2.5.2圆与圆的位置关系 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年“湘道杯”大赛 教学设计 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.2圆与圆的位置关系 参赛人： 罗 玲 学校名：道县第五中学 《圆与圆的位置关系》教学设计 课 题 人教版A版2019高中数学教材选择性必修第一册第二章 2.5.2 圆与圆的位置关系 课型：新授 授课教师：罗玲 课时：1课时 一、教学内容分析 本节内容《圆与圆的位置关系》是人教版A版2019高中数学教材选择性必修第一册第二章的知识点。 在此之前，学生已学习了圆的方程，直线与圆的位置关系。教材从前面已有的知识入手，引导学生从类比的方式，运用直线与圆的位置关系的研究方法，通过圆的方程定量计算圆与圆的位置关系，以具体问题获取经验，发现判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据两个圆公共点的个数判断两圆相交、相切、相离，从而得到利用两个圆的方程组成的方程组解的情况来判断的方法，即代数法；另一种是根据连心线的长与半径和或差的大小关系，利用方程求出连心线的长，比较连心线的长与两圆半径和差的大小关系来判断的方法，即几何法。并以例题的方式，进行实际运用，同时让学生总结不同位置关系时不同的数量关系，从数与形的量方面去加以认识，在对比和类比中加深对圆与圆的不同位置关系的认识和理解。 二、教学目标分析 学习目标 1．探究圆与圆的位置关系，有效发展学生的数学探究能力，实现知识的理解与深化； 2．探究两圆的位置关系及对应的数量关系，进一步培养学生的探索精神； 3．解决圆与圆的位置关系相关问题。 教学目标 (一)掌握圆与圆的位置关系及判定方法； (二)圆的方程判断圆与圆的位置关系； (三)能够在具体问题情境中选择合适的判断方法。 教学 重点、难点 1、教学重点:圆与圆的位置关系的判断方法； 2、教学难点:正确判断圆与圆的位置关系。 三、学情分析 （一）知识：在此之前已学习了圆的方程，直线与圆的位置关系，学习本节内容可以类比上述知识的研究方法； （二）能力：圆与圆的位置关系是以结论性的形式呈现，现在需要利用圆与圆的方程定量进行判断，在具备一定的逻辑思维能力的基础上，应进一步学习灵活地将几何问题转化为代数问题。 （三）情感：学生好奇心强求知欲旺盛，喜欢通过实际操作和探究来发现问题、解决问题。 四、学科素养 核心素养： (一)数学抽象：理解圆与圆的位置关系； (二)逻辑推理：判断圆与圆的位置关系； (三)数学运算：能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系； (四)直观想象：能够借助信息技术工具感受几何直观和空间想象，感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题。 五、教学方法 (一)启发式教学：通过提问、引导等方式，激发学生的学习兴趣，启发学生的数学思维； (二)直观演示法：利用多媒体课件及Geogebra 演示，直观展示圆与圆的位置关系，帮助学生理解判定方法； (三)讨论合作法：组织学生分组讨论，通过交流、合作等方式，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。 六、教学资源 教材、教学参考书、PPT课件、Geogebra数学软件、deepseek模型 学科网（北京）股份有限公司 七、教学过程 教学环节 教学活动 设计意图 一、创设情境，问题探究 一、创设情境，问题探究 一、创设情境，问题探究 1、用“打水漂”的小游戏吸引学生，用多媒体设备播放“打水漂”的视频，并引入圆，用多媒体设备播放“打水漂”的视频，引导学生对圆与圆的位置关系的思考。 问题1:这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 学生活动预设：相交，相切，相离。 (学生踊跃发言，课堂气氛活跃。) 2、用数学软件Geogebra演示圆与圆的位置关系的动画效果，结合初中所学的知识，回顾并描述圆与圆的位置关系。 问题2：随着两圆的相对位置变化，公共点个数又分别是多少？ 学生活动预设：相离，无交点；外切，一个交点；相交，两个交点；内切，一个交点；内含，无交点。 （基于以上教学铺垫，在学生对知识有了初步的回顾后，进一步引导学生用直线与圆的位置关系猜想圆与圆的位置关系。） 问题3：能不能通过类比，猜想圆与圆的位置关系的判断方法呢？（希沃计时，进行小组讨论） 学生活动预设：5组举手发言，得出结论。 【设计意图】以日常生活中的“打水漂”游戏引入圆，激发学生兴趣，并通过多媒体播放相关视频的方式，让学生观察发现圆与圆之间位置的变化，唤醒学生已有的学习经验，从而进行问题探究，培养学生提出问题和分析问题的能力。 【设计意图】通过信息技术融合，利用Geogebra软件，对圆与圆之间位置的变化进行直观展示，并在已有知识的基础上，以问题为导向，引导学生从位置关系的变化中，发现圆与圆位置关系的判断方法。 【设计意图】通过回顾直线与圆的位置关系的探究方法，引导学生将其和圆与圆的位置关系进行类比猜想，以小组讨论的方式让学生共同解决问题，并适时地给予引导和帮助，培养学生分析问题和解决问题的能力。 二、典例分析，思考探究 二、典例分析，思考探究 二、典例分析，思考探究 二、典例分析，思考探究 接下来通过分析例题，尝试运用两种判断方法。    教师活动：从方程的视角引导学生通过代数运算求解方程组,可从两种思路进行分析： 【设计意图】从方程的视角引导学生通过代数运算求解方程组，以此来判断圆与圆的位置关系，两圆相交后，以思考题的方式引导学生认识理解公共弦所在的直线方程。同时引导学生用几何法解决问题，感受到通过距离来刻画圆与圆的位置关系是更加精细、更为准确的。 【设计意图】引导学生在分析总结方法的过程中发现通过方程的解的个数判断圆的位置关系不够精确，对外切与内切、外离与内含无法进一步区分，为几何法与代数法对比优势做铺垫。并在对两种解法进行对比分析后，使学生能够在面对具体问题情境时作出合适方法的选择，优化答题策略。 【设计意图】生成 式AI工具的新奇性和交互的个性化特征,可以使每个学生都能主动参与课堂,同时学生利用生成式AI软件赋能学习，通过对话培养学生的问题意识,能解决学生的困惑,并且使得师生间的互动大量增加,远超传统课堂。 思路1 ： 圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定。  思考1： 画出圆C1与圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ 学生活动预设：发现表示的是两圆公共弦所在是直线方程 思考2：为什么不需要把圆C1与圆C2的两个公共点A、B的具体坐标求出来？ 学生活动预设：本题只要判断画出圆C1与圆C2圆是否有公共点，以及公共点的个数。所以并不需要求出公共点的坐标，因此不必解出方程4，具体求出两个实数根，借助的正负性判断根的个数即可。 思路2 ： 借助图形，可以依据连心线的长(圆心距)与两半径的和r1+r2的或两半径差的绝对值|r1ￚr2|的大小关系，判断两圆的位置关系. 问题4 如果两圆方程联立消元后得到的方程的∆＝0,它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢? 学生活动预设：当∆＝0时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切, 但不能确定两圆是内切还是外切.还要根据两圆的半径与圆心距作进一步判断. 追问：当∆<0时，两圆是什么位置关系? 学生活动预设：当∆< 0时, 方程组没有解, 此时两圆无公共点，但不能确定两圆是外离还是内含.   问题5 对比例5的两种解法：代数法与几何法，说一说各自的优势。 学生活动预设： 代数法：因为涉及二次方程的消元运算，总体上运算量较大，对位置关系的准确判断只限于两圆相交的情况，对外切与内切、外离与内含无法进一步区分，并且可以求出交点，但在相交的前提下，容易获得公共弦的直线方程，进而可以求解与公共弦相关的量。 几何法：通过圆心距与半径的和（差）的大小比较，运算量相对较小，而且能够精准判断圆与圆的位置关系，但在相交的情形下无法直接求解公共弦的直线方程， 需要通过方程运算获得公共弦的直线方程。 教师活动：数学课堂教学往往伴随着问题解决, 而生成式AI工具本身是基于问题驱动的,同时学生的学习能力可以通过一系列问题的提出、分析、解决而得到发展。现在我们用deepseek来分析一下两种方法的优缺点，看是否与大家分析的结果一样。 （点击ppt上网页链接，输入：人教版A版2019高中数学教材选择性必修第一册第二章，2.5.2 圆与圆的位置关系， 对比例5的两种解法：代数法与几何法，说一说各自的优势，deepseek深度思考后回答：） 学生活动预设：与自主总结的两种方法的优势进行比较与讨论，并提出一些新问题，尝试使用deepseek解答，整个环节参与积极性高。下图是学生deepseek对话的部分截屏： 三、巩固练习，感悟方法 三、巩固练习，感悟方法 翻到课本98页练习题1、2，学生自主解答，并请两位同学到班班通上展示答题过程，并用deepseek批改。 学生活动预设： deepseek批改： 教师及时评价： 学生活动预设： deepseek批改： 教师及时评价： 【设计意图】通过练习加深对圆与圆的位置关系的理解，并且能够更加熟练地根据问题中所给条件选择适当的方法，解决问题更高效。同时也能及时评价，使学生能够发现解题过程中的知识漏洞，进而有针对性地进行查漏补缺。并且在用 DeepSeek 这类AI式生成工具批改问题的时候，可生成针对错误步骤给出的定制化改进建议，但仍需结合教师评价确保学生能够抓住解题重点。 四、小结提升，构建框图 【设计意图】通过学生自主回顾和梳理所学知识，形成知识框图，促进知识的整合与迁移，有助于加深学生对圆与圆的位置关系的理解，提高解决问题的能力。 五、布置作业，及时反馈 【设计意图】布置两种不同类型的作业：基础性作业，有利于学生掌握圆与圆的位置关系的相关知识及其应用，为后续学习打下坚实基础；探究性作业，基于本节内容的延伸，以“探索”为基础，主动思考，动手操作，相对独立地完成任务，从中获得探究所得的经验，并使学生养成积极探索的习惯。 六、板书设计 教学反思 本节课从日常生活中的游戏引入圆，激发学生兴趣，并通过多媒体播放相关视频的方式，让学生观察发现圆与圆之间位置的变化，唤醒学生已有的学习经验，从而进行问题探究，培养学生提出问题和分析问题的能力，发展直观想象能力与数学建模思想，并且通过使用模型演示、问题解决、小组讨论等不同类型的学习活动，培养学生自主学习、探究学习、合作学习等学习方式，从而提高获取新知的能力。并采用了多种信息技术结合教学环节，让教学课堂容量增加，提高了课堂效率，加强了课堂交流互动，提升了学生信息技术素养，使得对学生核心素养的培养在课堂教学中落到了实处。 $$