2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕直线与圆的位置关系，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，实现从概念理解到实际应用的知识巩固，适配新授课教学，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|位置关系判断、距离公式直接应用|选择1直接考查位置关系，夯实概念理解| |技能应用|含参数问题、相切相交性质综合|多选11结合反射光线考查相切，提升推理能力| |综合拓展|实际情境建模、多知识点融合|解答16航海触礁问题，培养模型意识与应用能力|

2.5.1 直线与圆的位置关系 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）圆与直线的位置关系为(  ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 【答案】C 【解析】由整理得，由此可得直线恒过定点. 将代入圆方程左侧得，故点在圆内部，从而直线恒过圆内一点，可得直线与圆相交. 故选：C. 2.圆上到直线的距离等于1的点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由题意知，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 当，此时圆上有个点满足， 当，此时圆上有个点满足， 所以圆上到直线距离为的点的个数为.故C正确. 故选：C. 3.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为，过一、四象限. 直线过定点. 故两交点只能在第一象限. 圆与轴交点为，. 直线过点时，. 直线与圆相切时，设圆心到直线距离为. 则，解得. 结合图像，. 故答案选：D. 4.过点P(－，－1)的直线与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示， 要使过点P的直线l与圆有公共点，则直线l在PA与PB之间，因为sin α＝， 所以α＝，则∠AOB＝2α＝，所以直线l的倾斜角的取值范围为. 5.半径长为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y＝0和x－y－6＝0均相切，则该圆的标准方程可能为(　　) A.(x－1)2＋(y－)2＝1 B.(x－)2＋(y－1)2＝1 C.(x－1)2＋(y＋)2＝1 D.(x－)2＋(y＋1)2＝1 【答案】D 【解析】如图所示，由题意可设圆心坐标为(a，－1)，r＝1.则＝1，即|a－5|＝2，解得a＝或a＝.结合选项可得，所求圆的方程可以为(x－)2＋(y＋1)2＝1. 6.过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)则圆C的方程是(　　) A.(x－5)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝4 C.(x－5)2＋y2＝4 D.(x－3)2＋y2＝2 【答案】D 【解析】∵直线x－y－1＝0的斜率为1， ∴过点B的圆的直径所在直线的斜率为－1. ∵B(2,1)， ∴此直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 设圆心C的坐标为(a，3－a)， ∵|AC|＝|BC|， 即＝， 解得a＝3， ∴圆心C坐标为(3,0)，半径为. ∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.故选D. 7.已知圆C： x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 【答案】A 【解析】将点P(3，0)代入圆C的方程， 得32+02-4×3=9-12=-3<0， ∴点P(3，0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. 8.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小区域的面积是(　　) A. B. C. D.π 【答案】D 【解析】如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的，即×π×22＝π． . 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·广东高二期中）已知直线与圆，则（   ） A.直线与圆C相离 B.直线与圆C相交 C.圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D.圆C上到直线的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【解析】圆方程，其圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离. 因为，所以直线与圆相交，B正确，A错误. 圆的半径，圆心到直线距离，则与直线距离为且平行的直线， 一条过圆心与圆有两个交点，另一条与圆相切有一个交点， 所以圆上到直线的距离为的点共有个，D正确，C错误. 综上，答案是BD. 10.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.－2 D. 【答案】AB 【解析】由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2. 又直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离d＝＝. 又d＝， 所以|a－2|＝2， 解得a＝4或a＝0. 11.由点A(－3,3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为(　　) A.4x－3y－3＝0 B.4x＋3y＋3＝0 C.3x＋4y－3＝0 D.3x－4y＋3＝0 【答案】BC 【解析】已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它关于x轴对称的圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1， 设光线l所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3＝0， 由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1， 即d＝＝1. 整理得12k2＋25k＋12＝0， 解得k＝－， 或k＝－. 故所求的直线方程是y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)， 即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 三、填空题（共3小题） 12.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为                  . 【答案】1或5 【解析】根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切， 则圆心C在直线y＝x或y＝－x上， 当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2， 将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2， 即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5， 此时圆的半径长为1或5； 当圆心C在y＝－x上时， 设圆心C的坐标为(a，－a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2， 将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2， 即a2＋2a＋5＝0，方程无解， 综上所述，圆的半径长为1或5. 13.圆的圆心到直线的距离为1，则的值为                  . 【答案】 【解析】由得， 所以该圆的圆心坐标为， 因此圆心到直线的距离，即，两边平方整理得，解得：. 14.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是                  . 【答案】-2 【解析】从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2，即-2=-2. 四、解答题（共2小题） 15.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 【答案】解　(1)将圆C的方程化标准方程为x2＋(y－1)2＝5， 所以圆心为C(0，1)，半径r＝. 圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离D＝＝<1<， 因此直线l与圆C相交. (2)设圆心C到直线l的距离为D， 则D＝＝. 又D＝，则＝，解得m＝±1， 所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 16.如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】解　(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 解得 ∴圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)该船初始位置为点D，则D(-20，-20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航线所在直线为直线l：x-y+20-20=0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r=10， 由于圆心C到直线l的距离 d==10<10， 故该船有触礁的危险. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）圆与直线的位置关系为(  ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 2.圆上到直线的距离等于1的点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4.过点P(－，－1)的直线与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.半径长为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y＝0和x－y－6＝0均相切，则该圆的标准方程可能为(　　) A.(x－1)2＋(y－)2＝1 B.(x－)2＋(y－1)2＝1 C.(x－1)2＋(y＋)2＝1 D.(x－)2＋(y＋1)2＝1 6.过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)则圆C的方程是(　　) A.(x－5)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝4 C.(x－5)2＋y2＝4 D.(x－3)2＋y2＝2 7.已知圆C： x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 8.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小区域的面积是(　　) A. B. C. D.π . 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·广东高二期中）已知直线与圆，则（   ） A.直线与圆C相离 B.直线与圆C相交 C.圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D.圆C上到直线的距离为1的点共有3个 10.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.－2 D. 11.由点A(－3,3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为(　　) A.4x－3y－3＝0 B.4x＋3y＋3＝0 C.3x＋4y－3＝0 D.3x－4y＋3＝0 三、填空题（共3小题） 12.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为                  . 13.圆的圆心到直线的距离为1，则的值为                  . 14.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是                  . 四、解答题（共2小题） 15.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 16.如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 学科网（北京）股份有限公司 $