专题 15.5 等边三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学等边三角形核心知识点，系统梳理定义（三条边相等的三角形）、性质（三边相等、三角60°、三线合一）、三种判定方法（定义法、三角相等法、等腰三角形+60°角），并关联含30°角直角三角形性质（30°对直角边为斜边一半及逆用），构建从基础到综合的知识支架。 该资料以分层题型设计为亮点，夯实基础题型（性质计算、判定应用）与综合提升题型（全等结合、等腰综合）结合，例题配变式训练。通过几何直观培养空间观念，推理意识强化证明逻辑，同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 15.5 等边三角形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等边三角形的定义 2 【知识点二】等边三角形的性质 2 【知识点三】等边三角形的三种判定方法（必考） 2 【知识点四】含30°角的直角三角形性质 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】等边三角形性质基础计算与证明 3 【题型 2】等边三角形判定定理应用 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 3】含30°角直角三角形长度计算 5 【题型 4】等边三角形与全等综合证明 6 【题型 5】等腰三角形结合30°性质综合计算 7 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：掌握等边三角形的定义、性质与三种判定方法；理解等边三角形与等腰三角形的从属关系；熟练掌握含30°角的直角三角形的重要性质及逆用结论。 2. 能力目标：能利用等边三角形性质完成角度、线段的计算与证明；能根据题干条件灵活选择判定定理证明等边三角形；熟练运用30°直角三角形性质解决几何计算，具备等腰、等边三角形综合解题能力。 3. 素养目标：体会几何图形“特殊与一般”的数学思想，强化逻辑推理、几何直观素养，规范几何证明书写步骤，提升综合解题与归纳总结能力。 【重难点】 1. 重点：等边三角形的性质与判定定理；含30°角的直角三角形的性质及应用。 2. 难点：等边三角形判定定理的灵活选用；等边三角形与全等三角形、等腰三角形的综合证明；30°直角三角形性质的逆向运用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等边三角形的定义 三条边长度都相等的三角形，叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，属于轴对称图形，共有3条对称轴，分别为三条边上的高（顶角平分线、底边中线）所在直线。 【知识点二】等边三角形的性质 1. 边的性质：三条边长度全部相等； 2. 角的性质：三个内角全部相等，且每一个内角的度数均为60°； 3. 特殊性质：等边三角形三条边上均满足“三线合一”性质。 几何语言：若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。 【知识点三】等边三角形的三种判定方法（必考） 判定1（定义法）：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定2（角度法）：三个角都相等的三角形是等边三角形（三个角均为60°）。 判定3（高频考点）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 要点提示：判定3缺一不可，必须同时满足“等腰三角形”+“一个内角为60°”两个条件。 【知识点四】含30°角的直角三角形性质 性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆用结论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=½AB。 要点提示：该性质仅适用于直角三角形，特指30°角所对的直角边，不可混淆邻边与对边。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】等边三角形性质基础计算与证明 【例题1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． （1）是判断的形状，并说明理由．（2）若，求的周长． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则________ °． 【变式3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若C是的中点，，求的长． 【题型 2】等边三角形判定定理应用 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是的中点，过点分别作，垂足分别为，连接，若，求证：是等边三角形． 下面是小贺同学的部分证明过程，请你将过程补充完整． 证明：， ． 又， ， … 【题型 3】含30°角直角三角形长度计算 【例题3】（26-27八年级·全国·暑假作业）在直角三角形中，，三等分，，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2026·广东佛山·一模）如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，已知中，，，交于点C．若，求的长． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】等边三角形与全等综合证明 【例题4】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，等边中，，点M是边上的高所在直线上的点，以为边作等边，连接，则的最小值为_________ ． 【变式3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【题型 5】等腰三角形结合30°性质综合计算 【例题5】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． （1）若，，求的长； （2）求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，的平分线上有一点C，过点C作交于点D，点E在射线上，若，，则的最小值为_____ ． 【变式3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【题型 6】等腰三角形与等边三角形综合 【例题6】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由； （4）【解决问题】 如图④，在中，，求证：． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列命题是真命题的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 B．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则_______． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·陕西西安·一模）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西崇左·期末）在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）等边三角形边长为a厘米，当边长增加4厘米时，它的周长是（    ）厘米． A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（    ）米      A．12 B． C． D．21 8．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余），如图，其中，，则正确结论是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________． 12．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）在中，已知，，则的取值范围是_____． 15．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，点D为上一动点，连接，点E为线段上一点，点F，点G分别为边，边上的动点，若，则的周长的最小值为_____．    16．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 18．（2026·河南平顶山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，则的面积为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27八年级·全国·暑假作业）在直角三角形中，，三等分，，求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． （1）若，求的长； （2）判断的形状并说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． （1）求证： （2）若，求的度数． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级·四川遂宁·自主招生）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，若，已知，求等边的边长； 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，是等边三角形，点是边的中点，点是直线上任意一点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点．试探究线段与的数量关系及的大小． 数学思考： （1）如图1，当点在线段上时， 请直接写出：①与的数量关系________； ②________ 深入探究： （2）①如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； ②在①的基础上，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，当点在线段的延长线上时，直接写出线段，，的数量关系．无需证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.5 等边三角形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等边三角形的定义 2 【知识点二】等边三角形的性质 2 【知识点三】等边三角形的三种判定方法（必考） 2 【知识点四】含30°角的直角三角形性质 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】等边三角形性质基础计算与证明 3 【题型 2】等边三角形判定定理应用 6 四.题型精析（综合提升） 9 【题型 3】含30°角直角三角形长度计算 9 【题型 4】等边三角形与全等综合证明 11 【题型 5】等腰三角形结合30°性质综合计算 15 五.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 38 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：掌握等边三角形的定义、性质与三种判定方法；理解等边三角形与等腰三角形的从属关系；熟练掌握含30°角的直角三角形的重要性质及逆用结论。 2. 能力目标：能利用等边三角形性质完成角度、线段的计算与证明；能根据题干条件灵活选择判定定理证明等边三角形；熟练运用30°直角三角形性质解决几何计算，具备等腰、等边三角形综合解题能力。 3. 素养目标：体会几何图形“特殊与一般”的数学思想，强化逻辑推理、几何直观素养，规范几何证明书写步骤，提升综合解题与归纳总结能力。 【重难点】 1. 重点：等边三角形的性质与判定定理；含30°角的直角三角形的性质及应用。 2. 难点：等边三角形判定定理的灵活选用；等边三角形与全等三角形、等腰三角形的综合证明；30°直角三角形性质的逆向运用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等边三角形的定义 三条边长度都相等的三角形，叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，属于轴对称图形，共有3条对称轴，分别为三条边上的高（顶角平分线、底边中线）所在直线。 【知识点二】等边三角形的性质 1. 边的性质：三条边长度全部相等； 2. 角的性质：三个内角全部相等，且每一个内角的度数均为60°； 3. 特殊性质：等边三角形三条边上均满足“三线合一”性质。 几何语言：若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。 【知识点三】等边三角形的三种判定方法（必考） 判定1（定义法）：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定2（角度法）：三个角都相等的三角形是等边三角形（三个角均为60°）。 判定3（高频考点）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 要点提示：判定3缺一不可，必须同时满足“等腰三角形”+“一个内角为60°”两个条件。 【知识点四】含30°角的直角三角形性质 性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆用结论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=½AB。 要点提示：该性质仅适用于直角三角形，特指30°角所对的直角边，不可混淆邻边与对边。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】等边三角形性质基础计算与证明 【例题1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． （1）是判断的形状，并说明理由． （2）若，求的周长． 【答案】（1）为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）27 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 【变式3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若C是的中点，，求的长． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． （1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 【题型 2】等边三角形判定定理应用 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 解：略 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是的中点，过点分别作，垂足分别为，连接，若，求证：是等边三角形． 下面是小贺同学的部分证明过程，请你将过程补充完整． 证明：， ． 又， ， … 【答案】补充过程如下： ∵D是的中点， ． 在和中， ， ∵ 是等边三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先结合，得出，又因为D是的中点，则，然后证明又因为，故是等边三角形，即可作答． 解：略 【题型 3】含30°角直角三角形长度计算 【例题3】（26-27八年级·全国·暑假作业）在直角三角形中，，三等分，，求证：． 【答案】证明：，，三等分， ， ， ， ． 【分析】通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 【变式2】（2026·广东佛山·一模）如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【答案】，，是等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形得到，，结合已知条件可得，即可证明，那么，那么可得到是等边三角形． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，已知中，，，交于点C．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，证明，，再进一步求解即可． 解：，交于点C， ， ，， ， ， ， 的长为． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】等边三角形与全等综合证明 【例题4】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，等边中，，点M是边上的高所在直线上的点，以为边作等边，连接，则的最小值为_________ ． 【答案】 【分析】连接，由“”可证，可得，点N在与成30度的射线上运动，当时，有最小值，再由直角三角形的性质可求解． 解：如图，连接， ∵和是等边三角形， ∴． ∴，即． ∵， ，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点N在与成30度的射线上运动， ∴当时，有最小值， ∵，， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】（1） 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2） 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 解：（1）略 （2）略 【题型 5】等腰三角形结合30°性质综合计算 【例题5】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． （1）若，，求的长； （2）求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】（1）；（2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． （1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可知． 解：中，，， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，的平分线上有一点C，过点C作交于点D，点E在射线上，若，，则的最小值为_____ ． 【答案】3 【分析】根据垂线段最短可知当时最小，利用角平分线的性质将的最小值转化为点到的距离，结合平行线的性质和等腰三角形的判定求出的长，最后在含角的直角三角形中求解即可． 解：如图，过点作于点 ，当时，的长最小， 平分，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即的最小值为3． 【变式3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 解：（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 【题型 6】等腰三角形与等边三角形综合 【例题6】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由； （4）【解决问题】 如图④，在中，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解； （2）根据等边对等角得到，再根据三角形的外角，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解； （3）由角的和差关系得到，结合等腰三角形的判定即可求解； （4）延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，证明，得到为等边三角形，，结合角的和差关系即可求解． （1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：； （3）略 （4）略 【点拨】本题主要考查了等腰（边）三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列命题是真命题的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 B．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质、等边三角形的判定进行判断即可． 解：A．等腰三角形底边的高与底边的中线及顶角的角平分线三线合一，故原命题是假命题； B．有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故原命题是假命题； C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故原命题是假命题； D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形，故原命题是真命题； 故选：D． 【点拨】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则_______． 【答案】13 【分析】延长交于，延长交于，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等腰三角形的性质得，，由直角三角形的特征得，即可求解． 解：延长交于，延长交于， ， ， 是等边三角形， ， ， ，平分 ，， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） （3） （4）证明：延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，推出，即可得证； （2）利用等边对等角，三角形的外角，推出，即可得出结论； （3）根据等角对等边，证明是等腰三角形即可； （4）延长至点，使，取的中点，连接，证明，进而证明，推出为等边三角形，求出，利用三角形的内角和定理求出即可． 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）略 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·陕西西安·一模）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·广西崇左·期末）在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 3．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级下·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 6．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）等边三角形边长为a厘米，当边长增加4厘米时，它的周长是（    ）厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质求解即可． 解：∵等边三角形边长为a厘米， ∴当边长增加4厘米时，边长为厘米， ∴它的周长是厘米． 故选：D． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 7．（2026·广东深圳·三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（    ）米      A．12 B． C． D．21 【答案】C 【分析】如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E，证明都是等边三角形，得到，再证明得到，则，即可得到，，设，则，求出，即可求出． 解：如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则炮索的长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到水平地面的距离是， 故选C．    【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余），如图，其中，，则正确结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；然后延长，交于一点，同理证明是等边三角形，再运用三角形三边关系进行分析，即可作答． 解：∵， ∴， 则是等边三角形， ∴， ∵三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余）， ∴设铁丝长度为， ∴； 同理，证明是等边三角形， 则， 则， ∴， ∵， ∴， 延长，交于一点，如图所示： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 解：∵是等边的高， ∴． 12．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键掌握三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形． 根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 解：三条边相等的三角形是等边三角形，三个内角是的三角形是等边三角形， ①如图，添加或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②添加或或时， ∵，， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 【答案】48 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：48． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）在中，已知，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，点D为上一动点，连接，点E为线段上一点，点F，点G分别为边，边上的动点，若，则的周长的最小值为_____．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质．作点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，连接交于F，交于G，则此时，的周长最小，最小值，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：作点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，连接交于F，交于G， 则此时，的周长最小，且的周长的最小值， 连接，    ∵点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6， 故答案为：6． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·河南平顶山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，则的面积为______． 【答案】6 【分析】先证明，得到，，，即可求解． 解：∵A点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27八年级·全国·暑假作业）在直角三角形中，，三等分，，求证：． 【答案】证明：，，三等分， ， ， ， ． 【分析】通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 解：（1）略 （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． （1）若，求的长； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1）8；（2）是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． （1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）略 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再根据定理即可得证； （2）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级·四川遂宁·自主招生）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）7 （3）6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，是等边三角形，点是边的中点，点是直线上任意一点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点．试探究线段与的数量关系及的大小． 数学思考： （1）如图1，当点在线段上时， 请直接写出：①与的数量关系________； ②________ 深入探究： （2）①如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； ②在①的基础上，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，当点在线段的延长线上时，直接写出线段，，的数量关系．无需证明． 【答案】（1）①；②60度；（2）解：①（1）中的结论还成立，理由如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，，即， 在和中 ， ， ，， ， ， ； ②由（2）①得：，，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质： （1）由“”证明，根据全等三角形的性质求解即可； （2）①由“”证明，则，，即可得出结论；②由（2）①得：，，，可得到，从而得到，即可得出结论； （3）由“”证明，则，，从而得到，进而得到，即可得出结论． （1）解：①和是等边三角形， ，，， ，， ， ， ； 故答案为：； ②点F是边的中点，是等边三角形， ，， 由①可知， ， ， ； 故答案为：； （2）解：①略 ②略 （3）解：和是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中 ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $