专题04 旋转（竞赛培优专项训练）九年级数学全国通用

专题04 旋转 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01找旋转中心、旋转角 题型02旋转中的规律问题 题型03旋转的性质 题型04坐标系中的旋转问题 题型05旋转综合问题 题型06中心对称 题型07中心对称规律问题 题型08关于原点对称的点的坐标 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 找旋转中心、旋转角 1．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 2．如图，已知正方形①与正方形②边长相等，正方形②可以看作是正方形①经过怎样的图形变化得到?下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次翻折和1次平移；③经过两次旋转；④经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【详解】解：①将正方形①平移，使一个顶点与正方形②的一个顶点重合，然后绕该公共顶点旋转一定的角度，即可得到正方形②，故①正确； ②正方形是中心对称图形，将正方形①关于某条直线翻折，再经过平移，可以与正方形②重合，故②正确； ③将正方形①绕其中心旋转，正方形①的位置和形状不变，然后再绕公共顶点旋转至正方形②的位置，这属于经过两次旋转，故③正确； ④若正方形①的公共顶点对应正方形②的公共顶点，则旋转中心为公共顶点； 若正方形①的公共顶点对应正方形②的其他顶点，则旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点，此时旋转中心不是公共顶点， ∴平面内可以作为旋转中心的点不止一个，故④错误． 故答案为①②③． 3．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，将三角尺绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_______°时，边恰好与边平行． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴，， 当在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时边旋转了，即边旋转了； 当在下方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时边旋转了，即边旋转了； 综上，当边旋转或时，边恰好与边平行． 4．如图，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点P，．研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的，则这个旋转中心是图中的点_______________，旋转角可以用含的代数式表示为_______________． 【答案】P 【详解】解：由题意，点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，根据轴对称的性质得到，，， ∴， ∴点绕点旋转得到点，即旋转中心是图中的点； 由图可知：， ∴旋转角. ∵旋转角记为， ∴． 考点二 旋转中的规律问题 1．按表格中从左到右所示的排列规律，在空格中应填（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按逆时针方向转动． ∴在空格中应填：． 2．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 3．如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴按此规律继续旋转，每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环， ∵， ∴． 4．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 考点三 旋转的性质 1．如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 【答案】 【详解】解：过E作于G，过A作于P，过F作于H， 则， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点D运动时，点F与直线的距离始终为， ∴当时，最小，最小值为. 2．两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 【答案】或或或 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当旋转角或或或时，的一边与的一边平行． 3．如图，在菱形中，，，E为上一动点，绕点A旋转得到线段，对应点F落在菱形内（不包括边界），则的取值范围为_______________． 【答案】 【详解】解：取中点M，的中点N，连接，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形，， ∴，，， ∴，，，， ∵， ∴， 根据旋转可得：，， 当点E在点D处时，点F在的延长线上； 当点E在点N处时，点F在线段上； 当点E在线段上时，点F在菱形外； 当点F落在边上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 设，如图，过E作交于G， 则， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当点F落在边上时，； 当点F落在上时，E为的中点，此时， ∴的取值范围为． 4．如图1，直角与直角的斜边在同一直线上，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中； (1)如图2，当 时，，当 时，； (2)如图3，当顶点在内部时，边分别交的延长线于点 ①此时的度数范围是 ； ②与度数的和是否变化？若不变求出与度数和；若变化，请说明理由； ③若使得，求的度数范围． 【答案】(1)；(2)①；②不变，；③． 【详解】（1） 旋转过程中， 当时，如图1 ， 即，； 当时， 如图2 ， 即，． （2）① 当过点时，如图3 ∵平分,,, ∴,, ∴, 即， ∴； 当过点时，如图4 , 即， ∴， 综上，当点在内部时，． ②如图3，在中，, 则, 在中，, 则, ∴． ③由②知：，， 代入得， ∴， 又由①可知， 综上． 考点四 坐标系中的旋转问题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设点的坐标为， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴由旋转的性质可得，， 即， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意， 故选：A 2．如图，曲线是由二次函数的图象绕坐标原点顺时针旋转得到的，过点，的直线与曲线交于两点，则的长度为（ ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【详解】解：， 建立如图新的直角坐标系，为轴， 此时，， 在新的坐标系中，， 设直线解析式， 将代入得：， 解得：， ， 过点，的直线与曲线交于两点， 由， 解得或， ， ， 故选：B． 3．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， 同理， 如此下去，得到线段，，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ，解得， 点的坐标是． 故答案为：． 考点五 旋转综合问题 1．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，是等腰内一点，，连接，，． (1)如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若，，，求的大小； (3)当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：如图2，连接． 将绕点顺时针旋转，与重合， ，， ，，， 是等腰直角三角形， ，． 在中，，，， ， △是直角三角形，， ； （3）如图3①，将绕A点逆时针旋转得到，连接， ， ，，， 是等边三角形， ， ，，， ， 是直角三角形，， ，， ； ， ； 如图3②，同理可求：和的面积的和， 和的面积的和， 的面积， 的面积的面积与的面积的和． 故答案为． 3．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8；(2)结论成立，理由见解析；(3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ， 同理，， ∴， 故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，    过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①补全图形如图．    ②上述结论不成立，．理由： 过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】(1)；(2)，4.；(3) 【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 乙：如图2，同理可得，，， ； 丙：如图3同理可得，，， ； （2）同理（1）可得：， ∴， 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4. （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴ 考点六 中心对称 1．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 2．如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 3．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】 【详解】解：如图1，，，取的中点，连接、、． ． 同理． 正方形，为中点，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 如图1，在点与之间总有， 由于的大小为定值，只有，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立，如图2， 线段取最大值， 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． (1)在图1中，画；连接，再作关于的对称点； (2)在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 【详解】（1）解：如图，设交于点，交于点， ∵， ∴到的距离等于的长， ∵ ∴ ∴到的距离等于的长 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴到的距离相等 ∴ ∴点是关于的对称点； （2）解：如图，连接 由作图可得 ∴四边形是平行四边形 又∵为对角线中点，平行四边形是中心对称图形，且为对称中心， ∴ 考点七 中心对称规律问题 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去．则（n是正整数）的顶点的坐标是________． 【答案】(4041，) 【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2-1=3，2×0-=-， ∴点A2的坐标是（3，-）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×3-1=5，2×0-（-）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×4-1=7，2×0-=-， ∴点A4的坐标是（7，-）， … ∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…， ∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）， 当n=2021时，顶点A2n+1的坐标是（4041，）， 故答案为：（4041，）． 考点八 关于原点对称的点的坐标 1．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【答案】(1)，；(2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为；(3)时，P坐标为，Q坐标为 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）由题意可得：点P运动路程为t，点Q运动路程为，长方形的周长为， 根据题意得， ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）由题意：、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 ∴两点的位置关于原点O对称， 当时，此时点P所走的路程4，坐标为 此时Q坐标为，满足条件， 所以此时P坐标为，Q坐标为． 1．（2024九年级·全国·竞赛）若点关原点对称的点在第一象限，则整数的解的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】∵点关于原点对称的点为且在一象限， ∴， 解得 ∴整数的值有0和1共两个． 故选：B． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如下图， 根据题意，点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上， 可设点， ∵将点绕原点旋转后得到点， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∴四边形的面积 ． 故选：C． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将绕点按顺时针方向旋转后得到， ， 故选：B． 4．（九年级·广西防城港·竞赛）坐标轴上的点的坐标特征：轴上的点的______坐标为0；轴上的点的______坐标为0；点关于原点对称的点的坐标为（______，_______）． 【答案】纵 横 【详解】解：根据平面直角坐标系的定义，可得：轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为； 关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此坐标关于原点对称的点的坐标为． 5．（2024八年级上·全国·竞赛）有下列命题： ①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ③等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④有一个锐角是的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 其中正确命题的序号是___________．（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】①②③④ 【详解】解：①矩形沿其对边中点的连线所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以矩形是轴对称图形，有两条对称轴；矩形绕其对角线的交点旋转后，能够与原来的图形重合，所以矩形是中心对称图形；故①正确； ②平行四边形绕其对角线的交点旋转后，能够与原来的图形重合，所以平行四边形是中心对称图形；一般的平行四边形（非矩形、菱形）沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形；故②正确； ③等腰梯形沿其上下底中点的连线所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；等腰梯形绕任何一点旋转后，都不能与原来的图形重合，所以等腰梯形不是中心对称图形；故③正确； ④有一个锐角是的直角三角形，其三边长度不相等，沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形；该直角三角形绕任何一点旋转后都不能与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 6．（九年级上·湖南长沙·竞赛）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴位于直线的右侧，有结论：①；②；③．则以上结论正确的是________． 【答案】①②③ 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②③． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将按顺时针方向旋转后得到，且边恰好经过点，那么的度数为___________．    【答案】 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵，则， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，，点E在上且与的中点O不重合，连接，求证：． 【答案】详见解析 【详解】证明：将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接， 则为等腰直角三角形，，下面再证明． 连接，则， ， ， ， ， ∵点O是中点， ∴，， ， ∵， ∴， ∴即， ∴四边形为平行四边形， ， 所以． 9．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度； (1)将向轴正方向平移个单位得； (2)画出关于原点对称的，并写出的坐标； (3)将再以点为旋转中心，顺时针旋转得，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． 【答案】(1)见解析；(2)见解析，的坐标为；(3)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，的坐标为； （3）解：如图所示，即为所求． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度后得到，且点正好落在线段上． (1)求旋转角的度数； (2)若点为的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)；(2)菱形，见解析． 【详解】（1）解：由旋转可知，， 又， 为等边三角形， ，即旋转角的度数为． （2）解：由（1）知，为等边三角形， ， ∵点为直角斜边的中点， ， 又， ， ， ， 四边形为菱形． 11．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，为等边三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)当时，____________； (2)如图2，以为边向外作等边三角形，连接，求的最大值，并求取最大值时的值． 【答案】(1)；(2)最长为2，的值为120 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E，由旋转的性质可得，， 绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接， 和都是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， 当和共线时，最长， 此时，，， 即最长为2，的值为120． 12．（2024八年级·全国·竞赛）如图，和都为等边三角形，点、分别为、的中点． (1)当点、分别在、上时（如图），求证：；为等边三角形； (2)绕点逆时针方向旋转，当点、、共线时（如图），（）中的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)继续旋转，当点在上时（如图），（）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)仍然成立，理由见解析；(3)仍然成立，理由见解析． 【详解】（1）证明如下： ∵和都为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 由可知，，， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴， 又， ∴为等边三角形； （2）还成立，证明如下： （）∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， （）由（）可知，，，而点、分别为、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； （3）仍然成立，证明如下： ∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， 又点、分别为、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01找旋转中心、旋转角 题型02旋转中的规律问题 题型03旋转的性质 题型04坐标系中的旋转问题 题型05旋转综合问题 题型06中心对称 题型07中心对称规律问题 题型08关于原点对称的点的坐标 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 找旋转中心、旋转角 1．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 2．如图，已知正方形①与正方形②边长相等，正方形②可以看作是正方形①经过怎样的图形变化得到?下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次翻折和1次平移；③经过两次旋转；④经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 3．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，将三角尺绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_______°时，边恰好与边平行． 4．如图，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点P，．研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的，则这个旋转中心是图中的点_______________，旋转角可以用含的代数式表示为_______________． 考点二 旋转中的规律问题 1．按表格中从左到右所示的排列规律，在空格中应填（     ） A． B． C． D． 2．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 4．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 考点三 旋转的性质 1．如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 2．两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 3．如图，在菱形中，，，E为上一动点，绕点A旋转得到线段，对应点F落在菱形内（不包括边界），则的取值范围为_______________． 4．如图1，直角与直角的斜边在同一直线上，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中； (1)如图2，当 时，，当 时，； (2)如图3，当顶点在内部时，边分别交的延长线于点 ①此时的度数范围是 ； ②与度数的和是否变化？若不变求出与度数和；若变化，请说明理由； ③若使得，求的度数范围． 考点四 坐标系中的旋转问题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，曲线是由二次函数的图象绕坐标原点顺时针旋转得到的，过点，的直线与曲线交于两点，则的长度为（ ） A． B． C．10 D． 3．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 考点五 旋转综合问题 1．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 2．如图，是等腰内一点，，连接，，． (1)如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若，，，求的大小； (3)当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 3．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 4．如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 考点六 中心对称 1．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 3．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． (1)在图1中，画；连接，再作关于的对称点； (2)在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 考点七 中心对称规律问题 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去．则（n是正整数）的顶点的坐标是________． 考点八 关于原点对称的点的坐标 1．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 1．（2024九年级·全国·竞赛）若点关原点对称的点在第一象限，则整数的解的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则（    ） A． B． C． D． 4．（九年级·广西防城港·竞赛）坐标轴上的点的坐标特征：轴上的点的______坐标为0；轴上的点的______坐标为0；点关于原点对称的点的坐标为（______，_______）． 5．（2024八年级上·全国·竞赛）有下列命题： ①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ③等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④有一个锐角是的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 其中正确命题的序号是___________．（把所有正确的命题的序号都填上） 6．（九年级上·湖南长沙·竞赛）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴位于直线的右侧，有结论：①；②；③．则以上结论正确的是________． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将按顺时针方向旋转后得到，且边恰好经过点，那么的度数为___________．    8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，，点E在上且与的中点O不重合，连接，求证：． 9．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度； (1)将向轴正方向平移个单位得； (2)画出关于原点对称的，并写出的坐标； (3)将再以点为旋转中心，顺时针旋转得，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度后得到，且点正好落在线段上． (1)求旋转角的度数； (2)若点为的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 11．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，为等边三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)当时，____________； (2)如图2，以为边向外作等边三角形，连接，求的最大值，并求取最大值时的值． 12．（2024八年级·全国·竞赛）如图，和都为等边三角形，点、分别为、的中点． (1)当点、分别在、上时（如图），求证：；为等边三角形； (2)绕点逆时针方向旋转，当点、、共线时（如图），（）中的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)继续旋转，当点在上时（如图），（）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $