专题 15.2 线段的垂直平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“线段的垂直平分线”核心知识点，系统梳理性质定理（垂直平分线上点到两端距离相等）、逆定理（到两端距离相等的点在垂直平分线上），结合互逆命题与互逆定理概念，通过尺规作图技能训练，构建从概念理解到技能应用的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，基础题型如性质直接求值、互逆命题辨析夯实基础，综合提升题型如尺规作图、性质与逆定理综合证明、实际选址应用（如发射塔选址），培养几何直观、推理意识与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过同步检测查漏补缺，强化知识掌握。

专题 15.2 线段的垂直平分线（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 2 【知识点二】线段垂直平分线的逆定理 2 【知识点三】互逆命题与互逆定理 2 【知识点四】核心尺规作图 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】垂直平分线性质直接求值 3 【题型 2】互逆命题辨析 5 四.题型精析（综合提升） 8 【题型 3】尺规作图——垂直平分线 8 【题型 4】垂直平分线性质综合 11 【题型 5】性质与逆定理综合求值证明 16 【题型 6】实际选址应用 20 五.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 34 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理，理解定理的几何含义；了解互逆命题、互逆定理的概念；熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法及作图原理。 2. 能力目标：能灵活运用垂直平分线性质及逆定理进行线段计算与几何证明；能准确写出命题的逆命题并判断真假；规范完成尺规作图，具备基础几何作图与推理能力。 3. 素养目标：体会几何变换与集合思想，培养数形结合、逻辑推理的数学素养，养成严谨规范的几何解题与作图习惯。 【重难点】 1. 重点：线段垂直平分线的性质定理、逆定理的理解与应用；线段垂直平分线的尺规作图。 2. 难点：性质定理与逆定理的区分及综合运用；互逆命题、互逆定理的真假辨析；垂直平分线的几何综合证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 定理内容：线段垂直平分线上的任意一点，与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线垂直平分，点在直线上，则。 核心用途：已知垂直平分线，证线段相等、求线段长度。 【知识点二】线段垂直平分线的逆定理 定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 核心用途：已知线段相等，证点在垂直平分线上、判定垂直平分线。 集合观点：线段的垂直平分线，是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点三】互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：将一个命题的题设与结论互换，得到的新命题与原命题互为互逆命题。原命题为真，逆命题不一定为真。 2. 互逆定理：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则它也是定理，二者互为互逆定理。线段垂直平分线的性质定理与逆定理是一组典型互逆定理。 【知识点四】核心尺规作图 作图1：作已知线段的垂直平分线 作法：①分别以线段两端点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于两点；②过两个交点作直线，该直线即为线段的垂直平分线。 作图原理：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，两点确定一条直线。 作图2：过一点作已知直线的垂线 分为直线上一点、直线外一点两种情况，本质依托垂直平分线作图原理，构造等距点确定垂线。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】垂直平分线性质直接求值 【例题1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质得出线段的数量关系和直角，利用角平分线的性质证明，可证明得出对应边相等，即可求解． 解：∵垂直平分线段， ∴，，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 【答案】19 【分析】由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长为，通过等量代换可得，进而求出的周长． 解：是的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， ， ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中．直线垂直平分，交于点D，交于点E，若，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式求解即可． 解：垂直平分， ， ，， 的周长． 【题型 2】互逆命题辨析 【例题2】（24-25七年级下·江苏盐城·开学考试）回答以下问题 （1）如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． （1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 解：根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点拨】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 解：（1）∵、分别平分和（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴（等式的性质）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 四.题型精析（综合提升） 【题型 3】尺规作图——垂直平分线 【例题3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， （1）求的周长； （2）在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 【答案】（1）23；（2）证明：如图，∵是的垂直平分线， ∴， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （1）根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质即可得到结论． （1）解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 【变式3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． （1）根据作图过程判断：直线是线段的_______； （2）当时，求的度数； （3）若，，求的周长． 【答案】（1）垂直平分线；（2）；（3）的周长为． 【分析】本题考查了垂直平分线作图和垂直平分线的性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理． （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法进行判断； （2）根据线段垂直平分线的性质得，再得到，利用三角形的外角性质结合三角形内角和定理得，据此即可求得答案； （3）根据垂直平分线性质求解即可． （1）解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； （2）解：根据（1）得，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴的周长 ， 即：的周长为． 【题型 4】垂直平分线性质综合 【例题4】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； （3）结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ； （2） 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再结合、是中点，得到，进而证明； （2）证明，得到，根据三角形外角性质得到的度数，同理求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案． 解：（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 【题型 5】性质与逆定理综合求值证明 【例题5】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． （1）若，的周长为，则的长为______； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． （1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）略 【变式1】（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了三线合一 ，中垂线的性质与判定，垂线段最短，作，根据等腰三角形三线合一的性质，与垂直平分线的性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解． 解：连接，作，垂足为，连接， ∵，是边的中线， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． （1）求证：； （2）连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 解：（1）略 （2）略 【题型 6】实际选址应用 【例题6】（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 解：略 【变式1】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，直线，，，分别表示三条互相交叉的公路，交点分别记为A，B，C，现要建一个加油站，使它到三个交点的距离相等，加油站的位置应该选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】B 【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定加油站的位置． 解：∵加油站到点A，B，C的距离相等， ∴加油站为、、的垂直平分线的交点． 故选：B． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 【答案】三边垂直平分 解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上， ∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点， ∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，某足球训练基地内有两条训练通道，，主训练场、备用训练场分别位于，两处．现计划在基地内设置一个球员休息区，请你帮忙确定休息区的位置． 要求：①休息区到通道和的距离相等； ②休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等； ③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】P点位置如图所示： 【分析】作的平分线和的垂直平分线，它们的交点即为所求． 解：由休息区到通道和的距离相等， ∴休息区在的平分线上； 由休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等， ∴休息区在的垂直平分线上； ∴作的平分线和的垂直平分线，它们的交点即为所求． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 4．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的基本方法，准确理解相关作图法是解题的关键．根据选项，结合尺规作图方法逐一分析即可． 解：对于选项A：该作图痕迹表明，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 对于选项B：该作图痕迹表明平分，且点D在上，根据角平分线的性质可知，点D到、的距离相等，符合题意； 对于选项C：该作图痕迹表明虚线为的中垂线，点D为该中垂线与的交点，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 对于选项D：该作图痕迹表明于点D，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 6．（2026·北京·模拟预测）如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而得到是的垂直平分线，再利用直角三角形的性质即可解答. 解：如图，连接， 根据题意可得：， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴. 7．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 8．（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质． 连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 解：如图，连接，过点作并交延长线于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：B． 9．（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，连接，先根据作图过程、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理证明，易得，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 解：如图，连接．由作图可知，垂直平分线段，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，在上分别找到点，当周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长到使得，延长到使得，连接与，分别交于点M，N，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与，分别交于点M，N， ∵，， ∴分别垂直平分线段， ∴，， ∴的周长， ∴当点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 【答案】14 【分析】先得出，再根据三角形的周长公式求解即可得． 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为． 12．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解． 解：∵，， ∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线； 故答案为． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得_____． 【答案】53 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：53． 14．（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 【答案】5 【分析】根据垂直平分线的性质得到，由此得到，结合周长的计算即可求解． 解：∵边的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵的周长为13，即， ∴ ． 15．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，①分别以点和为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交边于点，连接．②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．，，则的度数_________． 【答案】 【分析】根据尺规作图的痕迹，可得垂直平分，平分，进而得到，，结合三角形内角和定理即可求解． 解：由作图可知，是线段的垂直平分线． ． ． 由作图可知，平分． ， ． 点在上， ． ． 在中，． ． ． ． 16．（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线判定及性质，三角形外角的性质，利用等腰三角形 “三线合一” 及等角对等边，结合三角形外角性质推导边的关系是解题的关键． 由，，得垂直平分，故；结合角的和差与外角性质，得，得出，由即可得出． 解：∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【答案】证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边”，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 解：略 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． 解：（1）略 （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，平分，交于点D． （1）若，求的度数； （2）尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后由平角的定义可得答案； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可． （1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：如图所示，即为所求． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． （1）若，，求的度数； （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． （1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 【答案】 【分析】作线段的垂直平分线，作的平分线，两线交点即为点P． 解：略 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·广西防城港·期中）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______． 【知识应用】 秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周． （2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______． ②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”． 【应用拓展】 （3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积． 【答案】（1），；（2）①垂直平分； ②证明：∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是个“筝形”； （3） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，正确地理解筝形是解题的关键． （1）由，可得出点B和点D都在的垂直平分线上，所以，； （2）①根据题意直接确定和时应满足的条件，即可；②根据线段垂直平分线的性质，可得，，即可解答； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）∵，， ∴垂直平分， ∴，， 故答案为：，； （2）①秀秀确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分； 故答案为：垂直平分； ②略 （3）∵四边形是筝形， ∴， ∴“筝形”风筝的面积的面积的面积 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.2 线段的垂直平分线（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 2 【知识点二】线段垂直平分线的逆定理 2 【知识点三】互逆命题与互逆定理 2 【知识点四】核心尺规作图 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】垂直平分线性质直接求值 3 【题型 2】互逆命题辨析 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 3】尺规作图——垂直平分线 5 【题型 4】垂直平分线性质综合 6 【题型 5】性质与逆定理综合求值证明 8 【题型 6】实际选址应用 9 五.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理，理解定理的几何含义；了解互逆命题、互逆定理的概念；熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法及作图原理。 2. 能力目标：能灵活运用垂直平分线性质及逆定理进行线段计算与几何证明；能准确写出命题的逆命题并判断真假；规范完成尺规作图，具备基础几何作图与推理能力。 3. 素养目标：体会几何变换与集合思想，培养数形结合、逻辑推理的数学素养，养成严谨规范的几何解题与作图习惯。 【重难点】 1. 重点：线段垂直平分线的性质定理、逆定理的理解与应用；线段垂直平分线的尺规作图。 2. 难点：性质定理与逆定理的区分及综合运用；互逆命题、互逆定理的真假辨析；垂直平分线的几何综合证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 定理内容：线段垂直平分线上的任意一点，与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线垂直平分，点在直线上，则。 核心用途：已知垂直平分线，证线段相等、求线段长度。 【知识点二】线段垂直平分线的逆定理 定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 核心用途：已知线段相等，证点在垂直平分线上、判定垂直平分线。 集合观点：线段的垂直平分线，是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点三】互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：将一个命题的题设与结论互换，得到的新命题与原命题互为互逆命题。原命题为真，逆命题不一定为真。 2. 互逆定理：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则它也是定理，二者互为互逆定理。线段垂直平分线的性质定理与逆定理是一组典型互逆定理。 【知识点四】核心尺规作图 作图1：作已知线段的垂直平分线 作法：①分别以线段两端点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于两点；②过两个交点作直线，该直线即为线段的垂直平分线。 作图原理：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，两点确定一条直线。 作图2：过一点作已知直线的垂线 分为直线上一点、直线外一点两种情况，本质依托垂直平分线作图原理，构造等距点确定垂线。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】垂直平分线性质直接求值 【例题1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中．直线垂直平分，交于点D，交于点E，若，，求的周长． 【题型 2】互逆命题辨析 【例题2】（24-25七年级下·江苏盐城·开学考试）回答以下问题 （1）如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【变式3】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 四.题型精析（综合提升） 【题型 3】尺规作图——垂直平分线 【例题3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， （1）求的周长； （2）在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【变式3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． （1）根据作图过程判断：直线是线段的_______； （2）当时，求的度数； （3）若，，求的周长． 【题型 4】垂直平分线性质综合 【例题4】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：．（2）若，求的度数． 【题型 5】性质与逆定理综合求值证明 【例题5】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． （1）若，的周长为，则的长为______； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． （1）求证：； （2）连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【题型 6】实际选址应用 【例题6】（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【变式1】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，直线，，，分别表示三条互相交叉的公路，交点分别记为A，B，C，现要建一个加油站，使它到三个交点的距离相等，加油站的位置应该选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，某足球训练基地内有两条训练通道，，主训练场、备用训练场分别位于，两处．现计划在基地内设置一个球员休息区，请你帮忙确定休息区的位置． 要求：①休息区到通道和的距离相等； ②休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等； ③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 2．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 4．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2026·北京·模拟预测）如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 8．（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 9．（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，在上分别找到点，当周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 12．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得_____． 14．（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 15．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，①分别以点和为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交边于点，连接．②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．，，则的度数_________． 16．（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 18．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，若．求证：是的中点． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，平分，交于点D． （1）若，求的度数； （2）尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． （1）若，，求的度数； （2）若的周长为，的周长为，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·广西防城港·期中）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______． 【知识应用】 秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周． （2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______． ②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”． 【应用拓展】 （3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $