第十五章 轴对称（单元分层自测·冲刺卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册数学第十五章轴对称单元冲刺卷，通过体育图标等生活情境、折叠与动点等分层问题考查轴对称核心知识，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别（第1题）、对称点坐标（第2题）|结合生活情境，基础概念与图形辨析结合| |填空题|6/18|等腰三角形性质（第12题）、尺规作图（第13题）|基础巩固与中档能力题结合，注重性质应用| |解答题|9/72|垂直平分线应用（第19题）、动点问题（第25题）|综合考查推理与创新意识，体现真题命题趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．（25-26七年级下·广东清远·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 9．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 12．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 13．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的度数为 _______． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 15．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 18．（6分）（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 19．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交、于点、，连接、． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 20．（6分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 21．（8分）（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 22．（8分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 23．（8分）已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离。 24．（12分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 25．（12分）（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A C B A D C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．/115度 12．/36度 13． 14．或或 15．1 16．3.9 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，射线即为所求： (3)如上图，直线即为所求． 【详解】（1）略·····························2分 （2）略·····························4分 （3）略·····························6分 18．（6分） 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略·····························3分 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ．·····························6分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出，再由周长得出，等量代换可得出，即； （2）由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，则，再由角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴， 即；·····························3分 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为．·····························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ；·····························3分 （2）略·····························6分 21．（8分） 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略·····························3分 （2）略·····························8分 22．（8分） 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略·····························2分 （2）略·····························4分 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ．·····························8分 23．（8分） 1．(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据等边对等角先得出，结合三角形内角和定理得到，再根据角的和差求解即可； （2）①先得出，，再得出，根据平行线的判定即可得证；②过点作于点，得出，即平分，根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．·····························2分 （2）①略．·····························5分 ②解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴，即平分， 又∵，， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴， 即点到的距离为．·····························8分 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ．·····························2分 （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为．·····························7分 （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴．·····························12分 25．（12分） 【答案】(1)9， (2)点和点在点处重合 (3)存在， (4)或 【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断； （2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值； （4）分别就和列方程求解可得； 【详解】（1）解：∵等边的边长为， ∴， ∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时， ∴第一次回到点的时间为：， 此时运动的距离为，运动到边上， 故答案为，；·····························2分 （2）解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点， 故点和重合时的位置为点；·····························4分 （3）解：存在，时，点、均在边上时，； 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意．·····························8分 （4）解：当点在上运动时，如图， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图，若， 由得， 解得． 当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直； 综上所述，当为或时， 与的某一边垂直；·····························12分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． A．人物、车轮两侧形态不对称，无对称轴，不符合题意； B．人物身体左右倾斜，两侧无法重合，无对称轴，不符合题意； C．一手持拍、一手摆开，左右造型不同，无对称轴，不符合题意； D．存在竖直中线，左右两边完全对称，是轴对称图形，符合题意． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 4．（25-26七年级下·广东清远·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠得，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴． 5．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 7．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可知，根据同角的余角相等可得，证明，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 9．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的外角性质以及两点之间线段最短．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小，利用三角形的外角性质和轴对称的性质，将转化为，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小， ∵点关于的对称点是，关于的对称点是， ∴，，，， ∵， ∴三点共线，三点共线， 在中，， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 12．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】由可知，，为等腰三角形，设，则，又由可知，为等腰三角形，则，在中，用内角和定理列方程求解． 【详解】解：， ，， 设， 是的一个外角， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 13．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的度数为 _______． 【答案】 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理可得，由作图方法可知平分，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可知平分， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①时，，则； ②当时，或； ③当时，，则， 综上：当是等腰三角形时，它的顶角的度数为或或． 15．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，射线即为所求： (3)如上图，直线即为所求． 【详解】（1）略·····························2分 （2）略·····························4分 （3）略·····························6分 18．（6分）（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略·····························3分 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ．·····························6分 19．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交、于点、，连接、． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出，再由周长得出，等量代换可得出，即； （2）由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，则，再由角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴， 即；·····························3分 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为．·····························6分 20．（6分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ；·····························3分 （2）略·····························6分 21．（8分）（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略·····························3分 （2）略·····························8分 22．（8分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略·····························2分 （2）略·····························4分 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ．·····························8分 23．（8分）已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离。 1．(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据等边对等角先得出，结合三角形内角和定理得到，再根据角的和差求解即可； （2）①先得出，，再得出，根据平行线的判定即可得证；②过点作于点，得出，即平分，根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．·····························2分 （2）①略．·····························5分 ②解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴，即平分， 又∵，， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴， 即点到的距离为．·····························8分 24．（12分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ．·····························2分 （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为．·····························7分 （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴．·····························12分 25．（12分）（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)9， (2)点和点在点处重合 (3)存在， (4)或 【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断； （2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值； （4）分别就和列方程求解可得； 【详解】（1）解：∵等边的边长为， ∴， ∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时， ∴第一次回到点的时间为：， 此时运动的距离为，运动到边上， 故答案为，；·····························2分 （2）解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点， 故点和重合时的位置为点；·····························4分 （3）解：存在，时，点、均在边上时，； 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意．·····························8分 （4）解：当点在上运动时，如图， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图，若， 由得， 解得． 当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直； 综上所述，当为或时， 与的某一边垂直；·····························12分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．（25-26七年级下·广东清远·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 9．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 12．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 13．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的度数为 _______． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 15．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 18．（6分）（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 19．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交、于点、，连接、． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 20．（6分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 21．（8分）（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 22．（8分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 23．（8分）已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离。 24．（12分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 25．（12分）（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $