专题 13.2 与三角形有关的线段（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“与三角形有关的线段”核心知识点，系统梳理三角形三边关系（判断构成、第三边取值范围及应用），中线、角平分线、高（求线段长、面积、作图及计算），以及重心与规律探究，构建从基础到综合的学习支架。 资料以“知识梳理+题型精析+同步检测”为框架，例题与变式分层设计，同步检测涵盖选择、填空、解答题。通过机器人赛道、木材购买等实际情境题培养数学眼光，不同题型训练推理能力（数学思维），规范解答过程提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化、查漏补缺。

专题 13.2 与三角形有关的线段（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形三边关系 1 【题型 1】判断能否构成三角形 2 【题型 2】求三角形第三边取值范围 2 【题型 3】三角形三边关系的应用 3 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 4 【题型 4】根据三角形中线求线段长 4 【题型 5】根据三角形中线求面积 5 【题型 6】画三角形的高 6 【题型 7】与三角形角平分线与高线有关计算 7 二.综合培优题型精析 8 【知识点三】三角形的重心 8 【题型 8】利用三角形重心求值 8 【题型 9】三角形中线、高线、角平分线定义中的规律问题探究 10 三.同步检测 11 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 三边关系列表如下： 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【题型 1】判断能否构成三角形 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边的长是多少？为什么？ 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． （1）小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； （2）同学们一共可以组成_____________个三角形． 【题型 2】求三角形第三边取值范围 【例题2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 【变式1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长． 【题型 3】三角形三边关系的应用 【例题3】（23-24八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． （1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ （2）选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【变式2】（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 （1）我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； （2）【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； （3）【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线.如图，线段AE△ABCBC上的中线. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，线段AD是△ABC的一条角平分线. 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AF △ABC的BC边上的高. 【题型 4】根据三角形中线求线段长 【例题4】（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【变式1】（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【变式3】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ 【题型 5】根据三角形中线求面积 【例题5】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【变式1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 【变式3】（2024八年级·山东·竞赛）如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 【题型 6】画三角形的高 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图所示为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知，上述三条线段中，能够通过折纸折出的是_____________． 【变式3】（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： （1）作三角形的三条角平分线； （2）作三角形的三条高． 【题型 7】与三角形角平分线与高线有关计算 【例题7】（24-25七年级下·河南·阶段检测）如图，已知分别是的高和中线，．求： （1）的长； （2）的面积； （3）和的周长的差． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 二.综合培优题型精析 【知识点三】三角形的重心 分类 定义 示图 重心 三角形三条中线交于同一点，这一点叫作三角形的重心。 【题型 8】利用三角形重心求值 【例题8】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，，， （1）作在边上的中线； （2）在（1）的条件下，求的面积． （3）在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【变式1】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【变式2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【题型 9】三角形中线、高线、角平分线定义中的规律问题探究 【例题9】（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． （1）求出三角形各个顶点的坐标． （2）按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．若的面积为16，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则________．（结果用含a的代数式表示） 【变式3】（23-24八年级上·北京大兴·期中）已知：，…，，…，，…，⋯ （1）观察上面式子的规律，把这个规律用含字母a的式子表示是 ； （2）若（1）中的a是的一边长，且4，8是的另两边长， ①a的取值范围是 ； ②当是等腰三角形时，按上述规律对应的等式是 ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·内蒙古通辽·二模）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·广东惠州·期中）若、、为的三边长，且满足，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·三模）如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 8．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．（写出一个即可） 10．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，则_______． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 12．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________． 13．（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 14．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 15．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 16．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）已知的三边分别为．若满足． （1）___________，___________； （2）若为整数，求的周长． 18．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． （1）过点画边的垂线，交于点； （2）过点画的高； （3）线段______的长度是点到直线的距离． 19．（25-26七年级下·四川成都·期中）（1）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是的三边长，化简： 20．（24-25八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13.2 与三角形有关的线段（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形三边关系 1 【题型 1】判断能否构成三角形 2 【题型 2】求三角形第三边取值范围 4 【题型 3】三角形三边关系的应用 5 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 8 【题型 4】根据三角形中线求线段长 8 【题型 5】根据三角形中线求面积 11 【题型 6】画三角形的高 14 【题型 7】与三角形角平分线与高线有关计算 17 二.综合培优题型精析 20 【知识点三】三角形的重心 20 【题型 8】利用三角形重心求值 20 【题型 9】三角形中线、高线、角平分线定义中的规律问题探究 25 三.同步检测 29 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 29 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 33 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 38 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 三边关系列表如下： 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【题型 1】判断能否构成三角形 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边的长是多少？为什么？ 【答案】解：分两种情况讨论： 【分析】题目未明确等腰三角形的腰长和底边长，需要分情况讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到第三边的长度． 解：当腰长为时，三边长分别为 ， ，，第三边长为 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况． 当腰长为时，三边长分别为 ，，，第三边长为 因为，，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 因此，第三边的长为 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】或 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 解：， ∴，， ∴，， 当6为底边长时，腰长为4， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 当4为底边长时，腰长为6， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． （1）小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； （2）同学们一共可以组成_____________个三角形． 【答案】（1）或；（2）7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题的关键是： （1）分为腰和为腰两种情况讨论，先根据三角形三边关系验证三角形是否存在，然后根据三角形的周长公式求解即可； （2）根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，即可求解． 解：（1）解∶若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上，该三角形的周长为或； （2）解：设三角形的第三边长为， 根据题意，得， ∴， 又第三边长在内， ∴第三边的长为、、、、、、，共7条， ∴一共可以组成7个三角形， 故答案为：7． 【题型 2】求三角形第三边取值范围 【例题2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形 【分析】（1）先利用三角形三边关系确定的取值范围，再结合为小于的偶数的条件求出的值； （2）根据边长特征判断三角形形状． 解：（1）解：∵在中，三边长为，，，且，， ∴ ，即 ， ∵为小于的偶数， ∴，即的长为； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． 【变式2】（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________． 【答案】 解：设第三边的长为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得：， ． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长． 【答案】（1）等边三角形；（2）13或14或15． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 解：（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 【题型 3】三角形三边关系的应用 【例题3】（23-24八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． （1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ （2）选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】（1）5种选择；（2），理由见分析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 解：（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 解：设第三条边的长度为米， ∵三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 化简得：． ∵25不在的范围内， ∴第三条边的长度不可能是25米． 【变式2】（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 （1）我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； （2）【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； （3）【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】（1）①不一定；②；③大于；小于；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 解：（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线.如图，线段AE△ABCBC上的中线. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，线段AD是△ABC的一条角平分线. 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AF △ABC的BC边上的高. 【题型 4】根据三角形中线求线段长 【例题4】（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【答案】10 【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得，再分两种情况分别列出方程，求出解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可． 解：如图所示， ∵是边上的中线， ∴． 当时，即， 解得； 当时，即， 解得，则， ∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 所以腰长为10． 【变式1】（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 解：，， ， 是边上的中线， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 【变式3】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ 【答案】（1）5；（2）不能等于12，理由见分析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【题型 5】根据三角形中线求面积 【例题5】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【答案】18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 【答案】13 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 解：作， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为130，， ∴， 解得， 故中边上的高为13． 【变式3】（2024八年级·山东·竞赛）如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质． 先根据三角形中线的性质可得，进而得，同理可得，接下来说明，最后根据得出答案． 解：是的中点， . 又是的中点， 同理：． ∴ ， . ∵F是的中点， ． 【题型 6】画三角形的高 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【答案】解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图所示为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知，上述三条线段中，能够通过折纸折出的是_____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答即可． 解：①边上的中线：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故答案为：①②③． 【变式3】（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： （1）作三角形的三条角平分线； （2）作三角形的三条高． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 解：（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 【题型 7】与三角形角平分线与高线有关计算 【例题7】（24-25七年级下·河南·阶段检测）如图，已知分别是的高和中线，．求： （1）的长； （2）的面积； （3）和的周长的差． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 解：（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 解：是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中线定理及利用三角形面积求对应的高．根据三角形中线定理得出，再由三角形的面积及三角形的高求得的值，从而求得的值． 解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 二.综合培优题型精析 【知识点三】三角形的重心 分类 定义 示图 重心 三角形三条中线交于同一点，这一点叫作三角形的重心。 【题型 8】利用三角形重心求值 【例题8】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，，， （1）作在边上的中线； （2）在（1）的条件下，求的面积． （3）在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析， 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 解：（1）解：如图，即为所求， （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3）解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 【变式1】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【变式2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解． 解：∵和是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴，，故①正确； ∵和是的中线， ∴点是的重心，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵点是的重心， ∴过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【答案】（1），见分析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 解：（1）， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 【题型 9】三角形中线、高线、角平分线定义中的规律问题探究 【例题9】（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． （1）求出三角形各个顶点的坐标． （2）按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 【答案】（1）点O的坐标是，点的坐标是，点的坐标是；（2） 【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律； （1）先得到A的横坐标是，而纵坐标都是3，点的横坐标是，纵坐标是0即可作答； （2）根据三角形的面积公式计算解答即可． 解：（1）解：由图可知，点O的坐标是． 已知，从点，，…，的坐标中找规律，发现点的横坐标是，而纵坐标都是3． 同理，点也一样找规律，发现点的横坐标是，纵坐标是0． 由上述规律可知，点的坐标是，点的坐标是． （2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3． 由（1），得，所以． 又因为， 所以． 【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．若的面积为16，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线性质、图形类规律探究，根据三角形的中线平分该三角形的面积得到的面积变化规律即可求解． 解：根据题意，, ， ， 依次类推，， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则________．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·北京大兴·期中）已知：，…，，…，，…，⋯ （1）观察上面式子的规律，把这个规律用含字母a的式子表示是 ； （2）若（1）中的a是的一边长，且4，8是的另两边长， ①a的取值范围是 ； ②当是等腰三角形时，按上述规律对应的等式是 ． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）观察等式中分子分母的数字，找出规律； （2）①根据三角形的三边关系求解； ②根据等腰三角形的性质求出a的值，代入（1）中等式． 解：（1）解：观察上面式子的规律可得：， 故答案为：； （2）①∵4，8是的另两边长， ∴， 故答案为：； ②当是等腰三角形时，， ∴代入中得：， 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·内蒙古通辽·二模）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周长． 解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 ； 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 因此等腰三角形的周长为或． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 解：设第三条边的长度为米， ∵三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 化简得：． ∵25不在的范围内， ∴第三条边的长度不可能是25米． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 【答案】A 解：∵ 是 的中线， ∴ D是的中点，即点D平分， 可得， 是中线无法推出，因此A结论错误． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由图知：在中，边上的高是． 6．（25-26七年级下·广东惠州·期中）若、、为的三边长，且满足，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用非负数的性质求出a,b的值,再根据三角形三边关系得到c的取值范围,即可判断选项； 解：∵ , , 且 ∴ , ， 解得 , ∵ , , 是的三边长 ∴ 根据三角形三边关系得 即 , 整理得 选项中只有满足 故选 C； 7．（2026·河南周口·三模）如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点F，连接，由重心的性质得到，，然后得到，设，表示出，，进而即可． 解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．（写出一个即可） 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，再结合为奇数，即可得到符合条件的的值． 解：根据三角形三边关系可得 ∴ ． ∵为奇数，所以的值可以为，7． 10．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，则_______． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形求解即可． 解：是的中线，， ， 故答案为：3． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________． 【答案】12 解：由题意得， 是边上的中线， ． 13．（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】11或13 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 14．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 16．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）已知的三边分别为．若满足． （1）___________，___________； （2）若为整数，求的周长． 【答案】（1）4；1；（2） 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 18．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． （1）过点画边的垂线，交于点； （2）过点画的高； （3）线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 解：（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 19．（25-26七年级下·四川成都·期中）（1）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是的三边长，化简： 【答案】（1）22；（2） 【分析】（1）利用完全平方公式得出，．再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用求解即可． （2）根据三角形三边关系得出，，，即可得出，，．进而化简绝对值，进行整式的加减运算即可． 解：（1）， ， ∴， ∴且， 解得，． 当a为腰长时，三边为4，4，9， ∵，不满足三边关系，舍去． 当b为腰长时，三边为4，9，9， ∵，，满足三边关系，周长为． （2）∵a，b，c是的三边， ∴，，， 即，，． ∴，， ． ∴ ． 20．（24-25八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】[解决问题]任务1：；任务2：2；[拓展应用]12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． [解决问题]任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； [拓展应用]点是的重心，类比任务1，任务2可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 解：[解决问题]任务1：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； [拓展应用] 点是的重心，类比任务1，任务2可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $