专题 2.8 有理数的运算复习专题——有理数的混合运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理加减混合运算的优先与凑整策略，乘除及乘方运算的形式、符号与顺序统一方法，构建从基础运算到定义新运算的学习支架。 资料通过分层题型精析（含7类题型及变式）与同步检测，助力提升运算能力，定义新运算题型从模仿到运用，培养抽象能力与应用意识，课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺强化技能。

专题 2.8 有理数的运算复习专题——有理数的混合运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 1 【知识点一】有理数的加减混合运算 1 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 1 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 2 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 2 【知识点二】定义新运算 2 二.题型精析 2 【题型1】有理数加减混合运算 2 【题型2】有理数乘除混合运算 3 【题型3】有理数加减乘除混合运算 3 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 4 【题型5】模仿型新运算 5 【题型6】理解型新运算 5 【题型7】运用型新运算 6 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 8 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 8 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 9 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 【知识点一】有理数的加减混合运算 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 （1）优先策略:相反数优先、同分母优先、同号优先; （2）形式策略:分小互化、带分数拆项; （3）凑整策略:同号和凑整、异号差凑整 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 （1）形式统一：小数化为分数、带分数化为假分数; （2）运算统一：除变乘、取倒数; （3）符号统一：先定号（根据负因数的个数，结果的符号满足奇负偶正）再运算。 【要点提示】①小化分，统一数的形式；②减变如，统一运算形式；③去括号，统一省略形式，④同分母、倍分母优先合并。 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【要点提示】①乘方的就近原則：中与指数最近的是2，故底数为2；中与指教最近的是括号，故底数是-2。②负数幂的链号：负数的奇次幂为负，偶次幂为王，与积的符号判定方法相同，奇负偶正。 【知识点二】定义新运算 1. 模仿”新运算”：新运算题型中的低阶考法,只需要根据定义的运算法则,进行模仿和运算即可； 2. 理解“新运算”：新运算题型中的中阶考法,在理解新运算符号的同时,还需要总结并归纳新运算的本质含义； 3运用“新运算”：新运算题型中的高阶考法,在充分理解新运算符号的同时,还需要学会运用符号进行化简、变形或探究。 二.题型精析 【题型1】有理数加减混合运算 【例题1】（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（25-26七年级上·重庆开州·期中）计算： （1）； （2）． 【题型2】有理数乘除混合运算 【例题2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型3】有理数加减乘除混合运算 【例题3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式3】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 【例题4】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： （1） （2）． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【变式2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【题型5】模仿型新运算 【例题5】（24-25七年级上·山东日照·期末）对于任意有理数，，定义一种运算：，例如，；． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）对于任意有理数，，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含，的式子表示）． 【变式1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南·阶段检测）定义一种运算，设【x】表示不超过x的最大整数．例如：，，据此定义， __________． 【变式3】（23-24六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： （1）计算：； （2）若，，，求． 【题型6】理解型新运算 【例题6】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， （1），求的值； （2）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为________． 【变式3】（25-26六年级上·上海·阶段检测）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． （1）根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； （2）根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； （3）若，计算的值． 【题型7】运用型新运算 【例题7】（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． （2）计算：； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． （4）对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期中）对任意两个有理数，定义如下运算：．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数，如：，，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有______． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： （1）求的值； （2）对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； （3）请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，，，且，那么的值为（    ） A．7 B． C．9 D． （2） 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 5．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 6．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是___________． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． 9．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）新方向[新定义]对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算________； （2）若m是一个“互差数”，且，那么m的值是________． （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（25-26七年级上·河北·阶段检测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 13．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算： （1）； （2） （3） （4）． 14．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）中考新趋势·新定义 若，是有理数，定义一种运算“”：． （1）计算的值； （2）计算的值； （3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 15．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ； （1）请你补全定义内容：____________；（用含，的代数式表示） （2）先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立； （3）若，求的值． 16．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）计算 （1） （2） （3） （4） 17．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． （1）根据劳格数的定义，填空： ， ； （2）劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ① （为正数）， ②若，则 ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 有理数的运算复习专题——有理数的混合运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 1 【知识点一】有理数的加减混合运算 1 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 1 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 2 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 2 【知识点二】定义新运算 2 二.题型精析 1 【题型1】有理数加减混合运算 2 【题型2】有理数乘除混合运算 7 【题型3】有理数加减乘除混合运算 9 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 13 【题型5】模仿型新运算 17 【题型6】理解型新运算 19 【题型7】运用型新运算 21 三.同步检测 25 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 25 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 28 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 30 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 【知识点一】有理数的加减混合运算 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 （1）优先策略:相反数优先、同分母优先、同号优先; （2）形式策略:分小互化、带分数拆项; （3）凑整策略:同号和凑整、异号差凑整 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 （1）形式统一：小数化为分数、带分数化为假分数; （2）运算统一：除变乘、取倒数; （3）符号统一：先定号（根据负因数的个数，结果的符号满足奇负偶正）再运算。 【要点提示】①小化分，统一数的形式；②减变如，统一运算形式；③去括号，统一省略形式，④同分母、倍分母优先合并。 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【要点提示】①乘方的就近原則：中与指数最近的是2，故底数为2；中与指教最近的是括号，故底数是-2。②负数幂的链号：负数的奇次幂为负，偶次幂为王，与积的符号判定方法相同，奇负偶正。 【知识点二】定义新运算 1. 模仿”新运算”：新运算题型中的低阶考法,只需要根据定义的运算法则,进行模仿和运算即可； 2. 理解“新运算”：新运算题型中的中阶考法,在理解新运算符号的同时,还需要总结并归纳新运算的本质含义； 3运用“新运算”：新运算题型中的高阶考法,在充分理解新运算符号的同时,还需要学会运用符号进行化简、变形或探究。 二.题型精析 【题型1】有理数加减混合运算 【例题1】（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）10 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算顺序，运算法则和运算律是解题的关键． （1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）利用加法的交换律和结合律计算即可； （4）先化简括号和绝对值，再利用加法运算律计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算过程中可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把能凑成整数的两个数结合起来，进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律进行简便计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·重庆开州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （2）先把减法统一成加法，再利用加法的交换律和结合律计算． 解：（1） ； （2） 【题型2】有理数乘除混合运算 【例题2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）8；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． （1）解： ； （2）解： 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （4）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 解：（1）； （2）； （3）． 【题型3】有理数加减乘除混合运算 【例题3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）9；（2）0；（3）；（4）1 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解； （2）按照从左到右的顺序进行乘除运算； （3）先将带分数转换为假分数，然后利用乘法运算律求解； （4）首先将除法转换为乘法，然后利用乘法运算律求出的值，然后利用倒数的性质求出的值，进而求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 【例题4】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： （2）解： 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． （1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 【题型5】模仿型新运算 【例题5】（24-25七年级上·山东日照·期末）对于任意有理数，，定义一种运算：，例如，；． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）对于任意有理数，，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含，的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义列方程解决； （3）根据等式直接写出新定义即可． （1）解： （2）解：由题意，得， 解得． （3）解：例如，等，答案不唯一． 【变式1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．根据定义，先求，再计算 ． 解：表示不超过的最大整数，且， ． ． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·河南·阶段检测）定义一种运算，设【x】表示不超过x的最大整数．例如：，，据此定义， __________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法．根据取整函数的知识，可得，，再相加即可求解． 解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式3】（23-24六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： （1）计算：； （2）若，，，求． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【题型6】理解型新运算 【例题6】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， （1），求的值； （2）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】（1）5；（2）成立，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算出和的结果，看二者是否相等即可得到结论． （1）解：∵， ∴即为， 解得； （2）解：成立，探究如下： ， ， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 解：∵，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·阶段检测）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． （1）根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； （2）根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； （3）若，计算的值． 【答案】（1）1，3；（2）4；（3） 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1），，再根据新定义可得答案； （2）根据新定义可得，据此可得答案； （3）根据新定义可得，，再根据可得答案． （1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【题型7】运用型新运算 【例题7】（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． （2）计算：； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． （4）对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】（1）同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值；（2）9；（3）不适用，反例看解析；（4） 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． （1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期中）对任意两个有理数，定义如下运算：．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，理解新定义运算的运算方法是解题的关键．根据新定义运算逐项计算判断即可． 解：由， 可得：， 故正确； 由， 可得：， 当时，， 当时，， 故错误： ，， 故正确； 由, 可得： 简化得：， 当 且 时，如 ，，， ，， 但 ， 故 错误． 综上所述，正确结论为， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数，如：，，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 解：，故正确； ，故正确； 当时，，故错误； 当时，，故错误； ，，解得：，的值可以是，故正确． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： （1）求的值； （2）对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； （3）请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】（1）11；（2）7；（3）． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． （1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 解：选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 解：根据新运算规则， 可得 ． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，，，且，那么的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义、相反数的定义、倒数的定义、有理数的混合运算． 根据相反数和倒数的定义，得到，，根据绝对值和乘法运算法则，得到，再代入计算求值即可． 解：a、b互为相反数，c、d互为倒数， ，， ，，且， ，或，， ， ． 故选：D． （2） 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 5．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 【答案】6 【分析】根据程序规则，将输入的数乘，判断结果符号，若结果为负则重新计算，若结果为正则输出，按照有理数乘法法则计算即可． 解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． 6．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题目中的新定义是解题的关键.根据所给的运算规则，将代入进行计算. 解： 故答案为：. 8．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序． 根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 解： ． 9．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）新方向[新定义]对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算________； （2）若m是一个“互差数”，且，那么m的值是________． 【答案】 3 630或731或832 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）根据的定义直接计算； （2）设m的百位、十位、个位数字分别为a、b、c，根据互差数的定义和，得到，，再结合数字互不相等，求解m的值． 解：（1）； （2）设m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c． ∵m是互差数， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． ∵a为1至9的数字，b、c均为0至9的数字，且互不相等． 可能情况：，；，；，；，（但与相等，舍去）． ∴或731或832． 故答案为：630或731或832． （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（25-26七年级上·河北·阶段检测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）4.55；（4） （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序，运算法则，运算律． （1）先将小数化为分数，再将分母相同的利用加法结合律进行计算即可； （2）先将小数化为分数，再将除法变成乘法计算即可； （3）逆用乘法分配律对原式进行变形计算即可； （4）先算乘方，再算乘除以及括号里面的，最后计算加减即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】先用括号内两项分别乘，消去分母简化计算，最后算加法； 先算除法，再依次算小括号、中括号；百分数，最后从左到右算加减； 先统一数的形式：带分数、小数全部化成分数，从内到外逐层算括号，再依次计算乘除； 先算小括号内除法，再算小括号减法，然后算中括号加法，再算乘法，最后算减法； 先化简第一项算式，再统一提取公因数，逆用乘法分配律简便计算； 拆分个模块分步计算：带分数化简、中括号乘法、凑整简便运算、小数分数统一后乘法分配律计算，最后全部合并求和． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： ． 13．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算： （1）； （2） （3） （4）． 【答案】（1）4；（2）0；（3）7；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）中考新趋势·新定义 若，是有理数，定义一种运算“”：． （1）计算的值； （2）计算的值； （3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】（1）；（2） （3）解：∵，， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则，先计算括号里的计算即可； （3）按照交换律的性质，计算判断即可． 本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加减混合，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． （3）略 15．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ； （1）请你补全定义内容：____________；（用含，的代数式表示） （2）先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2），，不满足交换律；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：； （2）当根据（1）中总结的规律进行验证； （3）将其代入（1）中所总结的规律，利用方程解答． 解：（1）根据题意知：； 故答案为：； （2）不成立，理由如下： ∵，， ∴不满足交换律， 故不成立； （3）由得： 解得． 16．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）26；（2）；（3）；（4）2 【分析】（1）按照有理数四则混合运算法则计算即可． （2） 根据分配律，四则混合运算法则计算即可． （3）按照有理数的加减混合运算法则计算即可． （4）变除法运算为乘法运算计算即可． （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点拨】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的运算律，乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． （1）根据劳格数的定义，填空： ， ； （2）劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ① （为正数）， ②若，则 ， ． 【答案】（1）2，；（2）①，②， 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算及题中所给新定义是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）①根据题中所给公式可进行求解；②由题意易得，然后代值进行求解即可． （1）解：依题意，得，， ，； 故答案为：2，； （2）解：①， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $