第11课时 动态平衡　临界、极值问题 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦动态平衡及临界、极值问题核心考点，按图解法、解析法、相似三角形法、矢量圆法等方法体系梳理知识，构建“方法原理-适用条件-解题步骤”内在逻辑，通过考点梳理、方法指导、15道典型例题训练，帮助学生突破共点力平衡综合应用难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如用矢量圆法分析两力夹角不变的动态平衡时，引导学生绘制力矢量圆模型，培养科学推理能力。设计从基础静态平衡到复杂动态变化的分层例题，配合即时方法归纳，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

动态平衡　临界、极值问题 一、动态平衡问题 1.图解法 用图解法分析物体动态平衡问题时,一般是物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化。 2.解析法 对研究对象进行受力分析,画出受力示意图,根据物体的平衡条件列方程,得到因变量与自变量的函数表达式(通常要用到三角函数),最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 3.相似三角形法 物体受三个力平衡:一个力恒定,另外两个力的方向同时变化,当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时,常利用相似三角形法。 4.矢量圆法(正弦定理法) (1)矢量圆:如图所示,物体受三个共点力作用而平衡,其中一力恒定,另外两力方向一直变化,但两力的夹角不变,作出不同状态的矢量三角形,利用两力夹角不变,可以作出矢量圆,恒力为圆的一条弦,根据不同位置判断各力的大小变化。 (2)正弦定理:如图所示,物体受三个共点力作用而处于平衡状态,则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比,即。 二、平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类: (1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧,拉力F=0。 (3)刚好离开接触面,支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小。 (2)数学分析法:通过对问题的分析,根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。 例题： 1．灯笼是中国传统节庆的重要象征，每逢农历新年，家家户户都会挂起红彤彤的灯笼，营造出喜庆祥和的节日氛围。如图所示，一个直角支架固定于竖直平面内。一根长度为2.5m的轻质细绳两端分别固定在支架上的A、B两点，已知A、B两点高度相同，且间距为。将一质量为1.2的灯笼用光滑的挂钩悬挂在细绳上，不计空气阻力对灯笼的影响，已知重力加速度为，关于该系统的平衡状态，下列说法正确的是（     ） A．轻质细绳上的张力大小为10N B．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力变小 C．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力不变 D．若将细绳的端点从B移到D，细绳的弹力变小 2．手机放置在角度可以调节的倾斜支架上，在缓慢增大倾角的过程中（     ） A．手机滑动之前，手机受到的摩擦力不变 B．手机滑动之前，支架对手机的作用力逐渐增大 C．手机滑动之后，手机受到的支持力逐渐增大 D．手机滑动之后，手机受到的摩擦力逐渐减小 3．如图所示，一根不可伸长的轻质细绳系着一个质量为的小球，细绳上端固定在横梁上，给小球施加一个拉力，与竖直方向夹角为。小球平衡后细绳与竖直方向夹角为。现绕小球逆时针缓慢旋转到虚线位置，小球在图中位置始终保持静止，重力加速度为。则下列说法正确的是（     ） A．拉力一直减小 B．拉力的最小值为 C．轻质细绳的拉力的最小值为 D．轻质细绳的拉力不变 4．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β=30°，如图所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至虚线位置，则下列说法正确的是（     ） A．OA中的张力先减小后增大 B．OB中的张力先增大后减小 C．OA中的张力不断减小 D．OB中的张力先减少后增大 5．沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，O为其圆心，，质量为m的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，A、O、C三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为g。在材料绕轴线逆时针缓慢转过90°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面OA对木棒的弹力一直增大 B．槽面OB对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面OA对木棒的弹力的最大值为 D．槽面OA与槽面OB对木棒弹力的合力先减小后增大 6．如图所示，不可伸长的轻绳两端分别固定在圆环上的两点，重物系在轻绳的中点处，稳定时点处于圆环中心，绳水平，绳与夹角。圆环绕点在竖直平面内缓慢转过始终保持静止状态.则在旋转过程中（    ） A．段轻绳的张力逐渐增大 B．段轻绳的张力先增大后减小 C．段轻绳的张力逐渐增大 D．段轻绳的张力先减小后增大 7．某攀岩运动员到达山顶后采用如下方式下山，绳的一端固定在山顶，另一端拴在运动员的腰间，点是缓冲的下降器位置，点是山顶的固定点，点是人重心位置简化图所示。沿岩壁缓慢下滑。在下移过程中可以把运动员看作一个质点。某时刻绳与岩壁成，绳与竖直方向也成（图中实线），则下列说法正确的是（     ） A．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力比运动员重力大 B．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力远比运动员的重力大 C．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力增大 D．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力不变 8．如图所示，一轻绳绕过定滑轮C（半径可忽略）一端连接小球A（可视为质点），另一端连接物体B。物体B放在粗糙水平地面上，受到水平向右的作用力的作用，使得小球A沿光滑固定半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮C在半球面球心的正上方，已知OC的长度为，半球面的半径为。小球A向上移动到的过程中，下列说法正确的是（   ） A．轻绳的张力大小增大，地面对物体B的摩擦力大小增大 B．半球面对小球的支持力大小不变，地面对物体B的摩擦力大小增大 C．轻绳的张力大小减小，地面对物体B的摩擦力大小减小 D．半球面对小球的支持力大小增大，地面对物体B的摩擦力大小减小 9．如图所示，小物块a的质量，通过细绳绕过光滑定滑轮与水平桌面上的小物块b连接，已知小物块b的质量，取重力加速度大小，细绳倾角，小物块b静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则与桌面动摩擦因数的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，物块B放在水平地面上，物块A在与水平面夹角为α的外力F作用下紧靠在物块B上，物块B恰能保持静止，则下列说法正确的是（　　） A．若A、B接触面光滑，略微减小F的大小，同时减小夹角α的大小，物块A仍能保持静止 B．若A、B接触面光滑，略微增大F的大小，同时减小夹角α的大小，物块A仍可能保持静止 C．若A、B接触面粗糙，仅略微增大F的大小，物块A仍可能保持静止 D．若A、B接触面粗糙，仅略微减小F的大小，物块A仍可能保持静止 11．如图所示，在水平桌面上叠放着质量均为m的木板A、B以及木块C，初始时刻木板与木块均处于静止状态，A、B、C之间以及B与地面之间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g．现将水平轻绳一端固定在A上，另一端绕过光滑滑轮系一质量为M的物块D，则以下判断正确的是 A．当时，木板B开始滑动 B．不管M多大，木板B一定保持静止 C．A、C之间的摩擦力大小一定等于 D．B受到地面的摩擦力大小不可能等于Mg 12．如图所示，质量均为M的a、b两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为，两轻杆长度均为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物c，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．轻杆上弹力大小为 B．地面对滑块a的摩擦力大小为 C．滑块a受到地面的支持力大小为 D．为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为 13．如图所示，倾角θ＝30°的斜面体A固定在水平地面上，一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮，绳两端系有质量为2.5m和m的小物块a、b，整个装置处于静止状态。现给物块b施加一个水平向右的力F，使其缓慢运动到绳与竖直方向成60°角的位置。整个过程中小物块a一直保持不动（　　） A．力F先增大后减小 B．小物块a与斜面之间的动摩擦因数最小值为 C．绳上张力先增大后减小 D．小物块a受到的摩擦力先增大再减小 14．一质量为的物块恰好能沿倾角为的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力，与水平方向的夹角为，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左 B．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零 C．若，物块将不能沿斜面匀速下滑 D．若推着物块沿斜面匀速上滑，则的最小值大于 15．物体A放置在倾角的斜面上，绳子跨过两个光滑轻质滑轮后一端系在A上，另一端系在竖直墙壁上，动滑轮下面悬挂一物体B，物体B质量为物体A质量的，系在竖直墙壁上的绳子与竖直方向夹角时，物体A刚好不下滑。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体A与斜面之间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 动态平衡　临界、极值问题 一、动态平衡问题 1.图解法 用图解法分析物体动态平衡问题时,一般是物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化。 2.解析法 对研究对象进行受力分析,画出受力示意图,根据物体的平衡条件列方程,得到因变量与自变量的函数表达式(通常要用到三角函数),最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 3.相似三角形法 物体受三个力平衡:一个力恒定,另外两个力的方向同时变化,当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时,常利用相似三角形法。 4.矢量圆法(正弦定理法) (1)矢量圆:如图所示,物体受三个共点力作用而平衡,其中一力恒定,另外两力方向一直变化,但两力的夹角不变,作出不同状态的矢量三角形,利用两力夹角不变,可以作出矢量圆,恒力为圆的一条弦,根据不同位置判断各力的大小变化。 (2)正弦定理:如图所示,物体受三个共点力作用而处于平衡状态,则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比,即。 二、平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类: (1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧,拉力F=0。 (3)刚好离开接触面,支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小。 (2)数学分析法:通过对问题的分析,根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。 例题： 1．灯笼是中国传统节庆的重要象征，每逢农历新年，家家户户都会挂起红彤彤的灯笼，营造出喜庆祥和的节日氛围。如图所示，一个直角支架固定于竖直平面内。一根长度为2.5m的轻质细绳两端分别固定在支架上的A、B两点，已知A、B两点高度相同，且间距为。将一质量为1.2的灯笼用光滑的挂钩悬挂在细绳上，不计空气阻力对灯笼的影响，已知重力加速度为，关于该系统的平衡状态，下列说法正确的是（     ） A．轻质细绳上的张力大小为10N B．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力变小 C．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力不变 D．若将细绳的端点从B移到D，细绳的弹力变小 【答案】C 【详解】A．设细绳与水平方向夹角为，由几何关系知 解得， 设绳拉力为T，对灯笼由平衡条件得 代入数据解得，故A错误； BC．挂钩光滑，细绳两端张力大小相等，两侧细绳与水平方向夹角相等。将细绳端点从B移到C，两悬点间水平距离不变，绳长不变，由 知不变，则张力不变，故B错误，C正确； D．将细绳端点从B移到D，两悬点间水平距离增大，由 知增大，减小，减小，则张力增大，故D错误。 故选C。 2．手机放置在角度可以调节的倾斜支架上，在缓慢增大倾角的过程中（     ） A．手机滑动之前，手机受到的摩擦力不变 B．手机滑动之前，支架对手机的作用力逐渐增大 C．手机滑动之后，手机受到的支持力逐渐增大 D．手机滑动之后，手机受到的摩擦力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．手机滑动之前，在沿斜面方向，根据平衡条件可得 则在缓慢增大倾角的过程中，手机受到的摩擦力增大，故A错误； B．手机滑动之前，根据平衡条件可知，支架对手机的作用力始终与重力平衡，等大反向，保持不变，故B错误； C．手机滑动之后，在垂直斜面方向，根据平衡条件可知 则在缓慢增大倾角的过程中，手机受到的支持力逐渐减小，故C错误； D．手机滑动之后，手机受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为 由C选项分析可知，逐渐减小，则手机受到的摩擦力逐渐减小，故D正确。 故选D。 3．如图所示，一根不可伸长的轻质细绳系着一个质量为的小球，细绳上端固定在横梁上，给小球施加一个拉力，与竖直方向夹角为。小球平衡后细绳与竖直方向夹角为。现绕小球逆时针缓慢旋转到虚线位置，小球在图中位置始终保持静止，重力加速度为。则下列说法正确的是（     ） A．拉力一直减小 B．拉力的最小值为 C．轻质细绳的拉力的最小值为 D．轻质细绳的拉力不变 【答案】B 【详解】AD．小球受到重力、拉力和轻质细绳的拉力，由于小球受力平衡，将这三个力进行适当平移一定可以构成一个首尾相接的矢量三角形，画出各力变化的动态图，如图所示 由图可知，现绕小球逆时针缓慢旋转到虚线位置的过程，拉力先变小再变大，轻质细绳的拉力一直变小，故AD错误； B．当拉力与细绳垂直时，拉力最小值为 解得，故B正确； C．当拉力旋转到虚线位置时，轻质细绳的拉力最小，此时拉力与竖直方向夹角也为，则轻质细绳的拉力最小值为 解得，故C错误。 故选B。 4．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β=30°，如图所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至虚线位置，则下列说法正确的是（     ） A．OA中的张力先减小后增大 B．OB中的张力先增大后减小 C．OA中的张力不断减小 D．OB中的张力先减少后增大 【答案】D 【详解】画出闭合矢量三角形如图所示 当时，有最小值，因此先减小后增大。随着转动，的大小不断增大。 故选D。 5．沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，O为其圆心，，质量为m的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，A、O、C三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为g。在材料绕轴线逆时针缓慢转过90°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面OA对木棒的弹力一直增大 B．槽面OB对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面OA对木棒的弹力的最大值为 D．槽面OA与槽面OB对木棒弹力的合力先减小后增大 【答案】C 【详解】ABC．在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，对均匀圆柱形木棒受力分析，由力的平衡条件可知，重力、槽面对木棒的弹力和槽面对木棒的弹力构成封闭的三角形，即三力的合力是零，如图所示 在转动中两弹力、的夹角不变，可知当由题图示位置逆时针缓慢转过时，槽面对木棒的弹力有最大值，最大值为 由解析图可知，槽面对木棒的弹力一直增大；槽面对木棒的弹力先增大后减小，故AB错误，C正确； D．由力平衡条件可知，槽面与槽面对木棒弹力的合力大小始终等于木棒的重力，合力大小不变，故D错误。 故选C。 6．如图所示，不可伸长的轻绳两端分别固定在圆环上的两点，重物系在轻绳的中点处，稳定时点处于圆环中心，绳水平，绳与夹角。圆环绕点在竖直平面内缓慢转过始终保持静止状态.则在旋转过程中（    ） A．段轻绳的张力逐渐增大 B．段轻绳的张力先增大后减小 C．段轻绳的张力逐渐增大 D．段轻绳的张力先减小后增大 【答案】B 【详解】结点O受三个力作用处于平衡状态，三个力可构成一个三角形，如图所示 圆环绕O点在竖直平面内缓慢转动过程中，OA、OB夹角不变，图中、的交点A沿圆周移动，从图中可看出，一直在减小，先增大后减小。 故选B。 7．某攀岩运动员到达山顶后采用如下方式下山，绳的一端固定在山顶，另一端拴在运动员的腰间，点是缓冲的下降器位置，点是山顶的固定点，点是人重心位置简化图所示。沿岩壁缓慢下滑。在下移过程中可以把运动员看作一个质点。某时刻绳与岩壁成，绳与竖直方向也成（图中实线），则下列说法正确的是（     ） A．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力比运动员重力大 B．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力远比运动员的重力大 C．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力增大 D．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力不变 【答案】C 【详解】AB．运动员缓慢下滑，处于平衡状态，受三个力：重力（竖直向下）、绳子的拉力（沿向左上）、轻杆的作用力（沿向右上，轻杆铰链作用力沿杆）。 已知绳和岩壁、杆和岩壁的夹角均为，根据平衡条件： 水平方向： 解得 竖直方向： 代入得，故A错误，B错误； CD．设、在岩壁上的距离（定值），对任意位置，结合三角形相似可得： 运动员重心下降到虚线位置的过程中，绳子的长度逐渐增大，和不变，因此绳子拉力逐渐增大，故C正确，D错误。 故选C 。 8．如图所示，一轻绳绕过定滑轮C（半径可忽略）一端连接小球A（可视为质点），另一端连接物体B。物体B放在粗糙水平地面上，受到水平向右的作用力的作用，使得小球A沿光滑固定半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮C在半球面球心的正上方，已知OC的长度为，半球面的半径为。小球A向上移动到的过程中，下列说法正确的是（   ） A．轻绳的张力大小增大，地面对物体B的摩擦力大小增大 B．半球面对小球的支持力大小不变，地面对物体B的摩擦力大小增大 C．轻绳的张力大小减小，地面对物体B的摩擦力大小减小 D．半球面对小球的支持力大小增大，地面对物体B的摩擦力大小减小 【答案】B 【详解】对小球A受力分析，设球面对A的弹力为，绳的拉力为T，如图所示 根据相似三角形原理，有 小球A向上移动的过程中，AC减小，所以绳上拉力T减小，球面对A的弹力是不变的。 对物体B受力分析，设绳与水平面的夹角为，那么在水平方向上，有 所以B向右移动时，受到的摩擦力增大。 故选B。 9．如图所示，小物块a的质量，通过细绳绕过光滑定滑轮与水平桌面上的小物块b连接，已知小物块b的质量，取重力加速度大小，细绳倾角，小物块b静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则与桌面动摩擦因数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】物块静止，由平衡条件有 对物块受力分析，竖直方向平衡，有 解得，水平方向平衡，有 当动摩擦因数取最小值时，静摩擦力达到最大值，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，因此有 解得= 故选C。 10．如图所示，物块B放在水平地面上，物块A在与水平面夹角为α的外力F作用下紧靠在物块B上，物块B恰能保持静止，则下列说法正确的是（　　） A．若A、B接触面光滑，略微减小F的大小，同时减小夹角α的大小，物块A仍能保持静止 B．若A、B接触面光滑，略微增大F的大小，同时减小夹角α的大小，物块A仍可能保持静止 C．若A、B接触面粗糙，仅略微增大F的大小，物块A仍可能保持静止 D．若A、B接触面粗糙，仅略微减小F的大小，物块A仍可能保持静止 【答案】D 【详解】A．对A受力分析，如图 A紧靠在物块B上，在竖直方向上 由于减小F的大小，同时减小夹角α的大小，所以减小，则有 因此A会在竖直方向上向下运动，故A错误； B．对A在水平方向上 由于略微增大F的大小，同时减小夹角α的大小，所以增大，即 即A在水平方向上向右运动，故B错误； C．对AB整体受力分析，如图 在水平方向上 若f地此时为最大静摩擦力，略微增大F的大小，则 则AB在水平方向上有加速度，故C错误； D．稍微减小F，则AB整体在水平方向上仍会静止的，故D正确。 故选D。 11．如图所示，在水平桌面上叠放着质量均为m的木板A、B以及木块C，初始时刻木板与木块均处于静止状态，A、B、C之间以及B与地面之间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g．现将水平轻绳一端固定在A上，另一端绕过光滑滑轮系一质量为M的物块D，则以下判断正确的是 A．当时，木板B开始滑动 B．不管M多大，木板B一定保持静止 C．A、C之间的摩擦力大小一定等于 D．B受到地面的摩擦力大小不可能等于Mg 【答案】B 【详解】AB．先对木块B受力分析，竖直方向受重力、压力和支持力，水平方向受A对B向右的摩擦力fAB和地面对B向左的摩擦力f地B，由于A对B的最大静摩擦力μ（m+m）g，小于地面对B的最大静摩擦力μ（m+2m）g，故物体B一定保持静止，不会受到地面的滑动摩擦力．故A错误，B正确； C．当整体处于静止状态时，物体C在水平方向受力为零，则A对C的摩擦力等于零；当A、C发生相对滑动时，A、C之间的摩擦力等于μmg．选项C错误； D．当D的质量M较小时，ABC保持静止，根据平衡条件可知，B受到地面的摩擦力大小等于Mg，故D错误； 12．如图所示，质量均为M的a、b两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为，两轻杆长度均为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物c，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．轻杆上弹力大小为 B．地面对滑块a的摩擦力大小为 C．滑块a受到地面的支持力大小为 D．为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为 【答案】D 【详解】A．对铰链、轻绳与重物c进行分析，利用对称性，根据平衡条件有 解得，故A错误； B．对滑块a进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得，故B错误； C．对滑块a进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得，故C错误； D．根据对称性可知，a、b都不滑动，则有 结合上述解得 当时，解得 即为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为，故D正确。 故选D。 13．如图所示，倾角θ＝30°的斜面体A固定在水平地面上，一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮，绳两端系有质量为2.5m和m的小物块a、b，整个装置处于静止状态。现给物块b施加一个水平向右的力F，使其缓慢运动到绳与竖直方向成60°角的位置。整个过程中小物块a一直保持不动（　　） A．力F先增大后减小 B．小物块a与斜面之间的动摩擦因数最小值为 C．绳上张力先增大后减小 D．小物块a受到的摩擦力先增大再减小 【答案】B 【详解】AC．设绳与竖直方向夹角为，对物块b受力分析 则有， 故当从0变化为60°的过程，F逐渐变大，T逐渐变大，AC错误； BD．绳子的拉力 可知，当时 当时 对a受力分析.如图所示 刚开始时，a处于静止状态，则摩擦力， 解得 方向沿斜面向上，当变为时，摩擦力为， 解得 方向沿斜面向下，故小物块a受到的摩擦力先减小再增大，故小物块a与斜面之间的动摩擦因数最小值为 B正确，D错误。 故选B。 14．一质量为的物块恰好能沿倾角为的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力，与水平方向的夹角为，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左 B．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零 C．若，物块将不能沿斜面匀速下滑 D．若推着物块沿斜面匀速上滑，则的最小值大于 【答案】B 【详解】ABC．未加F时，物块匀速下滑，其受力分析，如图所示 由平衡条件得 ， 又根据 可得 解得 设斜面的质量为M，对斜面受力分析，如图所示 根据牛顿第三定律有 ， 斜面始终处于静止状态，将、分解，且在水平方向有 ， 可得 故地面对斜面的摩擦力为零； 若，对物块施加一个水平方向的力F，对m受力分析，如图所示 将F分解，可得 又根据 可得 对斜面同上进行受力分析，根据牛顿第三定律有 ， 斜面始终处于静止状态，将、分解，且在水平方向有 ， 可得 故地面对斜面的摩擦力为零；若，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对m受力分析，如图所示 则有 又根据 可得 对斜面同上进行受力分析，根据牛顿第三定律有 ， 斜面始终处于静止状态，将、分解，且在水平方向有 ， 可得 故地面对斜面的摩擦力为零，故A错误，B正确； C．若，对物块施加竖直向下的力F，对m受力分析，如图所示 则有 又根据 可得 又 则有 所以物体仍可以沿斜面匀速下滑，故C错误； D．若推着物块沿斜面匀速上滑，设F与斜面夹角，根据平衡条件得 解得 所以 故D错误。 故选B。 15．物体A放置在倾角的斜面上，绳子跨过两个光滑轻质滑轮后一端系在A上，另一端系在竖直墙壁上，动滑轮下面悬挂一物体B，物体B质量为物体A质量的，系在竖直墙壁上的绳子与竖直方向夹角时，物体A刚好不下滑。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体A与斜面之间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设A的质量为2m，则B的质量为m，对连接B的轻滑轮受力分析如图所示 则有 解得 对A受力分析如图所示 则有 联立解得 故选C。 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $