专题 13.3 三角形的内角与外角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识，系统梳理内角和定理、直角三角形性质与判定、外角定义及性质，从基础证明到与平行线、角平分线综合，再到折叠等综合题型，构建递进式学习支架。 资料通过分层例题与变式设计，同步检测覆盖选择、填空、解答，培养几何直观与推理能力。如内角和多种证明方法提升创新意识，折叠问题综合发展空间观念，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

专题 13.3 三角形的内角与外角（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的内角 1 【题型 1】三角形内角和定理的证明 2 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 3 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 4 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 5 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 6 【知识点二】三角形的外角 7 【题型 6】利用三角形外角性质求值 8 【题型 7】利用三角形外角性质证明 9 二.综合培优题型精析 10 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 10 【题型 9】三角形内角和与直角三角形两锐角互余综合 12 【题型 10】三角形内角和与外角性质综合 13 三.同步检测 14 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 18 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的内角 1、 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 图1 如图1：在中， 2、 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 图2 如图2：在中， 3、 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 图3 如图3：在中，，则是直角三角形. 【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； （2）在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． （1）如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； （2）聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 【例题2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【变式3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 【例题3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）中，点，在边上，平分，，，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【变式3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，平分，，，， （1）求的度数． （2）设，，求（用，表示） 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． （2）和有什么关系？和呢？ 【变式1】（2026·河南商丘·模拟预测）一个杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角为α，支持力与重力G方向的夹角为β，当β的度数为时，α的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 【例题5】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【知识点二】三角形的外角 1、三角形外角定义：如图4，把的一边延长，得到.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 图4 2、三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 图5 如图5：、、是三个外角，则有：、、 【特别说明】三角形外角和等于。 【题型 6】利用三角形外角性质求值 【例题6】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 【变式2】（2026·重庆北碚·二模）如图，直线，若，，则的度数是_________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． （1）若,，求的度数． （2）连接，若的周长为，，求四边形的周长． 【题型 7】利用三角形外角性质证明 【例题7】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． （1）若，求证：； （2）若，求证：． 【变式1】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在上，交于点，点在上，与交于点．下列角中，与相等的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． 【拓展延伸】如图4，五角星五个“角”的和为________°． 二.综合培优题型精析 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 【例题8】（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． （2）问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【变式1】（23-24八年级上·吉林白城·期中）将三角形纸片沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，再将边沿边折叠，此时刚好与完全重合，得到如图所示的图形，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； （2）如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； （3）如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【题型 9】三角形内角和与直角三角形两锐角互余综合 【例题9】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图①，平分，，，． （1）求的度数； （2）如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； （3）如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【变式1】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，于点于点，则图中与互余的角共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，，平分交于点，，，分别是延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为________． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知在中，，，垂足为，点在上，交于点，． （1）点到直线的距离是线段________的长度；如果，，那么与的面积的比值是_______． （2）求证：平分． 【题型 10】三角形内角和与外角性质综合 【例题10】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【变式1】（2026·江西·模拟预测）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，已知，，，点在边上．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的度数为_______°． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则 ；若，则 ； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点M，D分别在上，过点D作，过点M作于点N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃白银·三模）物理实验中，物体A静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南三门峡·三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则，则的度数为（）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，，是反射光线． 要使反射光线与地面平行，与应满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江杭州·一模）已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2021·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于_____． 10．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在边上的点处．若，则的度数为________． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 12．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 13．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 14．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 16．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1）______； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分交于点，于点．若，，求的度数． 19．（25-26七年级下·山东烟台·期中）探究平行线间角度关系 【问题情境】 （1）如图1，，，，则的度数为________； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B，D重合）时，与α，β之间有何数量关系？请说明理由； 【问题应用】 （3）在（2）的条件下，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 20．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 （已知）， 同理可得 ． ∵ （                ）， （等式的性质） = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13.3 三角形的内角与外角（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的内角 1 【题型 1】三角形内角和定理的证明 2 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 6 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 9 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 11 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 14 【知识点二】三角形的外角 17 【题型 6】利用三角形外角性质求值 17 【题型 7】利用三角形外角性质证明 20 二.综合培优题型精析 23 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 24 【题型 9】三角形内角和与直角三角形两锐角互余综合 30 【题型 10】三角形内角和与外角性质综合 34 三.同步检测 38 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 39 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 44 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 49 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的内角 1、 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 图1 如图1：在中， 2、 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 图2 如图2：在中， 3、 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 图3 如图3：在中，，则是直角三角形. 【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； （2）在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】（1）①②③；（2）证明见分析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 解：（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． （1）如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； （2）聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 解：（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 【例题2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）平行，理由见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 【例题3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）中，点，在边上，平分，，，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据平分线的定义得出，根据垂直的定义得出，再求出，最后根据即可得出答案． 解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】/124度 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，平分，，，， （1）求的度数． （2）设，，求（用，表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可. 解：（1）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴. 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． （2）和有什么关系？和呢？ 【答案】（1）解：图中有三个直角三角形，分别是、、；的直角边是、，斜边是；的直角边是、，斜边是；的直角边是、，斜边是． （2）与互为余角，． 【分析】（1）依据，即可得到直角三角形及其直角边和斜边． （2）依据余角的定义以及同角的余角相等，即可得出结论． 解：（1）略 （2）∵， ∴， 与互为余角， ，， ． 【变式1】（2026·河南商丘·模拟预测）一个杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角为α，支持力与重力G方向的夹角为β，当β的度数为时，α的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，求出，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 解：作，则，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 即：α的度数为． 【变式2】（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【答案】50 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 解：平分， ． ， ． ， ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 【答案】、、的度数分别为，， 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； ． 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 【例题5】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 解：证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是直角三角形，理由见分析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 解：（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【知识点二】三角形的外角 1、三角形外角定义：如图4，把的一边延长，得到.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 图4 2、三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 图5 如图5：、、是三个外角，则有：、、 【特别说明】三角形外角和等于。 【题型 6】利用三角形外角性质求值 【例题6】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 【答案】B 【分析】根据外角的性质，推出为定值，进行分析即可. 解：由题意，， ∴， ∴当减少时，∠2增大. 【变式2】（2026·重庆北碚·二模）如图，直线，若，，则的度数是_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． （1）若,，求的度数． （2）连接，若的周长为，，求四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关基础性质． （1）根据平移的性质“对应角相等”可得，，再根据三角形外角的性质，求解即可； （2）根据平移的性质“对应线段相等”可得，，将四边形的周长转化为，再根据题意，求解即可． 解：（1）解：由平移的性质可得，， ∵,， ∴，， ∴； （2）解：由平移的性质可得，， ∴四边形的周长． ∵的周长为16，， ∴， ∴四边形的周长． 【题型 7】利用三角形外角性质证明 【例题7】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． （1）若，求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见详解 【分析】本题考查了三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质是解决问题． （1）先整理得，根据三角形外角的性质得出，整理得，即可得出结论； （2）先根据三角形外角的性质得出，，再根据，即可得出结论． 解：（1）证明：∵， ∴ 是的外角， ， 即：， ∴ 即 （2）解：，， ． ， ， 又∵， ， 【变式1】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在上，交于点，点在上，与交于点．下列角中，与相等的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据两直线平行、同位角相等以及三角形外角的性质解答即可． 解：∵， ∴，即A选项符合题意； ∵与不平行， ∴，即选项B不符合题意； 由，即选项C错误； 与没有直接关系，即选项D错误． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 【答案】（或） 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 解：在中，是外角， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （或）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． 【拓展延伸】如图4，五角星五个“角”的和为________°． 【答案】【知识迁移】（1）见分析；（2）见分析；【拓展延伸】180 【分析】本题考查三角形内角和定理及外角性质的应用，作出恰当的辅助线是解题的关键． 知识迁移：（1）如图，延长交于，证明，，从而可得结论； （2）由，，即可推出结论； 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C，证明 ，，再利用三角形的内角和定理可得答案． 解：知识迁移： （1）证明：如图，延长交于， 是的一个外角， ∴， ． 是的一个外角， ∴， ． ，即． （2）∵，， ∴，即． 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C， 是的一个外角， ． 是的一个外角， ． ， ∵， ∴． 二.综合培优题型精析 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 【例题8】（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． （2）问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】（1）；（2）① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 解：（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·吉林白城·期中）将三角形纸片沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，再将边沿边折叠，此时刚好与完全重合，得到如图所示的图形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得到，结合平角的定义即可得到答案； 解：∵沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，边沿边折叠刚好与完全重合， ∴， ∵， ∴， 故选：B； 【点拨】本题考查折叠有关计算，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的角． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； （2）如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； （3）如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 解：（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 【题型 9】三角形内角和与直角三角形两锐角互余综合 【例题9】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图①，平分，，，． （1）求的度数； （2）如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； （3）如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的度数大小不变， 理由：∵平分， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先求出的度数，利用即可求出的度数； （2）先求出的度数，利用即可求出的度数； （3）利用平分，平分，求出即可得证． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 【变式1】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，于点于点，则图中与互余的角共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余. 解：∵ ∴ ∵ ∴ 故有3个角与互余的角. 【变式2】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，，平分交于点，，，分别是延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为________． 【答案】 【分析】先由邻补角求出，再由角平分线定义得出，结合，求出，最后在中，由三角形内角和定理求解即可． 解：如图所示： ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在中，． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知在中，，，垂足为，点在上，交于点，． （1）点到直线的距离是线段________的长度；如果，，那么与的面积的比值是_______． （2）求证：平分． 【答案】（1）；；（2）见分析 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案； （2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论． 解：（1）解：∵， ∴点B到直线的距离是线段的长度； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积的比值是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【题型 10】三角形内角和与外角性质综合 【例题10】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 【变式1】（2026·江西·模拟预测）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，已知，，，点在边上．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，，由三角形的外角性质得，可得，根据邻补角的定义可得的度数． 解：∴，，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的度数为_______°． 【答案】 【分析】连接，先得到四边形内角和等于，再由三角形的外角性质得到，然后代入求解即可． 解：连接， ∴ ∴ ∵ ∴ ， 即题干图中． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则 ；若，则 ； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） ；理由见分析；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 解：（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点M，D分别在上，过点D作，过点M作于点N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，确定，再由平行线的性质求解即可． 解：∵, ， ∴， ∴， ∵， ． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 5．（2026·甘肃白银·三模）物理实验中，物体A静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角的性质和平行线的性质，进行求解即可. 解：如图，由题意，， ∴， ∵摩擦力f的方向与斜面平行， ∴. 6．（2026·河南三门峡·三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出平行光线与主光轴的内角度数，再结合三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻两个内角之和，推导度数，平行于主光轴的入射光线和主光轴虚线互相平行． 解：光线平行于主光轴， ， ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，，是反射光线． 要使反射光线与地面平行，与应满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角相等，两直线平行，得时，，利用三角形内角和，求解即可； 解：根据同位角相等，两直线平行，当时，， 因为， 所以， 因为 所以 所以； 8．（2026·浙江杭州·一模）已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，与相交于点，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出结果． 解：如图，设与相交于点，与相交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点E， ∴，， ∴由可得：． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2021·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 解：， ， ， ， ， ． 10．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在边上的点处．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理得出，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，利用角的和差关系即可得出答案． 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【答案】75 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 解：∵是的外角，， ∴． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 16．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1）______； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）证明：是的平分线， ， 又， ， ； （2） 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 解：（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ． 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分交于点，于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线、三角形内角和与垂直的定义；先利用直角得到的度数，再依次得到、的度数，再根据角平分线得到的度数，最后利用三角形内角和求得结果． 解：，，， ， ， ． 平分， ， ． 19．（25-26七年级下·山东烟台·期中）探究平行线间角度关系 【问题情境】 （1）如图1，，，，则的度数为________； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B，D重合）时，与α，β之间有何数量关系？请说明理由； 【问题应用】 （3）在（2）的条件下，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），见分析；（3）或． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关基础知识，结合题意，作出合适的辅助线，并用分类讨论的思想求解． （1）过P作，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，求解即可； （2）过点P作，利用平行线的性质，求解即可； （3）分两种情况，当P在射线上时和当P在射线上时，利用平行线的性质和三角形外角的性质，求解即可． 解：（1）解：如图1，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： 当P在射线上时，交于G，如图3，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 当P在射线上时，交于H，如图4，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 （已知）， 同理可得 ． ∵ （                ）， （等式的性质） = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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