第09讲 专题：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（复习讲义）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦动态平衡问题及平衡中的临界、极值问题两大核心考点，按图解法、解析法等解题方法梳理知识脉络，通过命题透视、思维建模、考点精讲、真题溯源四环节，帮助学生构建系统思维框架，突破力的动态分析与临界状态判断难点。 讲义以科学思维为导向，创新设计“方法分类+情境应用”教学模式，如用图解法分析挡板旋转中力的变化，结合生活实践情境培养模型建构能力，设置例题与变式训练分层突破，助力学生高效掌握解题范式，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第09讲 专题：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 知识点1 物体的动态平衡问题 考向1 图解法 重 考向2 解析法 重 考向3 相似三角形法 考向4 正弦定理法和动态圆法 【思维建模】分析动态平衡问题的流程 考点二 平衡中的临界、极值问题 知识点1 平衡中的临界、极值问题 考向1 解析法的应用 重 考向2 图解法的应用 考向3 极限分析法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 动态平衡问题 —— —— —— 平衡中的临界、极值问题 —— —— —— 考情分析 题型与考向：近年多以选择题形式考查，常结合晾衣绳、斜面小球等生活化模型，依托图解法、解析法、辅助圆法分析力的动态变化，聚焦“恰好滑动”“弹力为零”等临界状态，关联极值推导，侧重检验考生的矢量运算与逻辑推理能力，是相互作用模块的高频核心考点。 情境与立意： 1.生活实践类：斜拉桥钢索受力调节、夹具夹紧物体、门窗合页受力、起重机吊臂角度调控等场景，分析动态平衡下力的变化规律；分析绳索拉重物、挡板挡球等结构里平衡的临界条件，求解拉力、支持力的极值范围。 2.学习探究类：探究共点力动态平衡中力随夹角、支撑角度变化的规律；设计实验探究平衡系统达到临界状态的触发条件，通过作图法、解析法求解平衡状态下力的极值，总结通用解题规律。 复习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 知识点1 物体的动态平衡问题 知●识●解●构 1.动态平衡 （1）动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 （2）常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 （3）基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 2.分析动态平衡问题的方法及其步骤 方法 适用的受力情况 基本矢量图 解析法 物体受三个力作用，一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形 图解法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（如重力），另一个力与恒定的力不垂直但方向不变（大小一般改变），第三个力大小方向都变化 相似三角形法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（通常是重力），另外两个力的方向均发生变化，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形 基本关系式：== 动态圆法（或正弦定理法） 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（通常是重力），另两个力方向、大小都在变，但两力的夹角不变 同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等，即== 考●向●破●译 考向1 图解法 【重】 例1 （2026·北京东城区·一模）如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，下列说法正确的是（ ） A．斜面对铅球的支持力增大 B．挡板对铅球的支持力增大 C．挡板对铅球的支持力先减小后增大 D．斜面和挡板对铅球的合力大小不变 【变式训练1·变载体】如图所示，一艘无动力货轮C被两艘拖船A、B拉着在平静水面上沿虚线方向前行，两缆绳保持水平，拖船B的缆绳与货轮前进方向的夹角始终为30°，拖船A的缆绳与货轮前进方向的夹角为θ。已知货轮运动时所受阻力的大小f与运行速度的大小v的关系满足，其中。要保证货轮以5m/s的速度匀速前进且要求拖船A缆绳拉力最小，则此时θ及拖船A缆绳拉力大小分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2·变载体】（2026·辽宁·模拟）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 考向2 解析法 【重】 例2如图所示，一物块在两根轻绳AO、BO的作用下，处于静止状态。绳子BO与竖直方向的夹角为θ，绳AO处于水平状态。若改变绳子长度，悬点B缓慢向左移动，使夹角θ增大，绳AO仍保持水平状态。若绳AO的张力为F1，绳BO的张力为F2，则（ ） A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2增大 D．F1减小，F2减小 【变式训练1·变载体】（2026·山西晋中·三模）先秦《诗经·小雅·斯干》中：“约之阁阁，椓之橐橐。”记载了古人营造宫室的场景，匠人手持绳墨定准方位，用版筑之法夯实土墙。如图所示，古代建筑工地中，绳OP一端连接轻质光滑滑轮，另一端固定在P点，工人抓住跨过滑轮的轻绳一端沿水平地面缓慢向左走动将建材吊起，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳OP上的拉力保持不变 B．绳OP上的拉力逐渐变大 C．地面对人的摩擦力逐渐变大 D．地面对人的支持力逐渐减小 【变式训练2·变载体】（2026·临泉一中·模拟）如图1所示为生活中常用来搬运重物的小车，图2为其简图。紧靠“”形挡板放置一个表面光滑的匀质圆柱形物体，挡板P与挡板Q垂直，当挡板Q与水平方向的夹角从缓慢增大到的过程中，挡板P对圆柱形物体的支持力和挡板Q对圆柱形物体的支持力的变化情况是（　　） A．逐渐增大 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 考向3 相似三角形法 例3A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式训练1·变载体】如图所示，水平光滑的地面上固定有半径为R的半圆形轨道，小球紧贴着半圆形轨道放置，小木块静置在半圆形轨道左侧的水平地面上，在圆轨道上方同一高度处固定有两个光滑定滑轮，两个定滑轮分别位于小木块和半圆形轨道圆心的正上方。现用一根跨过两个定滑轮的细线将小球和小木块连接起来，再对小木块施加水平向左的拉力，将小球沿半圆形轨道缓慢提高，在小球运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力先增大后减小 B．半圆轨道对小球的支持力先减小后增大 C．小木块对地面的压力逐渐减小 D．适当提高定滑轮的高度可以减小该过程中小球对半圆轨道的压力 【变式训练2·变载体】如图所示，长度为的杆竖直固定且与半圆柱体边缘相切。轻绳的B端系在杆的上端B点，其下端与质量为的小球相连，小球静置在光滑且固定在水平面上的半圆柱体上，半圆柱体截面的半径为，小球可视为质点。已知绳长度为，小球静止的位置与水平面夹角为，不计一切摩擦，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．轻绳对小球的拉力大小为 B．轻绳对小球的拉力大小为 C．半圆柱体对小球的支持力为 D．半圆柱体对小球的支持力为 考向4 正弦定理法和动态圆法 例4（2026·安徽合肥八中·模拟）如图所示，一位小朋友躺在吊床上休息，当其静止时拴吊床的两段绳子与竖直方向的夹角分别为和。设夹角为的绳子拉力大小为，夹角为的绳子拉力大小为，则为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】如图所示，一截面为正三角形且内壁光滑的容器竖直放置，内部有一个小球，其半径略小于内接圆半径，三角形各边接有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。如果此时边恰好处于水平状态，将容器以点为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到边水平，则在转动过程中（　　） A．球对边的压力一直减小 B．球对边的压力先增大后减小 C．球对边的压力一直增大 D．边所受压力的最大值等于球的重力 【变式训练2·变载体】如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量分布均匀的光滑球A和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。一水平力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，从图示位置开始推动A球使B球缓慢上升，A、B两球和容器内壁始终有接触，在B球上升至球心与O点等高的过程中，下列判断正确的是（ ） A．A球受到B球的弹力先增大后减小 B．A球受到B球的弹力逐渐增大 C．容器对B球的支持力先减小后增大 D．容器对B球的支持力逐渐增大 思维建模 分析动态平衡问题的流程 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 考点二 平衡中的临界、极值问题 知识点1 平衡中的临界、极值问题 知●识●解●构 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等，临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好绷直，拉力F=0。 （3）两个接触的物体分离，弹力FN=0。 2.临界问题常见的几种情况： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力； （2）绳子恰好绷紧，拉力F=0； （3）刚好离开接触面，支持力。 3.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 4.解题方法 （1）解析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 （3）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 ✨得分速记 策略方法 （1）做好受力分析的基础上，搞清各力夹角。 （2）难以确定方向和是否存在的力，用假设法分析各力变化趋势，判断可能情况。 （3）正交分解列方程，写出解析式。 （4）根据题中隐含的条件“恰好”“最大”“最小”，用数学方法结合物理实际讨论其临界和极值的情况。 考●向●破●译 考向1 解析法的应用 【重】 例1 （2026·安徽黄山·一模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在木板上，质量分别为和的物块，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接。的接触面、轻绳均与木板平行。间动摩擦因数，木板上表面光滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将木板一端从水平位置缓慢抬起，为保证物块不发生相对滑动，木板与水平地面的夹角不得大于（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】（2026·四川广元·二诊）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·变载体】我国古代很多建筑采用蝴蝶瓦方式铺设屋顶（如图甲），以利通风，防止木材腐朽。图乙是三根椽子和两片底瓦、一片盖瓦的铺设示意图，三根椽子互相平行，与水平面夹角θ=30°。图丙是垂直椽子截面的示意图，椽子在每个接触点处对底瓦的支持力FN三根椽子所在平面的垂线间夹角α=37°，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知盖瓦和底瓦质量相等，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，cos37°=0.8，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅研究这三片瓦，则底瓦与椽子间的动摩擦因数μ应满足：（　　） A． B． C． D． 考向2 图解法的应用 【重】 例2（2025·山西·一模）如图所示，轻绳的一端连接物块P，另一端通过光滑的轻滑轮与斜坡上的小盒Q连接，轻绳与斜坡的上表面平行，P、Q均处于静止状态。现向Q盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中P、Q一直保持静止。则斜面对Q的（ ） A．摩擦力一定增大 B．摩擦力可能不变 C．作用力一定增大 D．作用力可能先减小后增大 【变式训练1·变情境】如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为100N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，，整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动，移动过程中，绳拉力的最小值为（　　） A．60N B．100N C． D．80N 【变式训练2·变载体】如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为的小球，在水平拉力的作用下静止在轨道内侧A点，连线与竖直方向的夹角，轨道对小球的支持力大小为，重力加速度为。改变拉力，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（　　） A．将拉力逆时针缓慢旋转的过程中，的最小值为 B．将拉力逆时针缓慢旋转的过程中，先减小后增大 C．将拉力顺时针缓慢旋转的过程中，先减小后增大 D．将拉力顺时针缓慢旋转的过程中，的最小值为 考向3 极限分析法 例3如图所示，在粗糙水平地面上依次放有两块质量分别为、且高度完全相同的木板A、B，质量的货物C与两木板间的动摩擦因数均为，木板A与地面间的动摩擦因数，木板B与地面间的动摩擦因数，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，要使货物C滑上木板A时木板A不动，而滑上木板B时木板B开始滑动，则的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】如图所示，质量均为M的a、b两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为，两轻杆长度均为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物c，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．轻杆上弹力大小为 B．地面对滑块a的摩擦力大小为 C．滑块a受到地面的支持力大小为 D．为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为 思维建模 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·四川·高考）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（ ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 专题：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 知识点1 物体的动态平衡问题 考向1 图解法 重 考向2 解析法 重 考向3 相似三角形法 考向4 正弦定理法和动态圆法 【思维建模】分析动态平衡问题的流程 考点二 平衡中的临界、极值问题 知识点1 平衡中的临界、极值问题 考向1 解析法的应用 重 考向2 图解法的应用 考向3 极限分析法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 动态平衡问题 —— —— —— 平衡中的临界、极值问题 —— —— —— 考情分析 题型与考向：近年多以选择题形式考查，常结合晾衣绳、斜面小球等生活化模型，依托图解法、解析法、辅助圆法分析力的动态变化，聚焦“恰好滑动”“弹力为零”等临界状态，关联极值推导，侧重检验考生的矢量运算与逻辑推理能力，是相互作用模块的高频核心考点。 情境与立意： 1.生活实践类：斜拉桥钢索受力调节、夹具夹紧物体、门窗合页受力、起重机吊臂角度调控等场景，分析动态平衡下力的变化规律；分析绳索拉重物、挡板挡球等结构里平衡的临界条件，求解拉力、支持力的极值范围。 2.学习探究类：探究共点力动态平衡中力随夹角、支撑角度变化的规律；设计实验探究平衡系统达到临界状态的触发条件，通过作图法、解析法求解平衡状态下力的极值，总结通用解题规律。 复习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 知识点1 物体的动态平衡问题 知●识●解●构 1.动态平衡 （1）动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 （2）常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 （3）基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 2.分析动态平衡问题的方法及其步骤 方法 适用的受力情况 基本矢量图 解析法 物体受三个力作用，一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形 图解法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（如重力），另一个力与恒定的力不垂直但方向不变（大小一般改变），第三个力大小方向都变化 相似三角形法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（通常是重力），另外两个力的方向均发生变化，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形 基本关系式：== 动态圆法（或正弦定理法） 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（通常是重力），另两个力方向、大小都在变，但两力的夹角不变 同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等，即== 考●向●破●译 考向1 图解法 【重】 例1 （2026·北京东城区·一模）如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，下列说法正确的是（ ） A．斜面对铅球的支持力增大 B．挡板对铅球的支持力增大 C．挡板对铅球的支持力先减小后增大 D．斜面和挡板对铅球的合力大小不变 【答案】D 【解析】ABC．设挡板对铅球的支持力为，斜面对铅球的支持力为，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，对铅球受力分析，如图所示 由矢量三角形可知，挡板对铅球的支持力一直减小；斜面对铅球的支持力也一直减小，故ABC错误； D．铅球受到重力、挡板对铅球的支持力、斜面对铅球的支持力，根据平衡条件可得，斜面和挡板对铅球的合力始终与重力等大反向，即斜面和挡板对铅球的合力大小不变，故D正确。故选D。 【变式训练1·变载体】如图所示，一艘无动力货轮C被两艘拖船A、B拉着在平静水面上沿虚线方向前行，两缆绳保持水平，拖船B的缆绳与货轮前进方向的夹角始终为30°，拖船A的缆绳与货轮前进方向的夹角为θ。已知货轮运动时所受阻力的大小f与运行速度的大小v的关系满足，其中。要保证货轮以5m/s的速度匀速前进且要求拖船A缆绳拉力最小，则此时θ及拖船A缆绳拉力大小分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 货轮C以5m/s的速度匀速前进，则所受阻力大小为 方向与速度方向相反，货轮C在阻力和拖船A、B缆绳拉力三力作用下处于平衡状态，可将货轮受到的三力平移构成一个首尾相接的矢量三角形，其中阻力的大小和方向均不变，拖船B缆绳拉力方向不变。如图所示，当两缆绳（拉力）垂直时，拖船A缆绳拉力最小，此时有，拖船A缆绳拉力大小为；故选B。 【变式训练2·变载体】（2026·辽宁·模拟）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析演员的受力，演员受到自身重力，绳①和绳②的拉力；绳②的拉力方向不变，绳①的拉力方向在变化，三个力使演员处于平衡状态，三个力构成矢量三角形，利用动态三角形进行求解，如图所示 由图可知，当与垂直时最小。故选A。 考向2 解析法 【重】 例2如图所示，一物块在两根轻绳AO、BO的作用下，处于静止状态。绳子BO与竖直方向的夹角为θ，绳AO处于水平状态。若改变绳子长度，悬点B缓慢向左移动，使夹角θ增大，绳AO仍保持水平状态。若绳AO的张力为F1，绳BO的张力为F2，则（ ） A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2增大 D．F1减小，F2减小 【答案】B 【解析】对结点O与物块整体进行分析，根据平衡条件有， 可知当夹角θ增大时，增大、增大。故选B。 【变式训练1·变载体】（2026·山西晋中·三模）先秦《诗经·小雅·斯干》中：“约之阁阁，椓之橐橐。”记载了古人营造宫室的场景，匠人手持绳墨定准方位，用版筑之法夯实土墙。如图所示，古代建筑工地中，绳OP一端连接轻质光滑滑轮，另一端固定在P点，工人抓住跨过滑轮的轻绳一端沿水平地面缓慢向左走动将建材吊起，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳OP上的拉力保持不变 B．绳OP上的拉力逐渐变大 C．地面对人的摩擦力逐渐变大 D．地面对人的支持力逐渐减小 【答案】C 【解析】AB．设滑轮左侧绳子与竖直方向夹角，在此过程中，滑轮两侧的绳子拉力大小T均等于重物重力大小mg，对滑轮，由平衡条件可知，绳OP上的拉力 在此过程中，增大，因此F减小，故AB错误； CD．根据平衡条件，人在水平方向有 竖直方向上有 在此过程中，增大，因此地面对人的摩擦力逐渐变大，地面对人的支持力逐渐增大，故C正确，D错误。故选C。 【变式训练2·变载体】（2026·临泉一中·模拟）如图1所示为生活中常用来搬运重物的小车，图2为其简图。紧靠“”形挡板放置一个表面光滑的匀质圆柱形物体，挡板P与挡板Q垂直，当挡板Q与水平方向的夹角从缓慢增大到的过程中，挡板P对圆柱形物体的支持力和挡板Q对圆柱形物体的支持力的变化情况是（　　） A．逐渐增大 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【解析】对圆柱形物体进行受力分析，物体受到重力、挡板P的支持力和挡板Q的支持力。由于挡板P与挡板Q垂直，所以与互相垂直。物体处于动态平衡状态，这三个力构成一个封闭的直角三角形，其中重力对应斜边。 根据几何关系，挡板Q与水平方向夹角为，则支持力与竖直方向夹角也为。 由平衡条件可得， 当从缓慢增大到的过程中，逐渐增大，逐渐减小； 所以逐渐增大，逐渐减小，故A正确，BCD错误。故选A。 考向3 相似三角形法 例3A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】轻杆对两小球弹力大小相等，令该弹力为T，对小球A进行分析，利用相似三角形规律有 解得 对小球B进行分析，利用相似三角形规律有 解得 由于 则有 故选C。 【变式训练1·变载体】如图所示，水平光滑的地面上固定有半径为R的半圆形轨道，小球紧贴着半圆形轨道放置，小木块静置在半圆形轨道左侧的水平地面上，在圆轨道上方同一高度处固定有两个光滑定滑轮，两个定滑轮分别位于小木块和半圆形轨道圆心的正上方。现用一根跨过两个定滑轮的细线将小球和小木块连接起来，再对小木块施加水平向左的拉力，将小球沿半圆形轨道缓慢提高，在小球运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力先增大后减小 B．半圆轨道对小球的支持力先减小后增大 C．小木块对地面的压力逐渐减小 D．适当提高定滑轮的高度可以减小该过程中小球对半圆轨道的压力 【答案】D 【解析】ABD．设小球的重力为G，细线的拉力为T，半圆轨道对小球的支持力为，连接小球的细线长为L，定滑轮到水平地面的高度为H，如图所示 由平衡条件与几何关系可得 由于H和R固定，运动过程中L不断减小，所以细线的拉力不断减小，半圆轨道对小球的支持力不变，若提高定滑轮的高度，则H变大，运动过程中小球对半圆形轨道的压力减小，故AB错误，D正确； C．运动过程中连接小木块的细线拉力逐渐减小，细线与竖直方向的夹角不断增大，所以细线对小木块在竖直方向的拉力不断减少，小木块对地面的压力逐渐增加，故C错误。故选D。 【变式训练2·变载体】如图所示，长度为的杆竖直固定且与半圆柱体边缘相切。轻绳的B端系在杆的上端B点，其下端与质量为的小球相连，小球静置在光滑且固定在水平面上的半圆柱体上，半圆柱体截面的半径为，小球可视为质点。已知绳长度为，小球静止的位置与水平面夹角为，不计一切摩擦，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．轻绳对小球的拉力大小为 B．轻绳对小球的拉力大小为 C．半圆柱体对小球的支持力为 D．半圆柱体对小球的支持力为 【答案】A 【解析】对小球受力分析，如图所示 延长AO和BC，交于D点，则重力mg平行于BD，支持力平行于AD，拉力平行于AB，根据小球受力平衡可知，重力mg、支持力、拉力可构成一个首尾相接的矢量三角形，这个矢量三角形与相似，故 即 解得，；故选A。 考向4 正弦定理法和动态圆法 例4（2026·安徽合肥八中·模拟）如图所示，一位小朋友躺在吊床上休息，当其静止时拴吊床的两段绳子与竖直方向的夹角分别为和。设夹角为的绳子拉力大小为，夹角为的绳子拉力大小为，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小朋友及吊床受三个力且处于静止状态，其受力如图所示，由正弦定理可得 所以 故选A。 【变式训练1·变载体】如图所示，一截面为正三角形且内壁光滑的容器竖直放置，内部有一个小球，其半径略小于内接圆半径，三角形各边接有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。如果此时边恰好处于水平状态，将容器以点为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到边水平，则在转动过程中（　　） A．球对边的压力一直减小 B．球对边的压力先增大后减小 C．球对边的压力一直增大 D．边所受压力的最大值等于球的重力 【答案】B 【解析】本题考查用辅助圆解决动态平衡问题，目的是考查学生的推理论证能力。设边对小球的弹力大小为边对小球的弹力大小为，对小球进行分析，作出辅助圆的动态矢量分析如图所示 由图可知，开始与球的重力等大反向，转动过程中先增大后减小至从0开始先增大后减小至与球的重力等大反向，其中最大值大于球的重力，根据牛顿第三定律可知，球对边的压力与对边的压力均先增大后减小，且边所受压力的最大值大于球的重力。故选B。 【变式训练2·变载体】如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量分布均匀的光滑球A和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。一水平力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，从图示位置开始推动A球使B球缓慢上升，A、B两球和容器内壁始终有接触，在B球上升至球心与O点等高的过程中，下列判断正确的是（ ） A．A球受到B球的弹力先增大后减小 B．A球受到B球的弹力逐渐增大 C．容器对B球的支持力先减小后增大 D．容器对B球的支持力逐渐增大 【答案】B 【解析】对B球受力分析如图1所示 缓慢推动A球直到B的球心与容器的圆心O等高的过程中，三角形OAB边长恒定，和的夹角不变，根据三力平衡作出矢量三角形如图2所示 从图2可以看出B球受到A球的弹力逐渐增大，容器对B球的支持力先增大后减小。故选B。 思维建模 分析动态平衡问题的流程 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 考点二 平衡中的临界、极值问题 知识点1 平衡中的临界、极值问题 知●识●解●构 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等，临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好绷直，拉力F=0。 （3）两个接触的物体分离，弹力FN=0。 2.临界问题常见的几种情况： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力； （2）绳子恰好绷紧，拉力F=0； （3）刚好离开接触面，支持力。 3.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 4.解题方法 （1）解析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 （3）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 ✨得分速记 策略方法 （1）做好受力分析的基础上，搞清各力夹角。 （2）难以确定方向和是否存在的力，用假设法分析各力变化趋势，判断可能情况。 （3）正交分解列方程，写出解析式。 （4）根据题中隐含的条件“恰好”“最大”“最小”，用数学方法结合物理实际讨论其临界和极值的情况。 考●向●破●译 考向1 解析法的应用 【重】 例1 （2026·安徽黄山·一模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在木板上，质量分别为和的物块，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接。的接触面、轻绳均与木板平行。间动摩擦因数，木板上表面光滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将木板一端从水平位置缓慢抬起，为保证物块不发生相对滑动，木板与水平地面的夹角不得大于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意分析，物块A、B刚好要滑动时，应该是物体A相对物体B向下滑动，设绳子拉力为F，对A受力分析，由平衡条件得 对B受力分析，由平衡条件得 联立解得 可知 故选D。 【变式训练1·变载体】（2026·四川广元·二诊）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设半圆柱体 A、B 的质量为 ，因材料、长度、半径、密度均相同，圆柱体 C 的体积是半圆柱体的 2 倍，故C的质量为 。设C的圆心与 B 的圆心连线与竖直方向夹角为 。对 C 受力分析，由对称性知 A、B对C的支持力大小相等，设为 。竖直方向平衡有 解得 对 B 受力分析，竖直方向地面对 B 的支持力 水平方向 B 受到的静摩擦力 为使 B 保持静止，需满足 即 得 当 C 恰好降到地面时，C 的圆心离地高度为 ，B 的圆心在地面上，两圆心距离为 ，此时， 在此过程中从增大到， 单调递增，当 时 最大，为 。故 的最小值为 。故选 C。 【变式训练2·变载体】我国古代很多建筑采用蝴蝶瓦方式铺设屋顶（如图甲），以利通风，防止木材腐朽。图乙是三根椽子和两片底瓦、一片盖瓦的铺设示意图，三根椽子互相平行，与水平面夹角θ=30°。图丙是垂直椽子截面的示意图，椽子在每个接触点处对底瓦的支持力FN三根椽子所在平面的垂线间夹角α=37°，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知盖瓦和底瓦质量相等，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，cos37°=0.8，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅研究这三片瓦，则底瓦与椽子间的动摩擦因数μ应满足：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以这三片瓦整体作为研究对象，易得这个整体的重力在垂直椽子所在平面方向上的分力为，垂直椽子所在平面方向整体处于平衡状态，则有 可得 为使底瓦与盖瓦不下滑，应使 解得 故选A。 考向2 图解法的应用 【重】 例2（2025·山西·一模）如图所示，轻绳的一端连接物块P，另一端通过光滑的轻滑轮与斜坡上的小盒Q连接，轻绳与斜坡的上表面平行，P、Q均处于静止状态。现向Q盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中P、Q一直保持静止。则斜面对Q的（ ） A．摩擦力一定增大 B．摩擦力可能不变 C．作用力一定增大 D．作用力可能先减小后增大 【答案】D 【解析】AB．设物块P的质量为M，小盒Q的质量为m，对物块，重力Mg与拉力二力平衡；若，对小盒，则有， 当m增大时，也随之增大，只要，就继续减小，当时，摩擦力减为零，若时，则有 当m增大时，摩擦力f随之增大，故AB错误； CD．对Q受力分析可知，斜面对其作用力（即N、f的合力）与Q的重力和绳的拉力的合力平衡，而绳的拉力不变，若最开始Q的重力较小，随着Q的重力逐渐增大，则有如下受力情况 当合力与重力垂直时合力有最小值，故根据牛顿第三定律可知，斜面对Q的作用力可能先减小后增大，故C错误、D正确。故选D。 【变式训练1·变情境】如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为100N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，，整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动，移动过程中，绳拉力的最小值为（　　） A．60N B．100N C． D．80N 【答案】A 【解析】对小球受力分析，如图 外力推斜面向右缓慢移动，则轻绳与竖直方向夹角变大，三力平衡的动态图如图 由图可知，斜面对小球的支持力逐渐变大，轻绳对小球的拉力逐渐变小。最小值为；故选A。 【变式训练2·变载体】如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为的小球，在水平拉力的作用下静止在轨道内侧A点，连线与竖直方向的夹角，轨道对小球的支持力大小为，重力加速度为。改变拉力，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（　　） A．将拉力逆时针缓慢旋转的过程中，的最小值为 B．将拉力逆时针缓慢旋转的过程中，先减小后增大 C．将拉力顺时针缓慢旋转的过程中，先减小后增大 D．将拉力顺时针缓慢旋转的过程中，的最小值为 【答案】A 【解析】小球受三个力，分别为：竖直向下的重力mg、指向O点的支持力、拉力F。将这三个力进行适当平移可构成一个首尾相接的矢量三角形，拉力F旋转时，画出动态三角形，如图所示 由图可知，将拉力逆时针缓慢旋转的过程中，一直减小，F先减小后增大，F与垂直时最小，最小值为；将拉力顺时针缓慢旋转的过程中，F一直增大，也一直增大，初始时最小，最小值为。故选A。 考向3 极限分析法 例3如图所示，在粗糙水平地面上依次放有两块质量分别为、且高度完全相同的木板A、B，质量的货物C与两木板间的动摩擦因数均为，木板A与地面间的动摩擦因数，木板B与地面间的动摩擦因数，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，要使货物C滑上木板A时木板A不动，而滑上木板B时木板B开始滑动，则的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】货物C滑上木板A时，板A不动，则由受力分析可得 货物C滑上木板B时，板B开始滑动，则由受力分析可得 联立解得 故选C。 【变式训练1·变载体】如图所示，质量均为M的a、b两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为，两轻杆长度均为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物c，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．轻杆上弹力大小为 B．地面对滑块a的摩擦力大小为 C．滑块a受到地面的支持力大小为 D．为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为 【答案】D 【解析】A．对铰链、轻绳与重物c进行分析，利用对称性，根据平衡条件有 解得，故A错误； B．对滑块a进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得，故B错误； C．对滑块a进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得，故C错误； D．根据对称性可知，a、b都不滑动，则有 结合上述解得 当时，解得 即为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为，故D正确。故选D。 思维建模 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·四川·高考）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（ ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 【答案】AD 【解析】设球心O到单侧手的作用点连线与竖直轴的夹角为，由几何关系得， 演员受力平衡：水平分量抵消，竖直方向两个手的支持力和摩擦力的竖直分量平衡重力，整理得 最大静摩擦力满足 当静摩擦力取最大值时，联立可得 A．时，代入数据解得 由于 可知的范围为 大小可能为，故A正确； B．根据题目分析可知时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上升与N无关，故B错误； C．根据结合题意 当时，解得平衡临界，故C错误； D．根据结合辅助角公式可得 可得的最小值，故D正确。故选AD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $