ∴AE＝EB， ∵C′(2，4)， ∴AE＝EB＝4， 在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2， ∴m2＝42+(m﹣2)2， ∴m＝5， ∴E(5，4)， ∴B(5，8)，则BC＝5， 延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴， ∴C′G＝2，CG＝4， ∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即(4﹣FG)2＝22+FG2， ∴FG＝， ∴OF＝4+＝，F(0，) 设直线BF的解析式为y=kx+b，则 解得 ∴ 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为______．    【答案】10 【详解】∵（）的图象经过平行四边形的顶点A， ∴设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵图象沿轴对称所得图象为，这个图象恰好经过中点， ∴， ∵点O、A的水平距离为x，，， ∴点B、C的水平距离也为x， ∴点M、B的水平距离为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 4．如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 考点六 根据图形面积求解析式 1．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 2．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 4．如图，点B在反比例函数 的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数 于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 考点七 反比例函数与几何综合 1．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，顶点D的坐标是，反比例函数（常数，）的图像恰好经过正方形的两个顶点，则k的值为 ． A．5 B．12.5 C．22.5 D．27.5 【答案】5或22.5 【详解】解：如图：作轴于M，x轴于N，过C作轴，分别交的延长线于F、E， 正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 顶点D的坐标是． ，， 同理：， ，， ，， 设，即点B的纵坐标为m， ，,即点C的纵坐标为， ， ∵顶点A在x轴正半轴上， ∴反比例函数（常数）一定不经过点A， ①当反比例函数（常数）过D时，； 同时过点C，即，解得：，不符题意，舍去； 同时过点B，时，解得（已舍去负值），符合题意；故该情况成立，即； ②当反比例函数（常数）过B、C时，即时，解得（已舍去负值），符合题意，故该情况成立，此时． 综上，k的值为5或． 3．如图，点，，，四点分别在双曲线和上，且轴，若四边形是平行四边形，则它的面积为________． 【答案】 【详解】解：设点的纵坐标为()． ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上 ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴且 ∴轴，且 设点的纵坐标为 ∵点分别在双曲线和上 ∴ ∵ ∴，即 若，则点与点在同一直线上，无法构成平行四边形 ∴ ∴平行四边形边上的高 ∴ 4．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)存在；E点的坐标为或或 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 考点八 反比例函数的应用 1．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 2．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 3．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【详解】（1）解：∵平台（水平）与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：①； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由略； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 4．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要． 根据题意得， 解得， 答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要； （2）解：①设当时，，当时，， 由题意得，， 解得， ∴，． ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗． 1．（八年级下·江苏南京竞赛）一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=图象交于点(1,4)， ∴4=-1+b，4=， ∴b=5，k=4， ∴一次函数为y1=-x+5，反比例函数为y2=， 把y=0代入y1=-x+5得，x=5， ∴一次函数y1=-x+5的图象交x轴于点(5,0)， 联立，解得：或， ∴一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=图象交于点(1,4)和(4,1)，如图， 观察图象，当y1＞y2＞0时，x的取值范围是1＜x＜4． 故答案为：1＜x＜4． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为____________． 【答案】12 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，如图所示： 联立， 解得：，， ∴，， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 把代入得：， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，反比例函数在第二象限的图象上有一点，轴于点，轴于点，直线与都与轴相交于点，分别交轴于点、，如果梯形的面积为，那么的值为______．    【答案】 【详解】解：由一次函数可得，， ∴， 把代入得，， ∴直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴点坐标为， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 4．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点M、N，则的面积为______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 建立如图新的坐标系（为轴，为轴）． 在新的坐标系中，，，曲线l的解析式为：， ∴直线解析式为， 由， 解得或， ∴，， ∴， 故答案为：8． 5．（2023九年级·浙江杭州·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 【答案】/ 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的纵坐标为4，横坐标为， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得， ， ， 当时，， ， ． 6．（八年级下·湖南长沙·竞赛）设为非零实数，两个函数与的图象相交于，两点，若，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意可令，整理得：， ∴，解得：， 由韦达定理可得：， ∴， 解得：． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标． 【答案】或 【详解】解：根据对称性，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，如图， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 当时，则， ∴， 即， 解得(舍)或， ∴点； 当时，则， ∴， 即， 解得(舍)或， ∴点． 综上，点的坐标为或． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中有一个任意锐角，其中在轴上，在第一象限，且与函数的图象相交于点，以点为圆心、以的长度为半径的圆与点右方的函数图象相交于点，过点分别平行轴、轴的直线相交于点，、相交于点，过点、分别平行轴、轴的直线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：设点、， 则点的坐标为， 直线的解析式为， 而点的坐标为，满足， 点在直线上， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 而 ，， ， ，即：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01根据反比例函数的定义求参数 题型02求反比例函数的值 题型03由图像求反比例函数解析式 题型04由反比例函数图象求对称点的坐标 题型05由比例系数求特殊图形面积 题型06根据图形面积求解析式 题型07反比例函数与几何综合 题型08反比例函数的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题8道） 考点一 根据反比例函数的定义求参数 1．已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 2．已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 3．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 4．函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 考点二 求反比例函数的值 1．在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 2．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 3．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 4．已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 考点三 由图像求反比例函数解析式 1．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 3．如图，点P在反比例函数 的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 4．图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 考点四 由反比例函数图象求对称点的坐标 1．如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n） (1)求反比例函数y＝的表达式； (2)若两函数图象的另一交点为C，直接写出C的坐标． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为． (1)求点的坐标和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转后点的对应点恰好能落在反比例函数图象上，求点的坐标． 4．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E． (1)根据图象的对称性，可知A点坐标为　 　，B点坐标为　 　； (2)求反比例函数解析式； (3)求的面积． 考点五 由比例系数求特殊图形面积 1．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数 （）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 2．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点处，且，若点的坐标为（2，4），则直线BF的解析式为__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为______．    4．如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 考点六 根据图形面积求解析式 1．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 4．如图，点B在反比例函数 的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数 于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 考点七 反比例函数与几何综合 1．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，顶点D的坐标是，反比例函数（常数，）的图像恰好经过正方形的两个顶点，则k的值为 ． A．5 B．12.5 C．22.5 D．27.5 3．如图，点，，，四点分别在双曲线和上，且轴，若四边形是平行四边形，则它的面积为________． 4．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 考点八 反比例函数的应用 1．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 2．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 3．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 4．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 1．（八年级下·江苏南京竞赛）一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是_____． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为____________． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，反比例函数在第二象限的图象上有一点，轴于点，轴于点，直线与都与轴相交于点，分别交轴于点、，如果梯形的面积为，那么的值为______．    4．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点M、N，则的面积为______． 5．（2023九年级·浙江杭州·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 6．（八年级下·湖南长沙·竞赛）设为非零实数，两个函数与的图象相交于，两点，若，求的值． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中有一个任意锐角，其中在轴上，在第一象限，且与函数的图象相交于点，以点为圆心、以的长度为半径的圆与点右方的函数图象相交于点，过点分别平行轴、轴的直线相交于点，、相交于点，过点、分别平行轴、轴的直线相交于点．求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $