专题06等腰三角形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦等腰三角形核心知识，以轴对称为基础，系统梳理等腰、等边三角形的概念、性质与判定，衔接含30°角直角三角形重要结论，构建从概念理解到性质应用再到几何证明的学习支架，强化分类讨论思想与规范书写。 该资料突出“阅卷高频扣分”提示，通过15类分层题型（基础到拔高）培养学生几何直观与推理能力，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达几何关系的应用意识。

专题06等腰三角形精讲学案 核心立意： 依托轴对称理解等腰、等边三角形；熟练掌握等腰三角形、等边三角形的概念、性质与判定；掌握含30°角直角三角形的重要结论；能够完成角度、线段计算与几何证明；强化分类讨论思想，规范几何证明书写。 等腰三角形的相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 ⚠提示：题目没有说“腰、底角”，判定时不能直接用“两腰相等、两底角相等”描述条件。 等腰三角形的性质 ①等边对等角：等腰三角形两个底角相等。 几何语言：AB=AC， B= C（等边对等角）。 ②三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言三种形式（证明直接套用）： 1.AB=AC，AD平分 BAC， BD=CD，AD BC（三线合一） 2. AB=AC，BD=CD，AD平分 BAC，ADBC（三线合一） 3. AB=AC，ADBC，AD平分BAC，BD=CD（三线合一） 拓展（三线合一逆用）：若一条线段同时具备底边上的高、中线、顶角平分线中任意两个条件，可证明这个三角形是等腰三角形。 ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，只有1条对称轴，为底边上的高（顶角平分线、底边中线）所在直线。 等腰三角形的判定 ①定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②等角对等边：同一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等。 几何语言： B=C，AB=AC（等角对等边）。 等边三角形的概念 三条边全部相等的三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形的性质 ①三边都相等； ②三个内角都相等，每一个内角等于60； ③有3条对称轴。 等边三角形的判定 ①定义判定：三边相等的三角形为等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（该角可为顶角，也可为底角）。 含30°角的直角三角形重要性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么30角所对的直角边等于斜边的一半。 ⚠前提条件：必须是直角三角形，普通三角形不能直接使用。 重点辨析 1. “等边对等角”“等角对等边”只适用于同一个三角形内部，跨两个三角形不成立。 2. “三线合一”仅针对：顶角平分线、底边上中线、底边上的高；腰上的中线、腰上的高不具备三线合一。 3. 区分性质与判定： 性质：边相等推出角相等； 判定：角相等推出边相等；证明时条件结论不能颠倒。 （阅卷高频扣分） 1. ❗无附图，未指明边是腰/底边，角是顶角/底角，必须分类讨论； 补充：等腰三角形底角一定是锐角；如果已知角是钝角或直角，只能是顶角，无需再分类； 求边长分类后，一定要检验三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解。 2. 乱用三线合一：把腰上的高、腰上中线套用三线合一。 3. 使用“等角对等边”，漏掉“在同一个三角形中”，证明书写逻辑不严谨。 4. 使用30°直角三角形性质，忽略“直角三角形”大前提。 5. 性质、判定因果颠倒，证明不写定理括号依据，考试被扣步骤分。 6. 角度计算，忘记用三角形内角和180检验结果。 题型 考察方向 难度 题型一 等边对等角 ★★ 题型二 三线合一 ★★★ 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型四 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型五 根据等角对等边求边长 ★★ 题型六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型七 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型八 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 ★★★ 题型十 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十一 等边三角形的性质 ★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十四 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十五 最短路径问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★必考中档；★★★拔高综合； 题型一：等边对等角 解题思路：①适用条件：同一个三角形内两条边相等，可得这两条边所对的角相等；②做题时在图形上标记相等角，结合三角形内角和180进行角度计算；③无配图题目，分清顶角、底角；已知角未说明身份时，需要分类讨论。 1．等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 【答案】70 【分析】已知等腰的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理即可计算底角的度数． 【详解】解：∵是等腰三角形，是顶角， ∴， ∵三角形内角和为，， ∴． 2．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理及对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 4．某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，根据等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），逐步用 表示出 、、，最后利用 是 的外角建立方程求解． 【详解】设 ， ， ， （三角形外角性质）． ， ， 是 的外角， ，即 ， 解得 ， ． 题型二：三线合一 解题思路：①前提：必须是等腰三角形，只针对顶角平分线、底边上中线、底边上的高；②已知三线中任意一个条件，就可以直接推出另外两个结论，得到垂直、线段相等；⚠注意：腰上的高、腰上的中线，不能使用三线合一；③证明题看到等腰三角形+高/角平分线/底边中点，优先用三线合一，快速得到垂直、线段相等条件。 5．如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________． 【答案】（或垂直） 【分析】根据等腰三角形三线合一即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴． 6．如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂线的定义求出顶角的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质求解． 【详解】解：是的高， ， ． ∵， ． ，是的中线， 平分， ． 7．如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是____________． 【答案】9 【分析】连接，由垂直平分，推出，则，由，推出，则的最小值为5，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为5， ∴的周长的最小值为． 题型三：根据等角对等边证明等腰三角形 解题思路：①核心依据：同一个三角形中两个内角相等该三角形是等腰三角形；②解题步骤：先在题图中找出一组相等内角，利用等角对等边推得两边相等，证明三角形为等腰三角形；⚠证明书写不能漏掉前提：在同一个三角形中。 8．在中，若，，则__________等腰三角形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得的度数，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是 9．如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形____个． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，仔细审题，根据、易求，又因为是等腰三角形，再结合、三等分即可得到， 然后得到，结合三角形内角和定理即可得到， 接下来再根据等角对等边即可得到、、、、是等腰三角形，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边进行判断． 【详解】∵，， ∴， ∴是等腰三角形。 ∵，，三等分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、、是等腰三角形， 则等腰三角形有：、、、、、共个， 故答案为：． 10．如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质及等腰三角形的判定是解题的关键；由折叠的性质可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 题型四：根据等角对等边证明边相等 解题思路：①想要证两条线段相等，先观察两条线段是否处在同一个三角形；②在同一个三角形中，先证明这两条边所对的两个角相等，再由“等角对等边”推出两条边相等；⚠不能跨不同三角形使用本定理。 11．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：B 12．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即，根据等角对等边得到，根据的周长为21求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为21， ∴， ∴， 即的周长为． 故答案为：． 13．如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移前后对应边平行且相等，根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移得， ， ，故A选项说法一定正确； 由平移得，故B选项说法一定正确； 由平移得，故C选项说法一定正确； 由平移得，， ，， 不一定等于， 不一定等于， 不一定正确．故D选项说法不一定正确． 题型五：根据等角对等边求边长 解题思路：①先通过平行线、外角、角平分线条件找出图中的相等内角；②利用等角对等边转化，把角相等转化为对应边相等；③求出边长后，必须检验三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解。 14．如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为______． 【答案】 【分析】由可得，由垂直平分线的性质可得，结合等量代换可得的周长即为，从而计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∴． 16．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 题型六：含 30 度角的直角三角形 解题思路：①定理前提：必须是直角三角形；②30°锐角所对的直角边长度等于斜边的一半，常用于线段长度计算；③做题分清哪一个角是30°，找准对应的直角边与斜边，不要找错对应边；④可用于证明线段之间的2倍数量关系。 17．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 18．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为． 19．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 20．如图，中，，，，为的中点，动点以的速度从点出发，向着点的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值（     ） A．4 B．4或5 C．4或6 D．4或7 【答案】D 【分析】先根据直角三角形性质求出的长，用表示出的长，再分和两种情况，利用含角的直角三角形性质建立方程求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， 为的中点， ， 由题意得，则， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得． 综上所述，的值为或． 题型七：格点图中画等腰三角形 解题思路：①利用勾股定理算出格点线段的长度；②分两类情况讨论：以已知线段为等腰三角形的腰、以已知线段为等腰三角形的底边；③在网格中找出满足两边相等的格点，画图完成后再次验证边长。 21．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【详解】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 22．如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是_________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有8个， 故答案为：8． 23．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 题型八：找出图中的等腰三角形 解题思路：①从图中寻找相等的边或者相等的角；②看到角平分线+平行线组合，优先想到会生成等腰三角形模型；③逐个筛选，标记相等角，确定哪些三角形满足等腰条件，不要漏找、重复找。 24．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 25．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 26．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型九：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 解题思路：①分两大类讨论：已知两点连线作为腰；已知两点连线作为底边；②当已知线段为底边时，动点在这条线段的垂直平分线上；③当已知线段为腰时，分别以两个已知点为圆心，已知线段长为半径画圆来找动点；④结合题目限制条件，筛掉不符合题意的点。 27．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 28．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图， 则除此之外还能画出符合条件的点共有4个， 故选：C． 29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 【答案】4 【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离的公式是解题的关键． 分、、三种情况讨论即可． 【详解】解：如图： 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有2点满足条件的点M； 符合条件的有4个点M； 故答案为4． 题型十：等腰三角形的性质和判定 解题思路：①性质：等边对等角，用来由边相等求角度；判定：等角对等边，用来由角相等证边相等、证等腰三角形；②几何证明题经常性质、判定交替使用；③无图题型一定要分类讨论，同时检验三边关系、内角和，排除无效解。 30．如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据题意可得，由得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 在以为底边的等腰中， ， ， ， ， ， 故选：B． 31．如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 【答案】 【分析】取格点，连接，先求出，再证出，进而得出是等腰直角三角形，则，由此即可得． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可知，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 32．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积． 【详解】解：延长交于点，如图， 平分，， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为． 题型十一：等边三角形的性质 解题思路：①等边三角形三边全部相等，三个内角都等于60；②拥有3条对称轴，属于特殊等腰三角形，可以使用等腰三角形全部性质；③计算题直接使用60进行角度换算，证明题可以直接得到三边相等。 33．为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图，特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点， ∴，，， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴， ∴． 34．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 题型十二：等边三角形的判定 解题思路：①判定1：三边都相等的三角形是等边三角形；②判定2：三个内角都相等的三角形是等边三角形；③判定3：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；④做题优先观察题干是否给出等腰条件，若有，只需再找一个60角即可完成判定。 36．已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性． 根据绝对值的非负性，平方的非负性得到，可知的形状是等边三角形． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A． 37．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 38．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 题型十三：等边三角形的判定和性质 解题思路：①先判定三角形是等边三角形，再利用等边三角形边、角的性质去推线段、角度关系；②常见题型：先证等边，得到边相等、60角，再结合全等三角形解题；③注意区分什么时候用判定、什么时候用性质，不要因果颠倒。 39．在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 40．如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【答案】5 【分析】由平移可得，，，然后证明为等边三角形，再求出四边形的各边长，再相加即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 由平移可得，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：． 41．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 42．如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 【答案】50 【分析】先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为50． 题型十四：大（小）边对大（小）角定理 解题思路：①只适用于同一个三角形当中，边长越大，这条边所对的内角就越大；②做题先对比各边长度，再对应确定对应角的大小关系；③不能跨两个不同三角形使用该定理；④常结合等腰三角形，做角的大小比较类题目。 43．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 44．在中，已知，，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据三角形大边对大角的性质，可得与的大小关系，再结合三角形内角和定理，即可推导出的取值范围． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边所对的内角为，边所对的内角为， 又 ， 根据三角形内角和定理， 可得 三角形的内角大于，即 解得 综上可得． 45．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． 根据等腰三角形的性质即可判断B、C、D，可得，则，再根据大角对大边分析判断A即可． 【详解】解：由题意得，，即 ∵， ∴，， 即，故B、C、D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A错误，符合题意 故选：A． 46．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 题型十五：最短路径问题 解题思路：①核心方法：作对称点，把折线段转化成两点之间的直线段；②依据：两点之间线段最短；③步骤：找动点所在直线，作其中一个定点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个定点，交点即为所求动点位置；④求出交点后，有时需要利用等腰三角形性质算角度或者线段长度。 47．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 48．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 49．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 解答题 1．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． (1)若，，求度数； (2)若点是的中点，连接，请说明． 【答案】(1) (2)证明：∵，点是的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）由题意可得，求得，根据平角的定义求出，根据三角形内角和可求出，最后根据邻补角可求出的度数； （2）根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的内角和得到，由平角的定义得到，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）略 3．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 4．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 5．如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【答案】证明：取中点，连接并延长至点，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【分析】取中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得出，，导角求出，证明，得出，则，根据等边对等角求出，则，根据等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 6．如图，已知在中，，为外一点，，，求证：． 【答案】证明：作点关于的对称点，连接、， ， 则，，，， ∴， ∴、、在同一条直线上， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 【分析】作点关于的对称点，连接、，则，求出，可证明、、在同一条直线上，是等边三角形，即可得证. 【详解】略 7．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06等腰三角形精讲学案 核心立意： 依托轴对称理解等腰、等边三角形；熟练掌握等腰三角形、等边三角形的概念、性质与判定；掌握含30°角直角三角形的重要结论；能够完成角度、线段计算与几何证明；强化分类讨论思想，规范几何证明书写。 等腰三角形的相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 ⚠提示：题目没有说“腰、底角”，判定时不能直接用“两腰相等、两底角相等”描述条件。 等腰三角形的性质 ①等边对等角：等腰三角形两个底角相等。 几何语言：AB=AC， B= C（等边对等角）。 ②三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言三种形式（证明直接套用）： 1.AB=AC，AD平分 BAC， BD=CD，AD BC（三线合一） 2. AB=AC，BD=CD，AD平分 BAC，ADBC（三线合一） 3. AB=AC，ADBC，AD平分BAC，BD=CD（三线合一） 拓展（三线合一逆用）：若一条线段同时具备底边上的高、中线、顶角平分线中任意两个条件，可证明这个三角形是等腰三角形。 ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，只有1条对称轴，为底边上的高（顶角平分线、底边中线）所在直线。 等腰三角形的判定 ①定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②等角对等边：同一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等。 几何语言： B=C，AB=AC（等角对等边）。 等边三角形的概念 三条边全部相等的三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形的性质 ①三边都相等； ②三个内角都相等，每一个内角等于60； ③有3条对称轴。 等边三角形的判定 ①定义判定：三边相等的三角形为等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（该角可为顶角，也可为底角）。 含30°角的直角三角形重要性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么30角所对的直角边等于斜边的一半。 ⚠前提条件：必须是直角三角形，普通三角形不能直接使用。 重点辨析 1. “等边对等角”“等角对等边”只适用于同一个三角形内部，跨两个三角形不成立。 2. “三线合一”仅针对：顶角平分线、底边上中线、底边上的高；腰上的中线、腰上的高不具备三线合一。 3. 区分性质与判定： 性质：边相等推出角相等； 判定：角相等推出边相等；证明时条件结论不能颠倒。 （阅卷高频扣分） 1. ❗无附图，未指明边是腰/底边，角是顶角/底角，必须分类讨论； 补充：等腰三角形底角一定是锐角；如果已知角是钝角或直角，只能是顶角，无需再分类； 求边长分类后，一定要检验三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解。 2. 乱用三线合一：把腰上的高、腰上中线套用三线合一。 3. 使用“等角对等边”，漏掉“在同一个三角形中”，证明书写逻辑不严谨。 4. 使用30°直角三角形性质，忽略“直角三角形”大前提。 5. 性质、判定因果颠倒，证明不写定理括号依据，考试被扣步骤分。 6. 角度计算，忘记用三角形内角和180检验结果。 题型 考察方向 难度 题型一 等边对等角 ★★ 题型二 三线合一 ★★★ 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型四 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型五 根据等角对等边求边长 ★★ 题型六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型七 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型八 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 ★★★ 题型十 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十一 等边三角形的性质 ★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十四 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十五 最短路径问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★必考中档；★★★拔高综合； 题型一：等边对等角 解题思路：①适用条件：同一个三角形内两条边相等，可得这两条边所对的角相等；②做题时在图形上标记相等角，结合三角形内角和180进行角度计算；③无配图题目，分清顶角、底角；已知角未说明身份时，需要分类讨论。 1．等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 2．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 4．某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型二：三线合一 解题思路：①前提：必须是等腰三角形，只针对顶角平分线、底边上中线、底边上的高；②已知三线中任意一个条件，就可以直接推出另外两个结论，得到垂直、线段相等；⚠注意：腰上的高、腰上的中线，不能使用三线合一；③证明题看到等腰三角形+高/角平分线/底边中点，优先用三线合一，快速得到垂直、线段相等条件。 5．如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________． 6．如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是____________． 题型三：根据等角对等边证明等腰三角形 解题思路：①核心依据：同一个三角形中两个内角相等该三角形是等腰三角形；②解题步骤：先在题图中找出一组相等内角，利用等角对等边推得两边相等，证明三角形为等腰三角形；⚠证明书写不能漏掉前提：在同一个三角形中。 8．在中，若，，则__________等腰三角形．（填“是”或“不是”） 9．如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形____个． 10．如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 题型四：根据等角对等边证明边相等 解题思路：①想要证两条线段相等，先观察两条线段是否处在同一个三角形；②在同一个三角形中，先证明这两条边所对的两个角相等，再由“等角对等边”推出两条边相等；⚠不能跨不同三角形使用本定理。 11．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 12．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为______． 13．如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五：根据等角对等边求边长 解题思路：①先通过平行线、外角、角平分线条件找出图中的相等内角；②利用等角对等边转化，把角相等转化为对应边相等；③求出边长后，必须检验三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解。 14．如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为______． 16．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六：含 30 度角的直角三角形 解题思路：①定理前提：必须是直角三角形；②30°锐角所对的直角边长度等于斜边的一半，常用于线段长度计算；③做题分清哪一个角是30°，找准对应的直角边与斜边，不要找错对应边；④可用于证明线段之间的2倍数量关系。 17．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 19．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 20．如图，中，，，，为的中点，动点以的速度从点出发，向着点的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值（     ） A．4 B．4或5 C．4或6 D．4或7 题型七：格点图中画等腰三角形 解题思路：①利用勾股定理算出格点线段的长度；②分两类情况讨论：以已知线段为等腰三角形的腰、以已知线段为等腰三角形的底边；③在网格中找出满足两边相等的格点，画图完成后再次验证边长。 21．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 22．如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是_________． 23．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型八：找出图中的等腰三角形 解题思路：①从图中寻找相等的边或者相等的角；②看到角平分线+平行线组合，优先想到会生成等腰三角形模型；③逐个筛选，标记相等角，确定哪些三角形满足等腰条件，不要漏找、重复找。 24．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 25．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 26．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型九：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 解题思路：①分两大类讨论：已知两点连线作为腰；已知两点连线作为底边；②当已知线段为底边时，动点在这条线段的垂直平分线上；③当已知线段为腰时，分别以两个已知点为圆心，已知线段长为半径画圆来找动点；④结合题目限制条件，筛掉不符合题意的点。 27．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 28．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 题型十：等腰三角形的性质和判定 解题思路：①性质：等边对等角，用来由边相等求角度；判定：等角对等边，用来由角相等证边相等、证等腰三角形；②几何证明题经常性质、判定交替使用；③无图题型一定要分类讨论，同时检验三边关系、内角和，排除无效解。 30．如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 32．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十一：等边三角形的性质 解题思路：①等边三角形三边全部相等，三个内角都等于60；②拥有3条对称轴，属于特殊等腰三角形，可以使用等腰三角形全部性质；③计算题直接使用60进行角度换算，证明题可以直接得到三边相等。 33．为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 34．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 35．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型十二：等边三角形的判定 解题思路：①判定1：三边都相等的三角形是等边三角形；②判定2：三个内角都相等的三角形是等边三角形；③判定3：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；④做题优先观察题干是否给出等腰条件，若有，只需再找一个60角即可完成判定。 36．已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 37．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    38．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 题型十三：等边三角形的判定和性质 解题思路：①先判定三角形是等边三角形，再利用等边三角形边、角的性质去推线段、角度关系；②常见题型：先证等边，得到边相等、60角，再结合全等三角形解题；③注意区分什么时候用判定、什么时候用性质，不要因果颠倒。 39．在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 40．如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 41．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 42．如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 题型十四：大（小）边对大（小）角定理 解题思路：①只适用于同一个三角形当中，边长越大，这条边所对的内角就越大；②做题先对比各边长度，再对应确定对应角的大小关系；③不能跨两个不同三角形使用该定理；④常结合等腰三角形，做角的大小比较类题目。 43．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 44．在中，已知，，则应满足的条件是________． 45．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 46．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________． 题型十五：最短路径问题 解题思路：①核心方法：作对称点，把折线段转化成两点之间的直线段；②依据：两点之间线段最短；③步骤：找动点所在直线，作其中一个定点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个定点，交点即为所求动点位置；④求出交点后，有时需要利用等腰三角形性质算角度或者线段长度。 47．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 48．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 49．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 解答题 1．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． (1)若，，求度数； (2)若点是的中点，连接，请说明． 3．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 4．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 5．如图，已知在中，，，，交于，求证：． 6．如图，已知在中，，为外一点，，，求证：． 7．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $