第5章 二次函数 单元测试（基础巩固）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版初中数学第5章二次函数基础巩固单元卷，覆盖定义、图像性质等核心知识点，通过基础题与情境应用题梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义（题1）、顶点坐标（题2）、图像与一次函数综合（题4）|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|5/15|对称轴（题11）、增减性（题13）、最值应用（题14）|强化性质理解，渗透推理意识| |解答题|8/75|图像绘制（题16）、喷泉通道设计（题15）、小球运动建模（题23）|结合真实情境，突出模型意识与综合应用|

北师大版第5章 二次函数单元测试卷（基础巩固） 满分：120分 时间：90分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3或3 1.【答案】C 【解析】根据二次函数定义可得：，由|a|﹣1＝2，得|a|＝3，即a＝3或a＝﹣3， 又∵a+3≠0，∴a≠﹣3，∴a＝3． 2．二次函数y＝﹣（x+3）2+2的图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.【答案】B 【解析】∵二次函数解析式可变形为y＝﹣（x﹣（﹣3））2+2，符合顶点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，∴该二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，2），∵顶点横坐标﹣3＜0，纵坐标2＞0，符合第二象限内点的坐标特点，∴顶点在第二象限． 3．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 3.【答案】B 【解析】y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4.【答案】A 【解析】A、由抛物线可知，a＞0，，得b＞0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项符合题意； B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项不符合题意；C、由抛物线可知a＞0，由直线可知a＜0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知a＜0，，得b＜0，由直线可知a＜0，b＞0，故本选项不符合题意． 5．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 5.【答案】D 【解析】根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k 的性质逐项分析判断如下：A、由二次函数解析式可知抛物线开口向上，A错误，不符合题意；B、对称轴为 x＝h＝3，B错误，不符合题意；C、顶点坐标为 （3，1），C错误，不符合题意；D、∵a＞0，开口向上，∴当 x＜3 时，y随x的增大而减小，∴D正确，符合题意． 6．已知抛物线y＝x2+bx+b+1经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是（　　） A．b＞0 B．b＜0 C．b＞﹣1 D．b＜﹣1 6.【答案】D 【解析】抛物线y＝x2+bx+b+1的二次项系数为1，1＞0，开口向上，∵抛物线y＝x2+bx+b+1经过第一、第二、第三、第四象限，∴抛物线与轴的交点在y轴负半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点．令x＝0，得y＝b+1，∴b+1＜0，解得b＜﹣1．判别式Δ＝b2﹣4×1×（b+1）＝b2﹣4b﹣4．当b＜﹣1时，Δ＝b2﹣4b﹣4＞0，抛物线与x轴有两个不同交点，满足条件．综上，b的取值范围是b＜﹣1. 7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c为常数，且a＜0）的图象经过点P（﹣1，m2+4）、Q（t，4m），则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．t≤3 C．t≤﹣1或t≥3 D．﹣1≤t≤3 7.【答案】C 【解析】∵y＝ax2﹣2ax+c，a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，由条件可知m2+4﹣4m＝（m﹣2）2≥0，即yP≥yQ，∴点Q到对称轴x＝1的距离大于等于点P到对称轴的距离，∵点P到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2，∴|t﹣1|≥2， 解得t≤﹣1或t≥3． 8．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 8.【答案】A 【解析】若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点，①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大，∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4，∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4，解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1），∴t＝﹣4；②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小，∴当t＞2时，即函数有最大值4，∴﹣t2+4t+9＝4，解得t＝5或t＝﹣1（舍去），∴t＝5，综上，t的值为﹣4或5. 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.48 0.05 0.65 … A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 9.【答案】C 【解析】∵x＝1.3时，y＝﹣0.48；x＝1.4时，y＝0.05；∴抛物线与x轴的一个交点在1.3和1.4点之间， ∴方程有一个根在1.3和1.4点之间． 10．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓ACB所在抛物线的解析式为．则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A．y＝4（x﹣3）2 B． C．y＝﹣4（x﹣3）2 D． 10.【答案】B 【解析】∵左轮廓ACB所在抛物线的解析式为，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），故右边抛物线的解析式为. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．一条抛物线的对称轴为直线x＝1，y的最大值是3，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是　 ． 11.【答案】． 【解析】一条抛物线的对称轴为直线x＝1，y的最大值是3，且与抛物线的形状相同，∴抛物线的顶点坐标为（1，3），设这条抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵抛物线有最大值，开口向下，∴，∴这条抛物线的解析式为． 12．已知二次函数y＝﹣x2+2x+q的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+q＝0的一个解为x1＝﹣1，则另一个解x2＝　　 ． 12.【答案】3 【解析】若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+q＝0的一个解为x1＝﹣1，∵y＝﹣x2+2x+q，∴对称轴为直线，∴，∵x1＝﹣1，∴x2＝3． 13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若1＞x1＞x2，则y1　　 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13.【答案】＜． 【解析】∵y＝（x﹣1）2+1，∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，∵1＞x1＞x2，∴y1＜y2． 14．已知二次函数y＝﹣x2+5x﹣1，点A在该图象的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则AB+AC的最大值 ． 14.【答案】8 【解析】设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0，由条件可知AB＝y，AC＝x，∴AB+AC＝x+y＝x+（﹣x2+5x﹣1）＝﹣x2+6x﹣1，∵﹣x2+6x﹣1＝﹣（x﹣3）2+8，且﹣1＜0，∴当x＝3时，﹣x2+6x﹣1有最大值8. 15．景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道EFGH，通道顶部EH距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度FG＝2米，求通道顶部距离地面的最大高度：　　 ． 15.【答案】米． 【解析】由题意，∵，∴顶点为（4，5），对称轴为直线x＝4，∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH通道，∴矩形EFGH关于抛物线的对称轴直线x＝4对称，∵通道宽FG为2米， ∴F（3，0），G（5，0），∵通道顶部EH到水柱的竖直距离均不小于2米，∴y水柱﹣yEH≥2，即yEH≤y水柱﹣2，∴当通道顶部EH到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，又∵当x＝3时，则有，∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 16.解：（1）列表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 描点，连线画出该二次函数的图象如图： ； （2）抛物线的图象的开口向上、顶点坐标为（0，﹣4）、对称轴为y轴． 17．（8分）已知抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，求a的值． 嘉佳和晓莉的解法如下： 嘉佳：∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，∴a＝﹣2． 晓莉：∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，∴|a|＝|﹣2|，∴a＝﹣2或2． 判断嘉佳和晓莉的解法正确与否，并说明理由． 17.解：晓莉的解法正确，嘉佳的解法不正确， ∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，存在两种情况，一个是开口方向相同，另一个是开口方向相反， ∴a＝2或﹣2. 18．（9分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2﹣4x+c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出P点的坐标． 18.解：（1）由已知条件得： ， 解得：， 所以，此二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x； （2）如图所示：不等式ax2﹣4x+c＞0的解集为：﹣4＜x＜0； （3）∵点A的坐标为（﹣4，0）， ∴AO＝4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP4h＝8， 解得h＝4， ①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x＝4， 解得：x＝﹣2， 所以，点P的坐标为（﹣2，4）， ②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x＝﹣4， 解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2， 所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4）， 综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）． 19．（9分）如图，某公园打造的花海由线段OB和抛物线OAB围成，抛物线的顶点A到OB的距离为80m，OB＝60m，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，经过点O且与OB垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与x轴垂直． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该花海被分成四部分，其中矩形CDEF区域内种植向日葵，已知点C、D在OB上，点E、F在抛物线上（点E在抛物线对称轴的右侧），且DE＝60m，求该花海中种植向日葵的面积（即矩形CDEF的面积）． 19.解：（1）由题意得，抛物线的顶点A为（30，80），点B为（60，0）． ∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣30）2+80（a≠0）， ∵抛物线过B（60，0）， ∴900a+80＝0，则， ∴抛物线为 （或 ）； （2）由题意，∵点E的纵坐标为60， ∴令，则x1＝45，x2＝15． ∵点E在抛物线对称轴的右侧， ∴E为（45，60），F为（15，60）， ∴EF＝45﹣15＝30（米）， ∴S矩形CDEF＝30×60＝1800（平方米）， ∴该花海中种植向日葵的面积是1800平方米． 20．（9分）阅读与思考 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解． 思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1•y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表： x的值 0 1 2 3 y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围． 20.解：（1）将x1＝1代入得，y1＝﹣3；当x2＝2时，y2＝5， 所以y1•y2＜0，所以方程的解落在1和2之间． （2）∵方程x2+4x+m＝0有两个不同的解， ∴Δ＝42﹣4m＞0， ∴m＜4， 将x1＝﹣4，x2＝﹣5分别代入得y1＝m，y2＝m+5， ∵恰有一个解落在﹣4与﹣5之间， ∴y1y2＝m（m+5）＜0，所以﹣5＜m＜0． 21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a为常数，且a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若a＞0，当0≤x≤3时，函数有最大值﹣1． ①求a的值． ②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y＝x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m＞6，求b的取值范围． 21.解：（1）抛物线的对称轴为直线； （2）①由（1）知，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4对称轴为直线x＝1， ∴1﹣0＝1，3﹣1＝2，且2＞1， ∴当x＝3时，函数有最大值﹣1． 代入解析式得9a﹣6a﹣4＝﹣1， 解得a＝1； ②由①知，a＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣4， ∴t＝s2﹣2s﹣4， ∵t＝s2﹣2s﹣4＝（s﹣1）2﹣5， ∴当s＝1时，t有最小值﹣5， ∵t的最大值与最小值的差为m， ∴m＝t﹣（﹣5）＝t+5， ∵m＞6， ∴t+5＞6， ∴t＞1， ∴s2﹣2s﹣4＞1， ∴s2﹣2s﹣5＞0， 当s2﹣2s﹣5＝0时，， ∴或， ∴，， 或，， 故b的取值范围为． 22．（11分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，连接BC，请回答下列问题： （1）将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段AB下方的部分对应的函数表达式； （2）如图，点P是线段AB下方部分的图象上的一动点，过点P作PE⊥x轴，是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22.解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0）， ∴将两点坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c可得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3）， 由翻折可知点C′坐标为（0，﹣3）， 设图象位于线段AB下方的部分对应的函数表达式为y＝a（x+3）（x﹣1）（﹣3＜x＜1）， 将点C′坐标代入y＝a（x+3）（x﹣1）可得﹣3a＝﹣3， 解得a＝1， ∴图象位于线段AB下方的部分对应的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（﹣3＜x＜1）； （2）∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）， ∴OC＝3，OB＝1． 设点P坐标为（m，m2+2m﹣3）， ∴PE＝﹣（m2+2m﹣3），AE＝m+3， 分情况求解如下： ①当△AEP∽△BOC时，， ∴． 解得m1＝﹣3（舍去），m2＝﹣2， 此时点P的坐标为（﹣2，﹣3）； ②当△AEP∽△COB时，， ∴， 解得m3＝﹣3（舍去）或， 此时点P的坐标为； 综上所述，存在点P，其坐标为（﹣2，﹣3）或，使得以点A，P，E为顶点的三角形与△OBC相似． 23．（11分）综合与实践 【问题情境】：如图1，一个小球在一条足够长的平直轨道（射线AB）上运动．轨道上存在恒定的摩擦力，小球从点A出发，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动的过程中，其速度v（单位：cm/s）与时间t（单位：s）之间的部分数据如下表所示： t/s 0 2 4 6 … v/（cm/s） 10 9 8 7 … 【建立模型】： （1）根据表格中的实验数据可知，v是t的　　 （选填“一次”“二次”或“反比例”）函数，则v关于t的函数表达式为　　 ． （2）实验测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为100cm．已知其路程y（单位：cm）关于时间t的关系是抛物线的一部分，求y关于t的函数表达式． 【问题解决】： （3）如图2，在（2）的条件下，轨道上是否存在点C和点D（点C在点D的左侧），CD＝5.25cm，小球从C到D用时恰好为1s？若存在，求点D到点A的距离；若不存在，请说明理由． 23.解：（1）由题意，根据表格可得时间每增加2秒，速度均匀减少1cm/s， ∴v是t的一次函数， 设v＝kt+b， ∴， ∴， ∴， ∵当v＝0时，则， ∴t＝20， ∴． 故答案为：一次，； （2）由题意得，， ∴， ∴； （3）存在． 设小球到达点C的时间为t秒，则到达点D的时间为（t+1）秒， 由题意得，C，D的距离等于（t+1）秒时的路程减去t秒时的路程， ∴， ∴t＝9， 此时t+1＝10≤20，符合题意， ∵点D到点A的距离为t＝10s时的路程， ∴点D到点A的距离， 答：存在，点D到点A的距离为75cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/20 22:24:29；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版第5章二次函数单元测试卷（基础巩固） 满分：120分时间：90分钟 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分) 1.若是关于x的二次函数y=(at3)x1-x+1,则a的值是() A.-3 B.2 C.3 D.-3或3 2.二次函数y=-(x+3)2+2的图象的项点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.把二次函数y=x2-2x-1的解析式配成顶点式为() A.y=(x-1)2 B.y=(x-1)2-2 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x+1)2-2 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+b和二次函数y=ax+bx+c的图象可能是() . 5.下列关于抛物线y=2(x-3)+1的说法，正确的是( A.开口向下 B.对称轴是直线x=-3 C.顶点坐标是(-3,1) D.x<3时，y随x的增大而减小 6.已知抛物线y=x+bx+b叶1经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是() A.b>0 B.b<0 C.b>-1 D.b<-1 7.己知二次函数y=ax2-2ax+c(、c为常数，且a<0)的图象经过点P(-1,2+4)、Q(t,4),则 t的取值范围是() A.t≥-1 B.t≤3 C.t≤-1或t≥3D.-1≤t≤3 第1页（共7页） 8.若二次函数y=-x2+4x+9在t≤x≤什3的范围内的最大值为4，则实数t的值为() A.-4或5 B.-1或5 C.-1或7 D.-4或7 9.已知二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程+bx+c=0 的一个根的近似值可能是() 1.2 1.3 1.4 1.5 -1 -0.48 0.05 0.65 A.1.12 B.1.26 C.1.38 D.1.45 10.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关 于y轴对称，左轮廓4CB所在抛物线的解析式为y=(x+3)2.则右轮廓D阳所在抛物线的解析式为 () y B A.y=4(x-3)2 B.y=4(x-3)2 C.y=-4(x-3)2 D.y=-1c-3)2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分) 11.一条抛物线的对称轴为直线x=1,y的最大值是3，且与抛物线y=-x2的形状相同，则这条抛物线 的解析式是 12.已知二次函数y=-x+2x+q的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程-x2+2x+q=0的一个解 为x1=-1,则另一个解x2=」 13.己知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=（x-1)2+1的图象上，若1>x1>x2,则y1y2 第2页（共7页） (填“>”、“<”或“=八 14.已知二次函数y=-x+5x-1,点A在该图象的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂 足分别为点B,C,则AB+AC的最大值 15.景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)满足：y= (x-4④2+5。在水柱最高点正下方修建矩形观景通道五G五，通道顶部BH距离水柱竖直高度不少于 2米，通道宽度G=2米，求通道顶部距离地面的最大高度： /米 y/米 E H Px/米 Px/米 图1 图2 图3 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，已知二次函数y=x2-4. (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象： (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴， -3 -2 -1 0 1 2 0 -3 第3页（共7页） 17.(8分)已知抛物线y=x2+4与y=-2x2的形状相同，求a的值. 嘉佳和晓莉的解法如下： 嘉佳：，抛物线y=2+4与y=-2x2的形状相同，.a=-2. 晓莉：，抛物线y=x+4与y=-2x2的形状相同，.d=|-2,∴.a=-2或2. 判断嘉佳和晓莉的解法正确与否，并说明理由， 18.(9分)如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4,0). (1)求此二次函数的解析式： (2)根据图象直接写出不等式ax2-4x+c>0的解集： (3)在抛物线上存在点P,满足S4oP=8,请直接写出P点的坐标. 第4页（共7页） 19.(9分)如图，某公园打造的花海由线段OB和抛物线OAB围成，抛物线的顶点A到OB的距离为80， OB=60,以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，经过点O且与OB垂直的直线为y轴建立如图所 示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与x轴垂直. (1)求抛物线的函数表达式： (2)该花海被分成四部分，其中矩形CDEF区域内种植向日葵，己知点C、D在OB上，点E、F在抛 物线上（点E在抛物线对称轴的右侧)，且DE=60,求该花海中种植向日葵的面积（即矩形CDEF的 面积). E OC D B 20.(9分)阅读与思考 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法.例如，求2x+2x-7=0的解. 思路：在二次函数y=2x+2x-7中，若取x的值为x1,x2,x1<x2,使得相应的函数值y1y2<0,则抛 物线与x轴的交点中至少有一个在(x1,0)与(x2,0)之间，也就是说，方程2x+2x-7=0至少有一 个解在x1与x2之间. (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程2x+2x-7=0的一个解，过程如表： x的值 0 y=2x2+2x-7 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间. (2)【迁移应用】 若关于x的方程x2+4x+=0有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-5之间，求m的取值范围. 第5页（共7页） 21.（10分)己知抛物线y=2-2a-4（a为常数，且a≠0). (1)求该抛物线的对称轴. (2)若a>0,当0≤x≤3时，函数有最大值-1. ①求a的值. ②设点(s,t)在该函数图象上，且位于直线y=x+b(b为常数)的下方，若t的最大值与最小值的差 为，且>6，求b的取值范围. 22.(11分)已知抛物线y=-x+bx+c在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点A(-3,0), 点B(1,0),与y轴交于点C,连接BC,请回答下列问题： (1)将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段AB下方的部分对应 的函数表达式： (2)如图，点P是线段AB下方部分的图象上的一动点，过点P作PE⊥x轴，是否存在点P,使得以 点A,P,E为顶点的三角形与△OC相似？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. y个 第6页（共7页） 23.(11分)综合与实践 【问题情境】：如图1，一个小球在一条足够长的平直轨道（射线AB)上运动.轨道上存在恒定的摩擦 力，小球从点A出发，速度会逐渐减小，直至停止.小球运动的过程中，其速度v(单位：cs)与时 间t(单位：s)之间的部分数据如下表所示： s 0 2 6 vi (cmls) 10 9 8 7 【建立模型】： (1)根据表格中的实验数据可知，v是t的 (选填“一次”“二次”或“反比例”)函数， 则v关于t的函数表达式为 (2)实验测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为100cm.已知其路程y(单位：cm)关于 时间t的关系是抛物线y=一2+bt+c的一部分，求y关于1的函数表达式。 【问题解决】： (3)如图2，在(2)的条件下，轨道上是否存在点C和点D(点C在点D的左侧)，CD=5.25Cm,小 球从C到D用时恰好为1s?若存在，求点D到点A的距离；若不存在，请说明理由. A A CD B 图1 图2 第7页（共7页） 北师大版第5章 二次函数单元测试卷（基础巩固） 满分：120分 时间：90分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3或3 2．二次函数y＝﹣（x+3）2+2的图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 6．已知抛物线y＝x2+bx+b+1经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是（　　） A．b＞0 B．b＜0 C．b＞﹣1 D．b＜﹣1 7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c为常数，且a＜0）的图象经过点P（﹣1，m2+4）、Q（t，4m），则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．t≤3 C．t≤﹣1或t≥3 D．﹣1≤t≤3 8．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.48 0.05 0.65 … A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 10．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓ACB所在抛物线的解析式为．则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A．y＝4（x﹣3）2 B． C．y＝﹣4（x﹣3）2 D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．一条抛物线的对称轴为直线x＝1，y的最大值是3，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是　 ． 12．已知二次函数y＝﹣x2+2x+q的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+q＝0的一个解为x1＝﹣1，则另一个解x2＝　　 ． 13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若1＞x1＞x2，则y1　　 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 14．已知二次函数y＝﹣x2+5x﹣1，点A在该图象的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则AB+AC的最大值 ． 15．景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道EFGH，通道顶部EH距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度FG＝2米，求通道顶部距离地面的最大高度：　　 ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 17．（8分）已知抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，求a的值． 嘉佳和晓莉的解法如下： 嘉佳：∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，∴a＝﹣2． 晓莉：∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，∴|a|＝|﹣2|，∴a＝﹣2或2． 判断嘉佳和晓莉的解法正确与否，并说明理由． 18．（9分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2﹣4x+c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出P点的坐标． 19．（9分）如图，某公园打造的花海由线段OB和抛物线OAB围成，抛物线的顶点A到OB的距离为80m，OB＝60m，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，经过点O且与OB垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与x轴垂直． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该花海被分成四部分，其中矩形CDEF区域内种植向日葵，已知点C、D在OB上，点E、F在抛物线上（点E在抛物线对称轴的右侧），且DE＝60m，求该花海中种植向日葵的面积（即矩形CDEF的面积）． 20．（9分）阅读与思考 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解． 思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1•y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表： x的值 0 1 2 3 y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围． 21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a为常数，且a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若a＞0，当0≤x≤3时，函数有最大值﹣1． ①求a的值． ②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y＝x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m＞6，求b的取值范围． 22．（11分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c在平面直角坐标系中的位置如图所示，与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，连接BC，请回答下列问题： （1）将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，求翻折后得到的图象位于线段AB下方的部分对应的函数表达式； （2）如图，点P是线段AB下方部分的图象上的一动点，过点P作PE⊥x轴，是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（11分）综合与实践 【问题情境】：如图1，一个小球在一条足够长的平直轨道（射线AB）上运动．轨道上存在恒定的摩擦力，小球从点A出发，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动的过程中，其速度v（单位：cm/s）与时间t（单位：s）之间的部分数据如下表所示： t/s 0 2 4 6 … v/（cm/s） 10 9 8 7 … 【建立模型】： （1）根据表格中的实验数据可知，v是t的　　 （选填“一次”“二次”或“反比例”）函数，则v关于t的函数表达式为　　 ． （2）实验测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为100cm．已知其路程y（单位：cm）关于时间t的关系是抛物线的一部分，求y关于t的函数表达式． 【问题解决】： （3）如图2，在（2）的条件下，轨道上是否存在点C和点D（点C在点D的左侧），CD＝5.25cm，小球从C到D用时恰好为1s？若存在，求点D到点A的距离；若不存在，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/20 22:24:29；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $