学易金卷：七年级数学上学期9月学情自测卷（新教材北京版，范围：七年级上册第1章）

**基本信息** 聚焦七年级上册第1章有理数知识，融合天问二号探测、三进制芯片等科技素材及干支纪年文化情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考察抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|相反数、科学记数法、数轴|第2题以天问二号距离考科学记数法，体现科技关联| |填空|8/24|正负数、绝对值、规律探究|第13题结合干支纪年考数学建模，渗透文化传承| |解答|10/72|有理数运算、新定义、实际应用|第25题“倍跟随点”新定义问题，考察逻辑推理与创新思维|

2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 10. 11. 3 14. 15. 16 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(6分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 专4得时 26.(10分) -2012 -2012 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版七年级上册第1章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 6．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．如果温度上升记作，那么温度下降记作______． 10．比较大小：____(填“”“”或“”)． 11．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 12．的值等于____________． 13．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 14．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若，则点C一定在线段外； ④若，则点C一定为线段的中点． 所有正确结论的序号是_____． 15．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 16．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是______． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 18．（5分）计算： (1)； (2) 19．（6分）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，且．求： 的值． 20．（6分）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 21．（6分）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 22．（8分）某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． (1)本周小明实际完成计算题共多少道？ (2)请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． 23．（8分）在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 24．（8分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这一周最后三天共生产______辆； (2)这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)①若该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ ②若将①中的“每日计件工资制”改为“每周计件工资制”，其他条件不变，问：这一周该厂是实行“每日计件工资制”工人的工资高，还是实行“每周计件工资制”工人的工资高？请说明理由． 25．（10分）定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点．    (1)若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． (2)在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 26．（10分）已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为对于在数轴上一点（不与点、点重合），若线段与的长度之比为，则称叫做点、的“倍伴随点”，记作． 例如，图所示：若点是线段的中点时，有，则称点为点、的“倍伴随点”，记作． 请根据上述规定回答下列问题： (1)已知，如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是． ______； 比较、与的大小______（用“”连接）； (2)已知点是数轴上点、的“倍伴随点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)已知数轴上三点，，，点、分别为、的中点，满足，且此时点是点、的“倍伴随点”，求的值及点表示的数． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9._______________ 13. ________________ 10. ___________ 14. _______________ 11. _________________ 15.________，________ 12. __________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B B A C A B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9． 10． 11．3.142 12．或3 13．乙卯 14．①②④ 15． 16． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分） 【答案】 解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…；······························1分 负分数集合…；······························2分 非负整数集合…；······························3分 有理数集合…······························5分 18．（5分） 【答案】(1)0 (2)15 【详解】（1）解：原式 ；······························2分 （2）解：原式 ．······························5分 19．（6分） 【答案】0 【分析】本题考查相反数、倒数、平方，代数式求值，根据相反数、倒数、平方的定义，可得，，，代入所求代数式即可求解． 【详解】解： a和b互为相反数，c和d互为倒数， ，，······························2分 ， ， ，······························4分 ．······························6分 20．（6分） 【答案】(1)一、三；二、三、四 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，小红错误的步骤是第二、三、四步；······························2分 （2）解： ．······························6分 21．（6分） 【答案】(1)，3，1， (2) 解：． (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． （1）根据有理数的乘方的运算方法，相反数的求法，以及绝对值的含义和求法，化简a，b，c，d即可． （2）根据化简的结果，把这四个数在数轴上分别表示出来即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，用“”把a，b，c，d连接起来即可． 【详解】（1）解：化简a，b，c，d得，，，． 故答案为：，3，1，；······························4分 （2）解：．······························5分 （3）解：用“”把a，b，c，d连接起来是：． 故答案为：．······························6分 22．（8分） 【答案】(1)53道 (2)方式B更有利 【分析】本题考查运用正负数的意义解决实际问题，有理数的混合运算，关键是能根据实际问题，结合正负数正确列出算式并计算； （1）按每天完成10道的标准，五天一共会完成道，再与将表格中数据相加即可得出实际完成的数量； （2）根据题意分别求得两种方式所得积分后比较大小即可． 【详解】（1）解：（道） 答：本周小明实际完成计算题共53道．······························3分 （2）解：方式A：（分）， 方式B：（分）， ∵， ∴选择方式B对小明更有利．······························8分 23．（8分） 【答案】(1) (2)计算结果的最大值为 【分析】本题主要考查了新定义运算、绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握新运算法则的分类讨论是解题的关键． （1）按照新运算法则，代入数值计算绝对值与代数和，再求平均值． （2）分两种情况讨论新运算的表达式，分别求出两种情况的最大值，再比较得最终结果． 【详解】（1）解： ；······························3分 （2）解：当 时，， ∵， ∴当时，此时最大值为 ； 当 时，， ∵， ∴当，时，最大值． ∵ ， ∴的最大值为 ．······························8分 24．（8分） 【答案】(1)597 (2)26 (3)①98725元；②实行“每周计件工资制”工人的工资高 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先确定最后三天的增减量，计算每天实际产量再求和； （2）找出产量最多和最少的一天，计算差值即可； （3）①按每日产量计算工资并求和；②计算一周总增减量，按每周产量计算工资并比较． 【详解】（1）解：（辆）， 故这一周最后三天共生产辆；······························2分 （2）解：这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）；······························4分 （3）解：①每日计件工资制：（元）；······························6分 ②每周计件工资制：（元）， ∵， ∴实行“每周计件工资制”工人的工资高．······························8分 25．（10分） 【答案】(1)①3；②或6 (2)3.1或3.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值意义，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是理解跟随点的定义． （1）①首先求出，，，然后根据求解即可； ②首先求出，，，然后根据分情况求解即可； （2）首先得到运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后表示出，，，然后根据分情况求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为1，点表示的数为3，点表示的数为5 ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的3倍跟随点；······························2分 ②设点表示的数是p ∴，，， ∵点是线段的4倍跟随点 ∴ 当时， 解得； 当时， ∴，不符合题意； 当时， 解得； 综上所述，点表示的数是或6；······························4分 （2）解：根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∵点是线段的2倍跟随点 ∴ ∴ ∴ ∴当时， 解得，不符合题意； ∴当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，不符合题意； 综上所述，的值为3.1或3.5．······························10分 26．（10分） 【答案】(1)①；② (2)或 (3)，点表示的数为；点表示的数为 【分析】（1）求出，，根据“倍伴随点”的定义，进行求解即可； 根据定义，结合点在数轴上的位置，进行比较即可； （2）根据点是数轴上点、的“倍伴随点”，结合定义进行求解即可； （3）分在点左侧，和在点右侧，进行讨论求解即可． 本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，掌握“倍伴随点”的定义是关键． 【详解】（1）由图可知：，， ， ， 故答案为：；······························2分 由题意，得：， 由图可知：，， 分数的分子越大，分母越小，分数就越大， ， ， 故答案为：；······························4分 （2）点是数轴上点、的“倍伴随点”， ， ， 设：点所表示的数为， 当在中间时：，解得：； 当在的右侧时：，解得：； 综上：点表示的数为：或； 故答案为：或；······························6分 （3）设点表示的数为， 当在点左侧时，，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ； 当在点右侧时，，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ； 综上：，点表示的数为；点表示的数为．······························10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版七年级上册第1章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 6．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．如果温度上升记作，那么温度下降记作______． 10．比较大小：____(填“”“”或“”)． 11．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 12．的值等于____________． 13．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 14．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若，则点C一定在线段外； ④若，则点C一定为线段的中点． 所有正确结论的序号是_____． 15．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 16．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是______． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 18．（5分）计算： (1)； (2) 19．（6分）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，且．求： 的值． 20．（6分）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 21．（6分）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 22．（8分）某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． (1)本周小明实际完成计算题共多少道？ (2)请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． 23．（8分）在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 24．（8分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这一周最后三天共生产______辆； (2)这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)①若该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ ②若将①中的“每日计件工资制”改为“每周计件工资制”，其他条件不变，问：这一周该厂是实行“每日计件工资制”工人的工资高，还是实行“每周计件工资制”工人的工资高？请说明理由． 25．（10分）定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点．    (1)若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． (2)在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 26．（10分）已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为对于在数轴上一点（不与点、点重合），若线段与的长度之比为，则称叫做点、的“倍伴随点”，记作． 例如，图所示：若点是线段的中点时，有，则称点为点、的“倍伴随点”，记作． 请根据上述规定回答下列问题： (1)已知，如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是． ______； 比较、与的大小______（用“”连接）； (2)已知点是数轴上点、的“倍伴随点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)已知数轴上三点，，，点、分别为、的中点，满足，且此时点是点、的“倍伴随点”，求的值及点表示的数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版七年级上册第1章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据题意得到小行星距离与月球远地点距离的倍数关系，计算乘积后整理为符合要求的科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的倍，月球远地点距离约为米， 列式计算得：， 因此该小行星与地球的最近距离约为米． 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得到的范围：，，逐个判断选项． 【详解】解：A、数轴上在左侧，因此，故此选项错误； B、由得，，因此，故此选项正确； C、，，因此，故此选项错误； D、，因此，故此选项错误． 4．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 5．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 6．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 7．已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义解答即可． 【详解】解：由数轴图可知， ，，， ∴①③④错误，②正确，正确结论只有1个． 故选：A． 8．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． 结论①通过直接计算验证正确；结论②通过反例证明错误；结论③通过设三进制数为，然后展开计算证明． 【详解】解：①，故①正确； ②取三进制数，末位数字0能被2整除，但转换为十进制数，不能被2整除，故②错误； ③设三进制数为（为正整数），则 ， ∵，，，能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除， ∴能被整除， 故③正确， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．如果温度上升记作，那么温度下降记作______． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，温度上升记为正，则下降记为负，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵温度上升记作， ∴温度下降记作， 故答案为：． 10．比较大小：____(填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查有理数大小的比较，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵，， 又∵，，且， ∴， 故． 故答案为：． 11．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 12．的值等于____________． 【答案】或3 【分析】根据、的正负性（同正、同负、一正一负）分类讨论，结合绝对值的性质计算式子的值． 【详解】解：由题可知且， 分以下四种情况讨论： ①当时， ， 原式； ②当时， ， 原式； ③当时， ， 原式； ④当时， ， 原式， 综上，式子的值为3或． 13．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 【答案】乙卯 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据干支纪年法的计算规则，计算2035年对应的天干和地支余数，并对照表格得出农历年． 【详解】计算天干：，对应天干乙； 计算地支：，对应地支卯． ∴2035年为农历乙卯年， 故答案为：乙卯． 14．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若，则点C一定在线段外； ④若，则点C一定为线段的中点． 所有正确结论的序号是_____． 【答案】 ①②④ 【分析】本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，①根据加法法则判定a，b，c至少有一个小于0，据此可解；②根据有理数乘法法则，时，a、b、c中至少有一个正数，对应点在原点右侧；③当a和b异号时，c可能在线段上，不一定在外；④根据两点间的中点公式可判断； 【详解】解：①若，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个小于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧，故①正确； ②若，根据有理数乘法法则，a、b、c同正或两负一正，故至少有一个正数，即至少有一个点在原点右侧，故②正确； ③若，例如，，则，点C在线段上，故不一定在线段外，故③错误； ④若，则，由中点坐标公式，点C为线段的中点，故④正确． ∴正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 15．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 16．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】 解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…；······························1分 负分数集合…；······························2分 非负整数集合…；······························3分 有理数集合…······························5分 18．（5分）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)15 【详解】（1）解：原式 ；······························2分 （2）解：原式 ．······························5分 19．（6分）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，且．求： 的值． 【答案】0 【分析】本题考查相反数、倒数、平方，代数式求值，根据相反数、倒数、平方的定义，可得，，，代入所求代数式即可求解． 【详解】解： a和b互为相反数，c和d互为倒数， ，，······························2分 ， ， ，······························4分 ．······························6分 20．（6分）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一、三；二、三、四 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，小红错误的步骤是第二、三、四步；······························2分 （2）解： ．······························6分 21．（6分）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 【答案】(1)，3，1， (2) 解：． (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． （1）根据有理数的乘方的运算方法，相反数的求法，以及绝对值的含义和求法，化简a，b，c，d即可． （2）根据化简的结果，把这四个数在数轴上分别表示出来即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，用“”把a，b，c，d连接起来即可． 【详解】（1）解：化简a，b，c，d得，，，． 故答案为：，3，1，；······························4分 （2）解：．······························5分 （3）解：用“”把a，b，c，d连接起来是：． 故答案为：．······························6分 22．（8分）某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． (1)本周小明实际完成计算题共多少道？ (2)请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． 【答案】(1)53道 (2)方式B更有利 【分析】本题考查运用正负数的意义解决实际问题，有理数的混合运算，关键是能根据实际问题，结合正负数正确列出算式并计算； （1）按每天完成10道的标准，五天一共会完成道，再与将表格中数据相加即可得出实际完成的数量； （2）根据题意分别求得两种方式所得积分后比较大小即可． 【详解】（1）解：（道） 答：本周小明实际完成计算题共53道．······························3分 （2）解：方式A：（分）， 方式B：（分）， ∵， ∴选择方式B对小明更有利．······························8分 23．（8分）在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 【答案】(1) (2)计算结果的最大值为 【分析】本题主要考查了新定义运算、绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握新运算法则的分类讨论是解题的关键． （1）按照新运算法则，代入数值计算绝对值与代数和，再求平均值． （2）分两种情况讨论新运算的表达式，分别求出两种情况的最大值，再比较得最终结果． 【详解】（1）解： ；······························3分 （2）解：当 时，， ∵， ∴当时，此时最大值为 ； 当 时，， ∵， ∴当，时，最大值． ∵ ， ∴的最大值为 ．······························8分 24．（8分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这一周最后三天共生产______辆； (2)这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)①若该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ ②若将①中的“每日计件工资制”改为“每周计件工资制”，其他条件不变，问：这一周该厂是实行“每日计件工资制”工人的工资高，还是实行“每周计件工资制”工人的工资高？请说明理由． 【答案】(1)597 (2)26 (3)①98725元；②实行“每周计件工资制”工人的工资高 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先确定最后三天的增减量，计算每天实际产量再求和； （2）找出产量最多和最少的一天，计算差值即可； （3）①按每日产量计算工资并求和；②计算一周总增减量，按每周产量计算工资并比较． 【详解】（1）解：（辆）， 故这一周最后三天共生产辆；······························2分 （2）解：这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）；······························4分 （3）解：①每日计件工资制：（元）；······························6分 ②每周计件工资制：（元）， ∵， ∴实行“每周计件工资制”工人的工资高．······························8分 25．（10分）定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点．    (1)若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． (2)在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 【答案】(1)①3；②或6 (2)3.1或3.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值意义，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是理解跟随点的定义． （1）①首先求出，，，然后根据求解即可； ②首先求出，，，然后根据分情况求解即可； （2）首先得到运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后表示出，，，然后根据分情况求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为1，点表示的数为3，点表示的数为5 ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的3倍跟随点；······························2分 ②设点表示的数是p ∴，，， ∵点是线段的4倍跟随点 ∴ 当时， 解得； 当时， ∴，不符合题意； 当时， 解得； 综上所述，点表示的数是或6；······························4分 （2）解：根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∵点是线段的2倍跟随点 ∴ ∴ ∴ ∴当时， 解得，不符合题意； ∴当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，不符合题意； 综上所述，的值为3.1或3.5．······························10分 26．（10分）已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为对于在数轴上一点（不与点、点重合），若线段与的长度之比为，则称叫做点、的“倍伴随点”，记作． 例如，图所示：若点是线段的中点时，有，则称点为点、的“倍伴随点”，记作． 请根据上述规定回答下列问题： (1)已知，如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是． ______； 比较、与的大小______（用“”连接）； (2)已知点是数轴上点、的“倍伴随点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)已知数轴上三点，，，点、分别为、的中点，满足，且此时点是点、的“倍伴随点”，求的值及点表示的数． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)，点表示的数为；点表示的数为 【分析】（1）求出，，根据“倍伴随点”的定义，进行求解即可； 根据定义，结合点在数轴上的位置，进行比较即可； （2）根据点是数轴上点、的“倍伴随点”，结合定义进行求解即可； （3）分在点左侧，和在点右侧，进行讨论求解即可． 本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，掌握“倍伴随点”的定义是关键． 【详解】（1）由图可知：，， ， ， 故答案为：；······························2分 由题意，得：， 由图可知：，， 分数的分子越大，分母越小，分数就越大， ， ， 故答案为：；······························4分 （2）点是数轴上点、的“倍伴随点”， ， ， 设：点所表示的数为， 当在中间时：，解得：； 当在的右侧时：，解得：； 综上：点表示的数为：或； 故答案为：或；······························6分 （3）设点表示的数为， 当在点左侧时，，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ； 当在点右侧时，，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ； 综上：，点表示的数为；点表示的数为．······························10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $