专题 13.4 三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学三角形全章复习讲义通过知识框架系统梳理全章内容，从三角形概念、与线段有关的性质，到中线、角平分线、高的定义及特征，再到内角和与外角定理，用结构化呈现知识脉络，突出三边关系、内角和定理等核心要点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于以9大常考题型为核心，如等腰三角形边长分类讨论强调验证三边关系（易错点），外角定理综合计算（重点大题），培养推理意识与运算能力。同步检测分层设计，选择、填空巩固基础，解答题提升思维，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题 13.4 三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一. 全章知识梳理 1 【知识点一】三角形的概念 1 【知识点二】与三角形有关的线段 2 【知识点三】三角形中线、角平分线、高 2 【知识点四】三角形的内角与外角 2 二.全章常考题型题型精析 3 【题型 1】利用三边关系判断线段能否组成三角形 3 【题型 2】等腰三角形边长分类讨论（易错，必须验证三边关系） 3 【题型 3】三角形中线与线段、面积计算 4 【题型 4】高的作图与分类求值（钝角三角形高是高频易错） 5 【题型 5】三角形角中线与高综合运算 6 【题型 6】角平分线有关计算 7 【题型 7】三角形内角和与平行线、角平分线、高线综合计算 8 【题型 8】外角定理核心计算题（本章重点大题考点） 9 【题型 9】内角 + 外角综合证明题（解答题压轴） 11 三.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一. 全章知识梳理 【知识点一】三角形的概念 1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2、三角形三要素：边：组成三角形的三条线段；顶点：相邻两边的公共端点；内角：相邻两边组成的角（简称三角形的角）。 3、三角形分类 按边分类： ； 按角分类： 【知识点二】与三角形有关的线段 1、三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 【要点说明】（1）已知两边长a、b（a>b），则第三边c取值范围为：a-b < c < a+b；（2）判断三条线段能否构成三角形方法：只需验证较短两条线段之和是否大于最长线段即可。 【知识点三】三角形中线、角平分线、高 1、三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 相关结论： ①三角形有3条中线，交于一点，该点叫重心；②一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。 2、三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 相关结论： ①3 条角平分线交于一点，叫内心； ②角平分线上任意一点，到角两边的距离相等（以后学习）。 3、三角形的高 定义：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 4、（1）三角形高的位置与其形状关系：锐角三角形：三条高都在三角形内部；直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点；钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部。 （2）三条高所在直线交于一点，该点叫垂心。 【知识点四】三角形的内角与外角 1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于. （1） 直角三角形两锐角互余；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形； 2、三角形的外角性质 （1）外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 （2）外角核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个与它不相邻的内角； 三角形外角和等于。 二.全章常考题型题型精析 【题型 1】利用三边关系判断线段能否组成三角形 【例题1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 【变式3】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若，，且c为整数，求的周长； （3）直接写出化简结果：________． 【题型 2】等腰三角形边长分类讨论（易错，必须验证三边关系） 【例题2】（2026七年级下·全国·专题练习）三角形的三条边长都是整数，周长为，且有一条边长为4．这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在中，，且，． （1）求a的取值范围； （2）若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的中线，，若，求的面积． 【题型 3】三角形中线与线段、面积计算 【例题3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【变式3】（25-26八年级上·新疆阿勒泰·阶段检测）根据条件画图，并回答问题： （1）作出 边上的中线和高； （2）写出两个以为高的三角形． 【题型 4】高的作图与分类求值（钝角三角形高是高频易错） 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． （1）折出的是边上的中线的是______； （2）折出的是边上的高的是______； （3）折出的是的平分线的是______． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． （1）作图：在中作出边上的高，边上的高； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【题型 5】三角形角中线与高综合运算 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线． （1）作图：在△中作出边上的高；边上的高； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【变式1】（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D （1）若，则_________． （2）从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； （3）如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． （4）如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【题型 6】角平分线有关计算 【例题6】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． （1）【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； （2）【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【变式1】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分．若，求的度数． 【题型 7】三角形内角和与平行线、角平分线、高线综合计算 【例题7】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分．若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 __________， __________． 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若，，则与的周长差为______； （2）若的面积为5，则的面积______； （3）当，时，求的度数． 【题型 8】外角定理核心计算题（本章重点大题考点） 【例题8】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【题型 9】内角 + 外角综合证明题（解答题压轴） 【例题9】（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的度数为_______°． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若平分，，，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 2．（2026·广西南宁·二模）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 8．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 9．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 13．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 14．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为_____ ． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 16．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 17．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 18．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： （1）画出； （2）画出的高； （3）连接、，则与的关系是______． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足．判断的形状； （2）若，且为等腰三角形．求的周长． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． （1）若，，求与的周长之差； （2）当，时，求的度数． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，直线截直线和，分别交于点、点，且，过点作平分交于点，过点作直线交于点，交于点，在直线上取点，连接，且满足． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是的角平分线，是边上一点，连接交于点，，，连接． （1）求的度数； （2）若为的中线，的面积为，请用字母表示的面积； （3）如图2，过点作的垂线交直线于点，若，，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13.4 三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一. 全章知识梳理 1 【知识点一】三角形的概念 1 【知识点二】与三角形有关的线段 2 【知识点三】三角形中线、角平分线、高 2 【知识点四】三角形的内角与外角 2 二.全章常考题型题型精析 3 【题型 1】利用三边关系判断线段能否组成三角形 3 【题型 2】等腰三角形边长分类讨论（易错，必须验证三边关系） 5 【题型 3】三角形中线与线段、面积计算 8 【题型 4】高的作图与分类求值（钝角三角形高是高频易错） 11 【题型 5】三角形角中线与高综合运算 13 【题型 6】角平分线有关计算 18 【题型 7】三角形内角和与平行线、角平分线、高线综合计算 22 【题型 8】外角定理核心计算题（本章重点大题考点） 25 【题型 9】内角 + 外角综合证明题（解答题压轴） 29 三.同步检测 32 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 一. 全章知识梳理 【知识点一】三角形的概念 1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2、三角形三要素：边：组成三角形的三条线段；顶点：相邻两边的公共端点；内角：相邻两边组成的角（简称三角形的角）。 3、三角形分类 按边分类： ； 按角分类： 【知识点二】与三角形有关的线段 1、三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 【要点说明】（1）已知两边长a、b（a>b），则第三边c取值范围为：a-b < c < a+b；（2）判断三条线段能否构成三角形方法：只需验证较短两条线段之和是否大于最长线段即可。 【知识点三】三角形中线、角平分线、高 1、三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 相关结论： ①三角形有3条中线，交于一点，该点叫重心；②一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。 2、三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 相关结论： ①3 条角平分线交于一点，叫内心； ②角平分线上任意一点，到角两边的距离相等（以后学习）。 3、三角形的高 定义：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 4、（1）三角形高的位置与其形状关系：锐角三角形：三条高都在三角形内部；直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点；钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部。 （2）三条高所在直线交于一点，该点叫垂心。 【知识点四】三角形的内角与外角 1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于. （1） 直角三角形两锐角互余；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形； 2、三角形的外角性质 （1）外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 （2）外角核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个与它不相邻的内角； 三角形外角和等于。 二.全章常考题型题型精析 【题型 1】利用三边关系判断线段能否组成三角形 【例题1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）等腰三角形；（2） 【分析】（1） 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． （2） 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 解：（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 【答案】A 解：A．∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能组成三角形，符合题意； B．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； C．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； D．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系作答即可． 解：∵三角形的三边长分别为7，11，， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若，，且c为整数，求的周长； （3）直接写出化简结果：________． 【答案】（1）等边三角形；（2）11或12或13；（3） 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 【题型 2】等腰三角形边长分类讨论（易错，必须验证三边关系） 【例题2】（2026七年级下·全国·专题练习）三角形的三条边长都是整数，周长为，且有一条边长为4．这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由． 【答案】5或4 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．设这个三角形另两边为和，根据已知条件可以得到，分类讨论最大边长的情况，根据三角形的三边关系进行判断． 解：设这个三角形另两边分别为和， 根据已知，得， ∴． 若最大边为6，则另一边为1，，不满足三角形三边关系定理； 若最大边为5，则另一边为2，满足三边关系定理，故最大边长可能是5； 若最大边长是4，则另一边长为3，满足三角形三边关系定理，故最大边长可能是4； 综上所述，最大边长可能是5或4． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在中，，且，． （1）求a的取值范围； （2）若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；（2）44 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的定义，解不等式组，掌握这些知识是关键． （1）由三角形三边的关系列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． 解：（1）解：由题意知： 解得：； （2）解：∵是等腰三角形，两边长为8，18所以第三边为8或18， 又，， ∴第三边只能为18． 此时周长为． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长． 解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． 【答案】 【分析】先利用平方和绝对值的非负性求出，的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算符合条件的周长即可． 解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当等腰三角形腰长为，底边长为时， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故此情况舍去； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的中线，，若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了由三角形中线求三角形面积，根据三角形中线求出的面积，再利用已知可得，从而得到． 解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 【题型 3】三角形中线与线段、面积计算 【例题3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）20；（2）8 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． 解：（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 【变式1】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【分析】根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 【变式3】（25-26八年级上·新疆阿勒泰·阶段检测）根据条件画图，并回答问题： （1）作出 边上的中线和高； （2）写出两个以为高的三角形． 【答案】（1）见分析；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了作三角形中线和高，以及三角形高线定义． （1）根据三角形中线和高的定义作图即可； （2）结合图形写出两个以为高的三角形即可． 解：（1）解：所作 边上的中线和高如图所示； （2）解：以为高的三角形有（或任写两个即可）． 【题型 4】高的作图与分类求值（钝角三角形高是高频易错） 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． （1）折出的是边上的中线的是______； （2）折出的是边上的高的是______； （3）折出的是的平分线的是______． 【答案】（1）丙；（2）甲；（3）乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 解：（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． （1）作图：在中作出边上的高，边上的高； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【答案】（1）见分析；（2）中边上的高为4 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 解：（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为40，， ∴， ∴， 即中边上的高为4． 【题型 5】三角形角中线与高综合运算 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线． （1）作图：在△中作出边上的高；边上的高； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【答案】（1）见分析；（2）中边上的高为4 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 解：（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：为的中线，为的中线， ， ， 的面积为40，， ， ， 即中边上的高为4． 【变式1】（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D （1）若，则_________． （2）从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； （3）如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． （4）如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由如下：（4） 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 解：（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 【题型 6】角平分线有关计算 【例题6】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． （1）【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； （2）【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）125；70；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据角平分线的定义得到，，进而推出，，据此利用三角形内角和定理即可求出答案； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． （3）如图所示，连接，设，，则由三角形内角和定理得到，，，进而得到；由角平分线的定义得到，，进而得到，，则，则． 解：（1）解：∵在中，的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：125；70； （2）解：，理由如下： ∵的角平分线与的角平分线相交于点，，， ∴在中， ， 又， ； （3）解：如图所示，连接， 设，， ∴，，， ∴ ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，，根据等式的性质变形得，然后把代入计算即可． 解：∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 【答案】 40 10 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，根据角平分线的定义和三角形的外角定理得出，再根据三角形的内角和定理得出，即可推出，同理可得，，即可解答．掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵， ∴； 同理可得：，， 故答案为：40，10． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的定义用表示出的度数，再根据三角形内角和定理用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【题型 7】三角形内角和与平行线、角平分线、高线综合计算 【例题7】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的定义用表示出的度数，再根据三角形内角和定理用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 __________， __________． 【答案】 /80度 /10度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，则，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理，垂直定义即可求解． 解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 故答案为：，. 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若，，则与的周长差为______； （2）若的面积为5，则的面积______； （3）当，时，求的度数． 【答案】（1）3；（2）10；（3） 【分析】（1）是中线，，共线，周长差，就是与的差值； （2）与以所在直线为底，高度相等，是中线，，所以； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，再求出的余角，最后，求出． 解：（1）解：是中线， ， ． （2）解：是中线， ， 是的高， ，， ． （3）解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线，， ． 【题型 8】外角定理核心计算题（本章重点大题考点） 【例题8】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【答案】（1）见分析；（2）与的位置为，证明见分析，图见分析 【分析】（1）根据题意得，推出，，即可得证； （2）设交于点，根据角平分线的定义得到，，由，，推出，得到，推出，，得到，即可判定． 解：（1）证明：直线于点，， ，， ，， ； （2）如图，、即为所求， 与的位置为，证明如下： 设交于点， 、分别平分和， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 解：，， ， ， ， ，， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是直角三角形，理由见分析 【分析】（1）先求出，再根据三角形外角的性质计算即可； （2）设，则，根据三角形外角的性质得到，，可知，根据得到，计算的和即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【题型 9】内角 + 外角综合证明题（解答题压轴） 【例题9】（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形的外角性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 解：（1）解：平分，， ． ， ， ； （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用可得，再利用三角形外角的性质即可解得. 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的度数为_______°． 【答案】 【分析】连接，先得到四边形内角和等于，再由三角形的外角性质得到，然后代入求解即可． 解：连接， ∴ ∴ ∵ ∴ ， 即题干图中． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得，再结合角平分线的定义可得，根据是的高，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可解答． 解：（1）解：是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． （2）解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 2．（2026·广西南宁·二模）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出的取值范围，再结合选项判断即可． 解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 3．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据内角度数比计算出最大内角的度数，即可判断三角形类型． 解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴可设三个内角分别为，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得：， ∴最大内角为， ∵， 即三个内角都为锐角， ∴这个三角形是锐角三角形． 5．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义可知的度数． 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 7．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点拨】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 8．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可． 解：由题意得，， 即， 解得， 故选：B． 9．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 10．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等底同高的三角形面积相等的性质，找出每次倍长后三角形面积的递推规律，进而求出倍长次后三角形的面积． 解：如图，连接， 由题意可得，，，， ， ， ， 同理可得，，， ，即倍长次后，面积变为原来的倍， 倍长次后，面积变为原来的倍， 倍长次后，面积变为原来的倍． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 13．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 解：∵是的中线， ∴． 14．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 16．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 17．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【答案】/度 解：先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 18．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________． 【答案】 【分析】分当时，当时，当时，3种情况进行讨论求解即可. 解：当时，如图 ∵， ∴， 当时，如下图所示，则， ∵， ∴； 当时，延长交于点F，如下图所示，则， ∵， ∴ ∴， 综上：所有 的度数的和为. （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【答案】见分析 解：证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： （1）画出； （2）画出的高； （3）连接、，则与的关系是______． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）平行且相等 解：（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，根据平移性质，与的关系是平行且相等． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足．判断的形状； （2）若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】（1）是等边三角形；（2）的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 解：（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． （1）若，，求与的周长之差； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）2cm；（2）． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，直线截直线和，分别交于点、点，且，过点作平分交于点，过点作直线交于点，交于点，在直线上取点，连接，且满足． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明过程见分析；（2）． 【分析】（1）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，结合已知可得，即可证得结论； （2）由角平分线的定义，可得，由三角形的内角和定理，可得，根据平行线的性质，即可得的度数． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是的角平分线，是边上一点，连接交于点，，，连接． （1）求的度数； （2）若为的中线，的面积为，请用字母表示的面积； （3）如图2，过点作的垂线交直线于点，若，，求的面积． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）因为是角平分线，且，所以可先求出和的度数；所以可利用三角形外角定理，结合已求的的度数，求出的度数． （2）因为是的中线，所以和的面积相等；因为，所以可利用三角形面积与底的比例关系，结合的面积为，逐步推导的面积． （3）先根据，，求出 ，可得 ，根据， 得​． 解：（1）解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ， 解得． （2）解：∵是的中线， ∴ ． ∵在上，，和同高（以到的距离为高）， ∴， ∴． ∴． （3）解：∵，，， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴， 即 ， ∵， ∴​． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $