第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何单元复习卷，覆盖空间向量运算、立体几何证明与计算，梯度设计适配单元知识巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|空间向量基底、投影向量、空间几何体向量表示|基础巩固，考查空间观念与抽象能力| |多选题|3|单位向量、投影向量、折叠问题|能力提升，体现推理意识与几何直观| |填空题|4|线面角、向量夹角、三棱锥向量运算|综合应用，培养运算能力与模型观念| |解答题|5|建系、线线距离、线面平行证明、点面距离|创新应用，突出数学思维与空间想象，贴合高考命题趋势|

高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B A B D ACD ABD 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 2．C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 3．C 【分析】根据空间向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意 . 所以. 故选：C 4．B 【分析】取中点，连接，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解. 【详解】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ， 所以. 故选：B 5．B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 6．A 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为中点， 所以 . 故选：A 7．B 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为点为的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为，可得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：B. 8．D 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解. 【详解】空间内三点，，，， 因为， 由， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：D. 9．ACD 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的加法、减法运算逐项求解即可. 【详解】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD 10．ABD 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 11．CD 【分析】由题意可得两两互相垂直，以此建系，由空间向量的坐标运算结合法向量，求解即可. 【详解】连接，由题意得，， 因为是直二面角，且平面平面, 所以平面，因为平面，所以， 所以两两互相垂直， 以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 不妨设正方形边长为2，则， 则， 因为为中点，则，即， 因为为中点，则，即， 对于A，， 则， 因为， 则， 解得，则，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，易得平面的法向量为，与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，因为点到点的距离都是， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 12．②③④ 【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于①，平面的法向量可取为，， 设与平面所成角为，则，故①错误； 对于②，，， 设与所成角为，则，故②正确； 对于③，因，与同方向的单位向量为， ，则点到直线的距离为，故③正确； 对于④，设平面的法向量为，， 则，故可取， 由可得平面，则和平面的距离即点到平面的距离， 由，则点到平面的距离为，故④正确. 故答案为：②③④ 13． 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则； 由. 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 14．2 【分析】根据空间向量共面定理可知，为平面内一点的充要条件是中，列方程求解即可，也可通过向量的线性运算，列方程组求解. 【详解】方法一：在三棱锥中，为平面内一点，即四点共面， 又， 由空间向量共面定理可知，解得. 故答案为：2. 方法二：因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，移项得 ， 在三棱锥中，是不共面的向量， 由空间向量基本定理知用表示唯一， 与的系数对比得， 所以. 故答案为：2. 15．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 16．(1)证明:以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解． 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 17．(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案. （2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案. （3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以 （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为 （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为 18．(1) 因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. (2) 由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) (2)证明：，又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 【分析】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【详解】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何 一、单选题 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 11．把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与平面所成角的正弦值为 D．若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 三、填空题 12．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有______. ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 13．已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 14．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 四、解答题 15．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 16．如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 17．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 18．如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 19．如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $