第十五章 轴对称 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学轴对称单元复习卷，以省运会等社会热点为情境，梯度设计试题覆盖轴对称图形识别、性质及应用，注重几何直观与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别（第1题省运会图形）、性质（第2题对称点连线）|情境时代性，基础概念辨析| |填空题|6/18|对称性质（第11题对称角计算）、网格对称（第12题）|空间观念与抽象能力结合| |解答题|8/72|作图（17题轴对称作图）、综合证明（24题“将军饮马”模型应用）|模型意识与推理能力，问题层次性强|

第十五章 轴对称（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、山东省第二十五届运动会在日照成功举办，下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2、平面内，下列关于轴对称的说法中，正确的是（   ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．对称点连线是对称轴的垂直平分线 C．等腰三角形的对称轴是它底边上的中线 D．成轴对称的两个图形一定全等 3、下列尺规作图求作上点D，使得△ACD的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 4、 如图，在△ABC中，CB=AC，DE垂直平分AC，垂足为E，交BC于点D，若∠B=70°，则∠BAD=（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5、直线，将等边△ABC如图放置，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6、如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ADC的周长为13cm，则AE的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 7、如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8、如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9、如图，等腰直角△ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（　　） A. B. C. D. 10、如图，△ABC为等边三角形，为延长线上一点，CE=BD，平分，下列结论:(1)；(2)；(3)△ADE是等边三角形，其中正确的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，点D与点D'关于AE对称，∠CED'＝60°，则∠AED的度数为____． 12、如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有_________ 个． 13、如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的度数为____． 14、如图，在△ABC中，，点E在的延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为_____． 15、如图，在中，，边的垂直平分线交于点，平分，则_______． 16、如图，已知，为内一定点；分别是射线，射线上的点，若△PMN的周长最小值为，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 如图，已知△ABC． （1）画△ABC关于x轴对称的； （2）在轴上画出点，使最短． 18、如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝CD，∠BAC＝100°，求∠BAD的度数． 19、如图，，相交于点，求证：点在的垂直平分线上． 20、如图， △ABC是等腰直角三角形，，为延长线上一点，点在上， 的延长线交于点， ．求证： ． 21、如图，△ABC中，D，E是BC边上的点，AD＝AE，BD＝CE． （1）说明△ABE≌△ACD的理由； （2）说明∠1＝∠2的理由． 22、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，AB＝DC，AE＝DE，∠AED＝90°，连接BE． （1）说明BE＝CE的理由； （2）若∠ABC＝60°，求∠ABE的度数． 23、如图， △ABC是等边三角形，延长到点，延长到点，使，连接，延长交于． （1）求证: △ACE≌△CBD； （2）求的度数． 24、综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， ____=____． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则△APC周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，的大小是为________度． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、山东省第二十五届运动会在日照成功举办，下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 2、平面内，下列关于轴对称的说法中，正确的是（   ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．对称点连线是对称轴的垂直平分线 C．等腰三角形的对称轴是它底边上的中线 D．成轴对称的两个图形一定全等 【答案】D 【详解】解：A. 两个全等三角形不一定关于某条直线成轴对称，故该选项不正确，不符合题意； B.对称轴是对称点连线的垂直平分线，故该选项不正确，不符合题意； C. 等腰三角形的对称轴是它底边上的中线所在直线，故该选项不正确，不符合题意； D. 成轴对称的两个图形一定全等，故该选项正确，符合题意； 3、下列尺规作图求作上点D，使得△ACD的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：当垂直平分交于点D时， ∴， ∴△ACD的周长． 4、 如图，在△ABC中，CB=AC，DE垂直平分AC，垂足为E，交BC于点D，若∠B=70°，则∠BAD=（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】A 【详解】解：∵CB=CA， ∴∠B=∠BAC=70°， ∴∠C=180°﹣70°﹣70°=40°． ∵DE垂直平分AC， ∴∠DAC=∠C=40°， ∴∠BAD=30°． 5、直线，将等边△ABC如图放置，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， 6、如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ADC的周长为13cm，则AE的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】A 【详解】 DE是AB的垂直平分线， ， △ABC的周长为19cm △ADC的周长为13cm， cm， cm 7、如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【详解】解：如果点也是图中的格点，且是等腰三角形，则点有个，如图： 8、如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 9、如图，等腰直角△ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴， ∴AD=5，OD=2， ∵△ABO为等腰直角三角形， ∴OA=BO，∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°， ∴∠DAO=∠BOE， 在△ADO和△OEB中， ， ∴△ADO≌△OEB（AAS）， ∴AD=OE=5，OD=BE=2， ∴DE=OD+OE=5+2=7． 10、如图，△ABC为等边三角形，为延长线上一点，CE=BD，平分，下列结论:(1)；(2)；(3)△ADE是等边三角形，其中正确的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【详解】∵△ABC是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， 在和中 ， ，故（2）正确； ∴ ∴，故（1）正确； ∴△ADE是等边三角形，故（3）正确． ∴正确的有结论有3个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，点D与点D'关于AE对称，∠CED'＝60°，则∠AED的度数为____． 【答案】60° 【详解】解：由对称的性质可得， 又∵， ∴， 故答案为． 12、如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有_________ 个． 【答案】 【详解】解：将其中一个小方格中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为： 故答案为：3． 13、如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的度数为____． 【答案】75° 【详解】解：△ABC是等边三角形，∴， ∵AD⊥BC ∴平分，即 又∵ ∴ ∴ 故答案为 14、如图，在△ABC中，，点E在的延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为_____． 【答案】7 【详解】解：在△ABC中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：7． 15、如图，在中，，边的垂直平分线交于点，平分，则_______． 【答案】 【详解】垂直平分AB， ∴ ， ． ∵AD平分， ， ． ， ， ， ． 故答案为：30． 16、如图，已知，为内一定点；分别是射线，射线上的点，若△PMN的周长最小值为，则__________． 【答案】 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，连接． ∵点关于的对称点为，关于的对称点为， ∴； ∵点关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴△PMN的周长的最小值． ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 如图，已知△ABC． （1）画△ABC关于x轴对称的； （2）在轴上画出点，使最短． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【详解】（1）如图所示： （2）①作点A关于y轴的对称点， ②连接，交y轴于点D， 点D即为所求． 18、如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝CD，∠BAC＝100°，求∠BAD的度数． 【答案】30° 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=×（180°-100°）=×80°=40°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA=×（180°-∠C）=×（180°-40°）=×140°=70°， ∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=100°-70°=30°． 19、如图，，相交于点，求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【详解】证明：∵，， ∴（HL）， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 20、如图， △ABC是等腰直角三角形，，为延长线上一点，点在上， 的延长线交于点， ．求证： ． 【答案】证明见详解 【详解】证明：∵△ABC是等腰直角三角形，， ， ， ， 即， 又已知， ， ， 又， ， ， ， ， 即： 21、如图，△ABC中，D，E是BC边上的点，AD＝AE，BD＝CE． （1）说明△ABE≌△ACD的理由； （2）说明∠1＝∠2的理由． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ 在△ABE和△ACD中 ∴ （2）由（1）得 ∴ 由∵， ∴ 22、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，AB＝DC，AE＝DE，∠AED＝90°，连接BE． （1）说明BE＝CE的理由； （2）若∠ABC＝60°，求∠ABE的度数． 【答案】（1）见详解；（2）15° 【详解】解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE， ∴∠EAD=∠EDA=45°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=135°，∠EDC=180°-∠EDA=135°， ∴∠BAE=∠CDE， 在△BAE和△CDE中， ， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴BE=CE； （2）∵△BAE≌△CDE， ∴∠ECD=∠EBA， ∵∠ABC=60°，∠BAC=90°， ∴∠ACB=30°，∠EBA+∠EBC=60°， ∴∠ECD+∠EBC=60°， ∴∠EBC+∠ECD+∠ACB=90°， ∴∠BEC=90°， 又∵BE=CE， ∴∠BCE=45°， ∴∠ABE=∠DCE=∠BCE-∠BCA=15°． 23、如图， △ABC是等边三角形，延长到点，延长到点，使，连接，延长交于． （1）求证: △ACE≌△CBD； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见详解；（2）60° 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠CAB=∠ABC=60°， ∴∠DAC=∠ABE=120°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD， ∴AE=CD，∠BAE=∠ACD， ∴∠CAE=∠BCD， 在△ACE和△CBD中 , ∴△ACE≌△CBD； （2）∵△ABE≌△ACD， ∴∠E=∠D， ∴∠CFE=∠D+∠DAF =∠E+∠EAB， =∠ABC， =60°． 24、综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， ____=____． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则△APC周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时△PAB周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $