2.5.2圆与圆的位置关系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系 【学习目标】 1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法． 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题． 【学习重难点】重点：会判断两圆的位置关系. 难点：利用圆与圆的位置关系解决简单问题. 【知识梳理】 圆与圆的位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 说明：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法． (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线． 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　 ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　 ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　 ) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.圆C1：(x－4)2＋y2＝4与圆C2：x2＋(y－3)2＝16的位置关系是(　 ) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 解析：选B　因为|C1C2|＝＝5，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4，所以|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，所以C1，C2相交，故选B. 3．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝r2(r>1)有两个交点，则r的取值范围是(　 ) A．(1，＋1) B．(2－1,2＋1) C．(1，＋1] D．[2－1,2＋1] 解析：选B　由题意知，圆心C1(0,0)与圆心C2(2,2)，则圆心距|C1C2|＝2，因为圆C1与圆C2有两个交点，则圆C1与圆C2相交，则r－1<|C1C2|<r＋1，解得2－1<r<2＋1. 【典例分析】 例1、已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为 (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)， 半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝ ＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5， 即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当r1－r2<|C1C2|<r1＋r2， 即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>r1＋r2，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<r1－r2，即0<a<3时，两圆内含． 变式、圆O：x2＋y2＝4与圆M：x2＋(y－5)2＝4的公切线条数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　由圆O：x2＋y2＝4，则圆心O(0,0)，半径为r1＝2，圆M：x2＋(y－5)2＝4，则圆心M(0，5)，半径r2＝2，所以两圆圆心距|OM|＝5>r1＋r2，所以圆O与圆M的位置关系为外离，则圆O与圆M的公切线条数为4. 例2、已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交； (2)求公共弦所在直线方程和公共弦长； (3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程． 解：(1)证明：将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5. 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝. 又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－， ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0. 法一　圆C1的圆心为(1，－5)， 其到公共弦所在直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3， ∴公共弦长l＝2＝2＝2. 法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组 解得或即A(－4,0)，B(0,2)， ∴|AB|＝＝2，即公共弦长为2. (3)所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)， 整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(10＋2λ)y－24－8λ＝0， 此圆经过点(1,0)，代入上述方程，解得λ＝－5. ∴该圆方程为x2＋y2＋3x－4＝0. 总结： 两圆公共弦所在直线方程：圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程.(联立消去平方项) 补充说明：①若与相切，则表示其中一条公切线方程；②若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 变式、圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析　方法一　由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 例3、求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则＝r＋1①.又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，故＝②.＝r③. 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 变式、已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________________________________________________． 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 【当堂训练】 1.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________. 答案　1 解析　将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，所以a＝1. 2．已知圆的公共弦所在直线恒过定点M，且点M在直线上，则的最小值为(　　) A． B． C． D． C【解析】由圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0，可得圆C1和C2的公共弦所在的直线方程为k(x－2y)＋(y－1)＝0，联立解得即点M(2，1)．又因为点M在直线mx＋ny＝2上，即2m＋n＝2，又由原点到直线2x＋y＝2的距离为d＝＝，即 的最小值为.故选C． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 【学习目标】1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法． 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题． 【学习重难点】重点：会判断两圆的位置关系. 难点：利用圆与圆的位置关系解决简单问题. 【知识梳理】 圆与圆的位置关系的判断 1.代数法：设两圆的一般方程为:， ，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为，两圆连心线的长为，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 圆心距与半径的关系 图示 说明：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法． (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线． 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　 ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　 ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　 ) (4)若两圆有公共点，则.(　 ) 2.圆与圆的位置关系是(　 ) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 3.已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 【典例分析】 例1、已知圆，圆．试求为何值时，两圆的位置关系为 (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 变式、圆与圆的公切线条数为(　 ) A． B． C． D． 例2、已知两圆和. (1)求证：圆与圆的位置关系是相交； (2)求公共弦所在直线方程和公共弦长； (3)求经过点以及圆和圆交点的圆的方程． 变式、圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为________________． 例3、求与圆外切且与直线相切于点的圆的方程． 变式、已知以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程是______________________． 【当堂训练】 1.若圆与圆的公共弦长为，则＝________. 2．已知圆的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $