专题 2.10 有理数的运算（全章常考点分类专题）- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数的运算核心知识点，系统梳理从基本法则（符号、乘方、特殊数性质）到基本运算（加减、乘除、乘方、科学记数法），再到实际应用（温度、盈亏、运动问题）、综合运算及拓展培优的递进式学习支架，构建完整知识脉络。 资料以分类题型为特色，通过辨析题强化数学思维（运算能力、推理意识），实际应用题培养数学眼光（抽象能力、模型意识），科学记数法等内容提升数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过例题变式与同步检测查漏补缺，夯实基础。

专题 2.10 有理数的运算（全章常考点分类专题） 目录 一.考点梳理与题型精析 1 （一） 基本法则（常考辨析题型） 2 【题型 1】有理数符号法则辨析题 2 【题型 2】乘方易错形式辨析题 2 【题型 3】特殊数法则判断题 3 （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 3 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 4 【题型 5】有理数乘除基础运算 4 【题型 6】简单乘方直接计算 5 【题型 7】科学记数法与近似数 5 （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 6 【题型 8】温度、水位变化应用题 6 【题型 9】盈亏、收支应用题 6 【题型 10】运动、距离偏差应用题 7 （四）综合运算（期末核心大题·必考） 8 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 8 【题型 12】带括号混合运算 9 （五）拓展培优（压轴拉分题型） 9 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 9 【题型 14】有理数复杂求值培优题 10 二．同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.考点梳理与题型精析 （一） 基本法则（常考辨析题型） 板块定位：选择、填空高频判断题，专攻符号、乘方易错辨析 【题型 1】有理数符号法则辨析题 常考考法：根据加减、乘除符号法则，判断式子正负、运算正误。 【例题1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·北京大兴·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型 2】乘方易错形式辨析题 常考考法：区分（-a）ⁿ与-aⁿ的底数、符号、结果，全章最高频易错题。 【例题2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 【变式1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【变式2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【变式3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【题型 3】特殊数法则判断题 常考考法：考查0、1、-1的相反数、倒数、乘方特殊性质。 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） ①相反数等于它本身的数是0 ②绝对值等于它本身的数是正数 ③平方等于它本身的数是0或1 ④倒数等于它本身的数是1或 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）0的相反数是______；的倒数是______；______； 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 板块定位：纯基础计算题，月考、单元测送分题，必须满分 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 常考考法：含多重括号、正负混合加减，核心考查去括号变号规则。 【例题4】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． （1）； （2） 【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26七年级上·天津红桥·阶段检测）计算：=______． 【变式3】（25-26七年级上·四川广元·期中）计算∶ （1） （2） 【题型 5】有理数乘除基础运算 常考考法：分数、整数混合乘除，重点考查符号判断。 【例题5】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级上·广西百色·期中）计算的结果是（   ） A．16 B．25 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【变式3】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）计算 （1）； （2）． 【题型 6】简单乘方直接计算 常考考法：单独乘方运算，区分正负底数，规避基础符号错误。 【例题6】（24-25七年级上·贵州黔西南·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来； ，，，，， 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·单元复习）______． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 7】科学记数法与近似数 【例题7】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·黑龙江大庆·二模）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）中国共产党自年诞生以来，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党．请将数92000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 板块定位：文字应用题，依托正负数表示相反意义的量 【题型 8】温度、水位变化应用题 常考考法：上升、下降类连续变化运算。 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）某水库昨天的水位下降了，今天的水位又上升了．如果将水位上升记为正，水位下降记为负，请用有理数的加法算式表示出这两天水位的变化结果． 【变式1】（2026·河北唐山·二模）如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（     ）摄氏度． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）某水库上周日的水位是，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是星期____． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知橄榄油的沸腾温度一般是．现有一瓶橄榄油的温度为，将橄榄油放入锅中加热，橄榄油的温度每分钟可升高，要让橄榄油沸腾需要几分钟？ 【题型 9】盈亏、收支应用题 常考考法：盈利为正、亏损为负，计算最终盈亏情况。 【例题9】（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）某文具店在一周的销售中盈亏情况如下表（盈利为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 158    188 458 （1）表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，说明当天是盈还是亏？盈亏多少？ （2）请计算这一周内盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【变式1】（2025-2026学年第一学期七年级期末考试数学学科试卷）手机移动支付给生活带来了便捷，如图是王老师某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元，截图已隐去“零钱余额”），则王老师当天微信收支的最终结果是（   ） A．收入20元 B．收入7元 C．支出8元 D．支出13元 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈为正、亏为负）：万元，万元，万元，万元，这个商店去年总的盈亏情况为_______万元（用正数或负数表示）． 【变式3】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）学习有理数运算之后，学习兴趣小组利用家长微信账单的记录，了解家庭的一周收支情况．一周的账单记录（收入记为正，支出记为负）如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 合计 收支数（单位：元） 请你计算周六的收支数，并说明周六是收入还是支出，金额是多少？ 【题型 10】运动、距离偏差应用题 常考考法：正向、反向运动，记录位置变化。 【例题10】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个热气球向空中运动，高度每升高，气温下降． （1）若地面气温为，求离地面高度为的高空的气温； （2）若地面气温为，热气球升高后，测得空中的温度为，求热气球距离地面的高度． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）一动点在数轴上从原点出发，每秒1个单位长度，先向左运动，每向左运动3秒就向右运动2秒，它第2025秒刚好运动到数轴上的A点处，A点表示的数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，之后再向左运动3秒，向右移动2秒，…，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是_____． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，那么在正常情况下，这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数可以表示为． （1）正常情况下，一个20岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）正常情况下，一个20岁的人运动时10秒钟的心跳次数为27次，他有危险吗？请说明理由． （四）综合运算（期末核心大题·必考） 板块定位：解答题压轴基础，融合乘方、乘除、加减、括号，必考题型 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 常考考法：先乘方、再乘除、最后加减，标准运算顺序考查。 【例题11】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·河南新乡·期末）若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【变式2】（25-26七年级下·重庆·开学考试）定义，例如，则_______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2） 【题型 12】带括号混合运算 常考考法：含小括号、分数混合运算，分步计算规范答题。 【例题12】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段检测）计算的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： （五）拓展培优（压轴拉分题型） 板块定位：单元、月考拔高题，突破满分瓶颈 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 常考考法：整数分配、负数分配、分数分配简便计算。 【例题13】（25-26六年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【题型 14】有理数复杂求值培优题 常考考法：先化简、后代入，结合乘方、绝对值综合求值。 【例题14】（25-26七年级上·天津和平·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算_______． 【变式3】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 二．同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·浙江金华·期末）受春晚长尾效应及“义乌好好逛”品牌拉动，“五一”假期期间，义乌市累计接待游客超330万人次，330万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 5．（2026·天津·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 6．（2026·浙江杭州·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）定义一种新运算“”，规定：，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）下列各组数中相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·浙江衢州·一模）如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 12．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把算式写成省略加号的和的形式是______． 13．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 15．（25-26七年级上·浙江温州·期末）实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 16．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如果规定☆为一种运算符号，且，则的值为______． 17．（25-26七年级上·全国·期中）计算：_______． 18．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·贵州安顺·期末）计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 （1）根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； （2）在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ （3）经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.10 有理数的运算（全章常考点分类专题） 目录 一.考点梳理与题型精析 1 （一） 基本法则（常考辨析题型） 2 【题型 1】有理数符号法则辨析题 2 【题型 2】乘方易错形式辨析题 3 【题型 3】特殊数法则判断题 5 （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 6 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 7 【题型 5】有理数乘除基础运算 9 【题型 6】简单乘方直接计算 11 【题型 7】科学记数法与近似数 13 （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 14 【题型 8】温度、水位变化应用题 14 【题型 9】盈亏、收支应用题 16 【题型 10】运动、距离偏差应用题 18 （四）综合运算（期末核心大题·必考） 20 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 20 【题型 12】带括号混合运算 21 （五）拓展培优（压轴拉分题型） 23 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 23 【题型 14】有理数复杂求值培优题 26 二．同步检测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.考点梳理与题型精析 （一） 基本法则（常考辨析题型） 板块定位：选择、填空高频判断题，专攻符号、乘方易错辨析 【题型 1】有理数符号法则辨析题 常考考法：根据加减、乘除符号法则，判断式子正负、运算正误。 【例题1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则、相反数、减法法则．首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 解：A选项：，不一定是正数，故A选项错误； B选项：，，一定是正数，故B选项错误； C选项：，，，不一定是负数，故C选项错误； D选项：，，，又，，，一定是正数，故D选项正确． 故选：D． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式3】（2026·北京大兴·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定a、b的取值范围，结合绝对值、相反数及有理数运算法则进行判断． 解：由数轴可知：，， ∴，，即，A错误； ∵，， ∴，B错误； ∵ ，不等式两边同乘得， ∴，C正确； ∵ ，且， ∴，D错误． 【题型 2】乘方易错形式辨析题 常考考法：区分（-a）ⁿ与-aⁿ的底数、符号、结果，全章最高频易错题。 【例题2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类及相关的定义，逐项判断即可． 解：A、一个有理数，除了0外，不是正数就是负数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、不是任何有理数都有倒数，0是有理数，0就没有倒数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、任何有理数的平方都是正数或零，原说法错误，故此选项不符合题意； D、正数的相反数一定小于它本身，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，幂的定义，熟练掌握有理数乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的定义，有理数乘方运算法则，进行求解即可． 解：表示，而非， ，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【题型 3】特殊数法则判断题 常考考法：考查0、1、-1的相反数、倒数、乘方特殊性质。 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） ①相反数等于它本身的数是0 ②绝对值等于它本身的数是正数 ③平方等于它本身的数是0或1 ④倒数等于它本身的数是1或 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值、平方和倒数的定义．利用相反数、绝对值、平方和倒数的定义判断即可； 解：①相反数等于它本身的数是0，说法正确； ②绝对值等于它本身的数是正数和0，原说法错误； ③平方等于它本身的数是0或1，说法正确； ④倒数等于它本身的数是，说法正确； 则正确的是①③④． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）0的相反数是______；的倒数是______；______； 【答案】 0 2 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 解：0的相反数是0，的倒数是，， 故答案为：0，，2． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 【答案】 解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为，因此当，满足，，互为相反数． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，因此当，满足，，互为倒数． （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 板块定位：纯基础计算题，月考、单元测送分题，必须满分 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 常考考法：含多重括号、正负混合加减，核心考查去括号变号规则。 【例题4】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则与分数的通分运算是解题的关键．分别计算、、的数值，再比较三者的关系． 解：∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·天津红桥·阶段检测）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算、分数的通分，关键是分数的通分． 先计算括号内的，再算括号外的，异分母分数先通分再加减． 解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·四川广元·期中）计算∶ （1） （2） 【答案】（1）12；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． （1）解： （2）解： 【题型 5】有理数乘除基础运算 常考考法：分数、整数混合乘除，重点考查符号判断。 【例题5】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·广西百色·期中）计算的结果是（   ） A．16 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘除运算．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 解： ． 故选：B 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 解：原式 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，乘法分配律的运用，掌握其运算法则是关键． （1）根据有理数的加减，乘除运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【题型 6】简单乘方直接计算 常考考法：单独乘方运算，区分正负底数，规避基础符号错误。 【例题6】（24-25七年级上·贵州黔西南·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来； ，，，，， 【答案】，，，， 数轴表示为： ∴ 【分析】本题考查了有理数的乘方、绝对值、化简多重符号、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先计算有理数的乘方、化简绝对值和多重符号，再画出数轴，利用数轴上的点表示这些数，然后根据数轴的性质比较大小即可得． 解：略 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·单元复习）______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 解：． 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 【题型 7】科学记数法与近似数 【例题7】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：万． 【变式1】（2026·黑龙江大庆·二模）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 解：千米/小时米/小时． 【变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）中国共产党自年诞生以来，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党．请将数92000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：． 【变式3】（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 板块定位：文字应用题，依托正负数表示相反意义的量 【题型 8】温度、水位变化应用题 常考考法：上升、下降类连续变化运算。 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）某水库昨天的水位下降了，今天的水位又上升了．如果将水位上升记为正，水位下降记为负，请用有理数的加法算式表示出这两天水位的变化结果． 【答案】水位变化结果为下降 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，上升记为正，因此昨天水位变化为，今天水位变化为，总变化为两者之和． 解：昨天水位变化为，今天水位变化为． 两天水位变化结果： 所以，水位变化结果为下降． 【变式1】（2026·河北唐山·二模）如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（     ）摄氏度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将“冰箱冷藏室温度减去冷冻室温度”列式，再按有理数减法法则计算即可． 解：由题意，得：． 【变式2】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）某水库上周日的水位是，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是星期____． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m 【答案】星期六 【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数加减的应用，根据水位变化量，逐日计算水位并比较大小，找出最小值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：上周日水位为， 星期一水位：； 星期二水位：； 星期三水位：； 星期四水位：； 星期五水位：； 星期六水位：； 星期日水位：； ∵， ∴星期六水位最低， 故答案为：星期六． 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知橄榄油的沸腾温度一般是．现有一瓶橄榄油的温度为，将橄榄油放入锅中加热，橄榄油的温度每分钟可升高，要让橄榄油沸腾需要几分钟？ 【答案】分钟 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．计算从初始温度到沸腾温度的温度差，再除以每分钟的升温速率，即可得到所需时间． 解： 解：初始温度为，沸腾温度为，温度差为． 每分钟升温，所需时间为（分钟）． 答：需要32分钟． 【题型 9】盈亏、收支应用题 常考考法：盈利为正、亏损为负，计算最终盈亏情况。 【例题9】（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）某文具店在一周的销售中盈亏情况如下表（盈利为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 158    188 458 （1）表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，说明当天是盈还是亏？盈亏多少？ （2）请计算这一周内盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【答案】（1）星期六当天盈利了，盈利元．；（2）这一周内盈利最多的一天比亏损最多的一天多元． 【分析】（1）用这一周总计钱数减去周一、周二、周三、周四、周五、周日盈亏总和，即可求解； （2）用盈利最多的一天减去亏损最多的一天即可； （1）解：（元）， ∴星期六当天盈利了，盈利元． （2）（元） ∴这一周内盈利最多的一天比亏损最多的一天多元． 【点拨】本题主要考查有理数的加减混合运算的应用，正确理解题意并正确计算是解题的关键． 【变式1】（2025-2026学年第一学期七年级期末考试数学学科试卷）手机移动支付给生活带来了便捷，如图是王老师某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元，截图已隐去“零钱余额”），则王老师当天微信收支的最终结果是（   ） A．收入20元 B．收入7元 C．支出8元 D．支出13元 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的应用，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据有理数的加法法则求和即可． 解：（元）． 即王老师当天微信收支的最终结果是收入7元． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈为正、亏为负）：万元，万元，万元，万元，这个商店去年总的盈亏情况为_______万元（用正数或负数表示）． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，求出所有数据的和，即可． 解：（万元）； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）学习有理数运算之后，学习兴趣小组利用家长微信账单的记录，了解家庭的一周收支情况．一周的账单记录（收入记为正，支出记为负）如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 合计 收支数（单位：元） 请你计算周六的收支数，并说明周六是收入还是支出，金额是多少？ 【答案】周六是支出，金额是元 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，根据合计金额减去一周的已知数据得出周六的收支数，根据正负数的意义，即可求解． 解： 答：周六是支出，金额是元 【题型 10】运动、距离偏差应用题 常考考法：正向、反向运动，记录位置变化。 【例题10】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个热气球向空中运动，高度每升高，气温下降． （1）若地面气温为，求离地面高度为的高空的气温； （2）若地面气温为，热气球升高后，测得空中的温度为，求热气球距离地面的高度． 【答案】（1）离地面高度为的高空的气温为；（2）热气球距离地面的高度为 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据高度差与温差的变化情况进行求解. （1）解：由题意得 ． 故离地面高度为的高空的气温为． （2）由题意得 ． 故热气球距离地面的高度为. 故答案为：（1）离地面高度为的高空气温是；（2）热气球距离地面的高度是. 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）一动点在数轴上从原点出发，每秒1个单位长度，先向左运动，每向左运动3秒就向右运动2秒，它第2025秒刚好运动到数轴上的A点处，A点表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，根据题意可得每运动5秒相当于向左运动1个单位长度，据此求出2025除以5的商和余数即可得到答案． 解：∵每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴每运动5秒相当于向左运动1个单位长度， ∵， ∴A点表示的数是， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，之后再向左运动3秒，向右移动2秒，…，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，数轴上的动点问题，根据题意可得每运动5秒相当于该动点向左移动1秒，即向左移动1个单位长度，求出2025除以5的商和余数即可得到答案． 解：∵一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，且每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴每运动5秒相当于该动点向左移动1秒，即向左移动1个单位长度， ∵， ∴该动点运动到第2025秒时所对应的数是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，那么在正常情况下，这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数可以表示为． （1）正常情况下，一个20岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）正常情况下，一个20岁的人运动时10秒钟的心跳次数为27次，他有危险吗？请说明理由． 【答案】（1）160；（2）解：有危险，理由如下： 10秒钟心跳次数为27次，则每分钟心跳次数为（次）， ∵最高承受次数为160次，且， ∴此人每分钟心跳次数超过最高承受次数，因此有危险． 【分析】本题主要考查了代数求值，有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）代数求值即可； （2）求出每分钟的心跳次数，然后比较大小即可． （1）解：根据题意得，当时，（次）， ∴一个20岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是160； （2）略 （四）综合运算（期末核心大题·必考） 板块定位：解答题压轴基础，融合乘方、乘除、加减、括号，必考题型 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 常考考法：先乘方、再乘除、最后加减，标准运算顺序考查。 【例题11】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·河南新乡·期末）若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算分别计算表达式的值，即可求解． 解：A、，不是负整数； B、，不是负整数； C、，是负整数； D、，不是负整数． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·开学考试）定义，例如，则_______． 【答案】 解：由题意，． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可解答． （1）解： ； （2）解： ． 【题型 12】带括号混合运算 常考考法：含小括号、分数混合运算，分步计算规范答题。 【例题12】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 【答案】 解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段检测）计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将式子化为，然后根据乘法分配律进行计算，再进行减法计算，即可求解． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【答案】0.3 【分析】本题考查百分数、分数和小数的混合运算，需注意运算顺序和化简．先算小括号里的乘法和除法，再作差，再算中括号里的，最后算外面的除法． 解： （五）拓展培优（压轴拉分题型） 板块定位：单元、月考拔高题，突破满分瓶颈 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 常考考法：整数分配、负数分配、分数分配简便计算。 【例题13】（25-26六年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）13；（2）20；（3）10；（4）19 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 【变式2】（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律及其逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先用分配律将分别与括号内的四个分数相乘，再进行加法运算； （2）将除法转化为乘法，用乘法分配律的逆应用进行运算． （1）解： ； （2）解： ． 【题型 14】有理数复杂求值培优题 常考考法：先化简、后代入，结合乘方、绝对值综合求值。 【例题14】（25-26七年级上·天津和平·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法； （2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （4）根据乘法分配律简便计算． （1）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （2）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （3）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （4）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则分别算出每个等式的左右两边，进而即可判断求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 解：、∵，， ∴该选项等式不成立，符合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序． 根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 解： ． 【变式3】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【答案】 【分析】利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 解： 【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，正确利用分数的性质化简是解题关键． 二．同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·浙江金华·期末）受春晚长尾效应及“义乌好好逛”品牌拉动，“五一”假期期间，义乌市累计接待游客超330万人次，330万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：330万. 2．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴． 故选：A． 4．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 5．（2026·天津·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 解：． 6．（2026·浙江杭州·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再逐一判断即可． 解：根据数轴可得， ，，，， 则可得D为正确选项． 7．（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）定义一种新运算“”，规定：，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算；根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 解：∵， ∴； 故选A． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，，且，得到点和点在与0之间，且点在点的左侧，且，进而得到，得到点的位置在中间，即可得出结果． 解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）下列各组数中相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法法则逐一判断即可得到答案． 解：A．根据有理数的乘方，，，那么，不符合题意，选项错误； B．根据有理数的乘方，，，那么，不符合题意，选项错误； C．根据有理数的乘法以及有理数的乘方，，，那么，不符合题意，选项错误； D．根据有理数的乘方，，，那么，符合题意，选项正确， 故选：D． 【点拨】本题主要考查有理数的乘方、有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方、有理数的乘法法则是解题关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·浙江衢州·一模）如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 【答案】4 【分析】先在数轴上读点A所表示的数，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 解：因为点A表示的数为， 所以，比点A表示的数大5的数是：． 12．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把算式写成省略加号的和的形式是______． 【答案】 【分析】本题考查了省略加号和括号的形式．先将算式中的减法转化为加法，再省略加号，得到省略加号的和的形式，即可作答． 解：， 故答案为：． 13．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 解：原式； 故答案为： 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 解：∵， ∴， 将代入得． 15．（25-26七年级上·浙江温州·期末）实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算地面与小王位置的气温差，再根据海拔每增加气温下降的关系，求高度． 解：∵地面气温为，小王所在位置气温为， ∴气温差为， ∵海拔每增加，气温下降， ∴高度增加为； 故答案为：3． 16．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如果规定☆为一种运算符号，且，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键． 根据新运算定义，先计算括号内的，再计算． 解：根据题意得： ， ∴． 故答案为：3． 17．（25-26七年级上·全国·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可． 解：原式 ． 故答案为： 18．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号和绝对值，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·贵州安顺·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）3；（2）． 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方，有理数的四则运算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 （1）根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； （2）在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ （3）经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 【答案】（1）第2个时刻该水库的实际水位是10.6；（2）在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7；（3）超过 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用原始水位加上表格中1时刻和2时刻的数据进行计算即可； （2）求出每个时刻的水位，进行判断即可； （3）由（2）中结果，即可得出结论． （1）解：， 答：第2个时刻该水库的实际水位是10.6； （2）的水位为， 第1时刻的水位为， 第2时刻的水位为， 第3时刻的水位为， 第4时刻的水位为， 第5时刻的水位为， 第6时刻的水位为， 答：在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7； （3）由（2）可知，6次水位升降后，实际水位为， ， 故水库的水位超过警戒线． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 解：的倒数为， ， 所以． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）30；（3）；（4） 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算； （2）先确定积的正负，再按照乘除法的运算法则进行计算； （3）逆用乘法分配律进行计算； （4）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 【答案】（1）四，；（2）元；（3）饭堂更希望方案一卖出 【分析】（1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可． （2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利（售价成本）总销售量）计算总盈利． （3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案． （1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为块 销售额为元； （2）解：计算每周实际销售量第一周：块 第二周：块 第三周：块 第四周：块 总销售量为块 每块面包的盈利为元 总盈利为元 答：开学第一月的总盈利是元 （3）解：方案一：每块面包售价为元 饭堂的利润为元 方案二：块面包的利润为元 超过块的数量为块 这块面包的售价为元 这块的利润为元 总利润为元 饭堂更希望方案一卖出 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $