专题 2.5 乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从乘方定义（明确底数、指数、幂的概念）出发，梳理符号法则（正数、负数、0的乘方规律）和混合运算顺序，通过基础题型（概念辨析、基础运算）到综合提升（规律探究、应用）搭建学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过 -3² 与 (-3)² 等概念辨析培养推理意识，综合提升中的乘方数列规律题（如2ⁿ末位数字探究）发展抽象能力和创新意识，应用题型（二进制转换、结绳记数）强化模型意识。课中助力教师分层教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺。

专题 2.3 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】乘方的定义 2 【知识点二】乘方符号法则 2 【知识点三】有理数混合运算顺序（含乘方） 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】辨析底数、指数、幂的意义 3 【题型2】基础乘方运算 3 【题型3】含乘方的基础混合运算 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型4】乘方数列规律探究 4 【题型5】乘方概念正误辨析 5 【题型6】乘方的应用 5 【题型7】含乘方的有理数混合运算 6 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 19．（本小题满分8分） 9 20．（本小题满分8分） 9 21．（本小题满分10分） 9 22．（本小题满分10分） 9 23．（本小题满分10分） 9 24．（本小题满分12分） 10 一.学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，准确区分乘方中的底数、指数、幂三个概念。 2. 熟练掌握正数、负数、0的乘方符号法则，精准辨析易错题型：与的区别。 3. 能够独立完成整数、分数、负数的基础乘方运算。 4. 熟记有理数五级运算顺序，熟练掌握含乘方的四则混合运算，规范解题步骤。 5. 掌握乘方数列规律题型，能归纳通项公式，解决基础规律探究问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 公式： 在中：是底数，是指数；读作：a的n次方（或a的n次幂）。 补充说明：单独一个数可以看作本身的1次方，指数1通常省略不写，即。 【高频易错重难点辨析】 1. ：底数是，表示n个相乘，负号参与乘方运算； 2. ：底数是，表示的相反数，负号不参与乘方运算。 举例：，，二者完全不同，是考试必考易错点。 【知识点二】乘方符号法则 1. 正数的任何正整数次幂，都是正数； 2. 负数的奇次幂为负，偶次幂为正（口诀：奇负偶正）； 3. 0的任何正整数次幂都是0。 【知识点三】有理数混合运算顺序（含乘方） 1. 先算乘方（最高优先级），再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（乘除、加减），从左到右依次计算； 3. 有括号时，先算括号内，运算顺序：小括号→中括号→大括号。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】辨析底数、指数、幂的意义 【例题1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）中底数是________，指数是________． 【变式3】（23-24六年级下·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． （1） （2） （3） 【题型2】基础乘方运算 【例题2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）计算： ______． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3】含乘方的基础混合运算 【例题3】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列4个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）_____ ． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】乘方数列规律探究 【例题4】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索研究 （1）填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． （2）观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，．．．．用你所发现的规律得出的末位数字是（      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【变式3】（23-24七年级上·陕西延安·期中）观察算式： ； ； ； ； … （1）（______）； （2）利用你发现的规律计算：． 【题型5】乘方概念正误辨析 【例题5】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【变式2】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）下列各式正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】乘方的应用 【例题6】（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 【变式1】（2025八年级上·云南保山·竞赛）一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【变式2】（25-26七年级上·广东潮州·期末）我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是__________天． 【变式3】（25-26七年级上·北京·阶段检测）现有两种给钱方式：一种方法是每天给你一元；第二种方式是第一天给你1分钱，第二天给你2分，第三天给你4分，第四天给你8分，第五天给你16分，以此类推到第10天，如果以这10天计算，哪种方案得到的钱多呢？请通过计算作出判断． 【题型7】含乘方的有理数混合运算 【例题7】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【变式2】（2024七年级上·江西赣州·竞赛）定义运算，则_______． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1） （2） （3） 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 3．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 4．（24-25六年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 9．（24-25六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 12．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）的底数是________，读作________． 13．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 14．（26-27七年级上·北京·课后作业）如果n是正整数，则_____ ． 15．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 16．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）一列数，a，，，，…按此规律排列下去，则第n个数是_________________． 17．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）定义一种新运算：，则______． 18．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏淮安·期末）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（26-27七年级上·江苏无锡·开学考试）计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·全国·单元测试）以下是一个简单的数值运算程序： 小明认为当输入的为正数时，输出的值为负数；输入的为负数时，输出的值仍为负数．你同意小明的观点吗？请你说明理由． 23．（本小题满分10分）（2024七年级上·江西赣州·竞赛）计算 （1）； （2）． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】乘方的定义 2 【知识点二】乘方符号法则 2 【知识点三】有理数混合运算顺序（含乘方） 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】辨析底数、指数、幂的意义 3 【题型2】基础乘方运算 5 【题型3】含乘方的基础混合运算 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型4】乘方数列规律探究 8 【题型5】乘方概念正误辨析 10 【题型6】乘方的应用 11 【题型7】含乘方的有理数混合运算 14 五.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 21 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 23 19．（本小题满分8分） 23 20．（本小题满分8分） 24 21．（本小题满分10分） 24 22．（本小题满分10分） 25 23．（本小题满分10分） 26 24．（本小题满分12分） 26 一.学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，准确区分乘方中的底数、指数、幂三个概念。 2. 熟练掌握正数、负数、0的乘方符号法则，精准辨析易错题型：与的区别。 3. 能够独立完成整数、分数、负数的基础乘方运算。 4. 熟记有理数五级运算顺序，熟练掌握含乘方的四则混合运算，规范解题步骤。 5. 掌握乘方数列规律题型，能归纳通项公式，解决基础规律探究问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 公式： 在中：是底数，是指数；读作：a的n次方（或a的n次幂）。 补充说明：单独一个数可以看作本身的1次方，指数1通常省略不写，即。 【高频易错重难点辨析】 1. ：底数是，表示n个相乘，负号参与乘方运算； 2. ：底数是，表示的相反数，负号不参与乘方运算。 举例：，，二者完全不同，是考试必考易错点。 【知识点二】乘方符号法则 1. 正数的任何正整数次幂，都是正数； 2. 负数的奇次幂为负，偶次幂为正（口诀：奇负偶正）； 3. 0的任何正整数次幂都是0。 【知识点三】有理数混合运算顺序（含乘方） 1. 先算乘方（最高优先级），再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（乘除、加减），从左到右依次计算； 3. 有括号时，先算括号内，运算顺序：小括号→中括号→大括号。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】辨析底数、指数、幂的意义 【例题1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数；（2），底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数；（3），底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【答案】B 【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即表示个相乘，据此逐一判断选项即可． 解：∵乘方中，是底数，是指数，表示个相乘， ∴对于，底数是2，指数是3，它表示3个2相乘，即， ∴选项A、C、D均错误，选项B正确． 故选：B． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）中底数是________，指数是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，明确底数和指数的概念是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，在乘方形式 中， 叫做底数， 叫做指数即可得出． 解： 中底数是 ，指数是 4． 故答案为 ，． 【变式3】（23-24六年级下·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． （1） （2） （3） 【答案】（1）底数是，指数是3；（2）底数是，指数是4；（3）底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． （1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 【题型2】基础乘方运算 【例题2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）计算： ______． 【答案】4 【分析】先算乘方，再算加减即可解答． 解： ． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 【题型3】含乘方的基础混合运算 【例题3】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列4个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．计算每个选项的值并比较大小，即可作出判断． 解：A．， B．， C．， D．， ∵． ∴计算结果最大的是． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）_____ ． 【答案】2 【分析】先依据有理数的乘方运算法则计算乘方项，再依据有理数的减法运算法则进行后续运算． 解：． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）3 【分析】（1）根据含有乘方的混合运算求解即可； （2）化除法为乘法，然后应用分配律，最后加减计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】乘方数列规律探究 【例题4】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索研究 （1）填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． （2）观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】（1）①，②1.331，1331000；（2）移动规律：①当底数的小数点每向左（右）移动一位时，它的平方的小数点向左（右）移动两位②当底数的小数点每向左（右）移动一位时，它的立方的小数点向左（右）移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． （1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左（右）移动一位时，它的平方的小数点向左（右）移动两位，②当底数的小数点每向左（右）移动一位时，它的立方的小数点向左（右）移动三位． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，．．．．用你所发现的规律得出的末位数字是（      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意找出末位数字的变化规律是解答此题的关键． 观察可知，末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把除以4，正好余1，所以的末位数字与的末位数字相同，为2． 解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6， ∵ ∴的末位数字与的末位数字相同，为2， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 【变式3】（23-24七年级上·陕西延安·期中）观察算式： ； ； ； ； … （1）（______）； （2）利用你发现的规律计算：． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据式子的规律即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解． （1）解： 故答案为：； （2）解：原式 ． 【题型5】乘方概念正误辨析 【例题5】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算. 根据运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，逐一计算后判断即可. 解： A.，A错误； B.，B错误； C.，正确； D.，D错误； 故选：C. 【变式1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）下列各式正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算、绝对值和相反数的定义．熟悉有理数的乘方运算规则，理解绝对值和相反数的定义，是解题的关键．通过计算每个选项的左右两边值，判断是否相等即可． 解：、∵，，∴，选项错误； 、∵，，∴，选项错误； 、∵，，∴，选项正确； 、∵，∴，选项错误． 故选：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，当n为偶数时，要注意与运算的区别．根据有理数的乘方运算法则直接计算即可判断正确答案． 解：A、，，则，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，，则，故此选项不符合题意； D、，，则，故此选项不符合题意； 故选：A． 【题型6】乘方的应用 【例题6】（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 【答案】（1）53；（2）25；（3）1838． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，二进制数写成十进制数， 对于（1），将二进制数写成，再计算得出答案； 对于（2），仿照（1）解答； 对于（3），根据二进制写成十进制数的方法可得，再计算即可． 解：（1）； （2）； 故答案为：25； （3）根据题意，得． 【变式1】（2025八年级上·云南保山·竞赛）一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 【变式2】（25-26七年级上·广东潮州·期末）我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是__________天． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的混合运算，掌握进制之间的转换计算是解题的关键． 根据七进制的转换计算，对图中数据进行计算即可． 解：天， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·北京·阶段检测）现有两种给钱方式：一种方法是每天给你一元；第二种方式是第一天给你1分钱，第二天给你2分，第三天给你4分，第四天给你8分，第五天给你16分，以此类推到第10天，如果以这10天计算，哪种方案得到的钱多呢？请通过计算作出判断． 【答案】第二种方案得到的钱多，判断过程见分析 【分析】本题考查了有理数的运算、2的幂次规律应用及单位换算（分与元的换算）；解题的关键是将第二种方式每天的金额用2的幂次表示以凸显规律，再通过设“和为”、给乘2后两式相减，快速消去中间项求出总和，避免繁琐计算． 先计算第一种方式总金额：每天1元，10天总金额为1×10元；再分析第二种方式的幂次规律：第天金额为分（第1天分，第2天分……第10天分），设10天总金额为并写成2的幂次和形式，给乘2得2S，两式相减求（分），换算成元后比较两种方式总金额． 解：第一种给钱方式总金额： 每天给1元，10天总金额为：（元） 第二种给钱方式总金额： 根据题意，第天（）的金额为 分，故10天总金额（单位：分）为： ① ①式两边同乘2，得：② 用②式减①式，消去中间相同的幂次项： 即， 因，， 故：（分） 换算成元：1023分元 ∵元元， ∴第二种方案得到的钱多． 答：第二种方案得到的钱多． 【题型7】含乘方的有理数混合运算 【例题7】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． （1）解： （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·江西赣州·竞赛）定义运算，则_______． 【答案】 解：根据定义 ． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）6 （2） （3） （1）解： （2）解： （3）解： 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：根据有理数幂的意义得：． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 4．（24-25六年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据按键顺序写出算式，求解即可． 解：根据题意，得． 5．（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 6．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性判断各选项式子的取值范围，即可选出结果一定为正数的选项． 解：∵对任意有理数，都有，， A选项，当时，，0不是正数，A选项不符合题意； B选项，当时，，0不是正数，B选项不符合题意； C选项，∵，∴，无论取任何有理数，结果都是正数，C选项符合题意； D选项，当时，，结果为负数，D选项不符合题意． 8．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 9．（24-25六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 10．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 解：． 12．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 13．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据“数值转换机”得到，然后求出，再根据乘方的逆运算求解． 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（26-27七年级上·北京·课后作业）如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 解： ． 15．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 【答案】14 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 解： ． 16．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）一列数，a，，，，…按此规律排列下去，则第n个数是_________________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，寻数列规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键方法． 通过观察，发现这一列数的系数是正负间隔出现，单数为正，双数为负，系数的绝对值等于该项字母的次数，系数的绝对值和字母的次数都是这个单项式的次序，依此求解即可． 解：根据数值的变化规律可得： 第1个数a的指数为1，系数为， 第2个数a的指数为2，系数为， 第3个数a的指数为3，系数为， 第4个数a的指数为4，系数为， …， 所以这列数中的第n个数a的指数为n，系数为， 所以这列数中的第n个数为． 故答案为：． 17．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）定义一种新运算：，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； 根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算即可． 解：由新运算定义 ， 得， ∴， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 解： （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：； （2）解：． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏淮安·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照有理数运算顺序，先计算乘方，再计算加减； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算过程． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（26-27七年级上·江苏无锡·开学考试）计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【答案】（1）5；（2）2；（3）45；（4）4 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·全国·单元测试）以下是一个简单的数值运算程序： 小明认为当输入的为正数时，输出的值为负数；输入的为负数时，输出的值仍为负数．你同意小明的观点吗？请你说明理由． 【答案】同意他的观点．理由见分析． 【分析】根据题意进行运算，得到输出结果为，再根据平方具有非负性合理分析即可． 解：同意他的观点．理由如下： 当输入时，输出为． 因为，所以．当时，输出为． 故同意小明的观点． 【点拨】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（2024七年级上·江西赣州·竞赛）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：原式． （2）解：原式的倒数为：， ∴原式． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1 （1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $