2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系（第1课时）”，核心内容包括三种位置关系的定义、几何法与代数法判断方法，以及切线方程、弦长求解。课堂导入通过古诗“海上生明月”结合日出动态视频，引导学生直观感知位置变化，回顾初中定义后类比两条直线位置关系的研究方法，构建从形到数的学习支架。 此资料特色突出核心素养培养，以生活场景激发数学眼光，通过类比探究发展数学思维，规范步骤训练数学语言。习题精选各地期末模拟题，分层覆盖重点难点，辅以动态动画帮助理解，助力学生自主学习，也便于教师评估教学效果。

2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（导学案） 1. 理解直线和圆的三种位置关系． 1. 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 1. 会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 1. 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题． 重点： 1. 直线与圆相交、相切、相离的定义及几何法、代数法判断方法。 1. 求圆的切线方程（过圆上一点、过圆外一点）。 1. 求直线被圆截得的弦长。 难点： 1. 从圆的一般方程中准确提取圆心坐标和半径（符号处理易出错）。 1. 联立方程消元整理一元二次方程的过程（计算量大，易漏项）。 1. 面对具体问题，能根据条件特征灵活选择几何法或代数法，以及过圆外一点求切线时斜率不存在情况的讨论。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 [想一想]　当直线经过圆内一点时，直线与圆的位置关系是怎样的？ 提示：相交． 知识点二　直线与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离为d. d>r⇔直线l与圆M相离； d＝r⇔直线l与圆M相切； d<r⇔直线l与圆M相交． [拓展]　切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝. 视频引入 教师：古诗里描写道：“海上生明月，天涯共此时.”，它生动地描绘了月出的绚丽景象.大家有没有想过，在月出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识. 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线， 那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？ 设计意图：以古诗与日出场景联结生活与数学，激发兴趣，让学生直观感知直线与圆的位置变化，自然引出课题. 教学建议：可播放日出动态视频或展示动态课件，引导学生观察圆与直线公共点数量变化，鼓励学生主动描述发现. 学生：思考并回顾初中知识，马上得出答案回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 教师：教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法. 设计意图：直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的. 教师：在前面平面解析几何学习中，我们学习了：① 直线的方程，圆的方程； ② 用方程研究两条直线的位置关系，请思考： 类比用方程研究两条直线位置关系的方法， 如何利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的三种位置关系呢？ 学生：类比思考，带着问题进入本届新课. 回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 学生：回顾所学知识，翻阅相关笔记，得出答案 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 探究：类比以上方法，得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 师生：类比探究，与同桌进行讨论，得出答案，教师巡视，适当提示. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数， 从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系. 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：联立直线与圆的方程，得 消去，得， 所以方程③有两个解，直线与圆有两个公共点 所以，直线与圆相交的位置关系为：相交． 教师：以上判断直线与圆的位置关系的方法，称之为代数法. 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 师生：共同分析，已判断直线与圆有两个交点，若能求出两个交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 学生：根据共同分析的思路进行自主求弦长. 预设：解方程，得，． 把，分别代入方程①，得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此所求弦长． 师生：共同总结，1、代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 联立：将直线方程和圆的方程联立 ② 消元：消元得到一元二次方程 ③ 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 ④ 定论：根据∆的正负性，下结论 2、代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 学生：观看动画，思考分析，寻找其他方法判断直线与圆的位置关系. 教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ d: 圆心到直线的距离，r：圆的半径 学生：自主分析总结，并得出结论： 例1 已知直线和圆心为的圆，用几何法判断直线与圆的位置关系； 学生：根据刚刚的探究，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离． 所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 知识小贴士：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 师生：根据垂径定理，可以构造一个直角三角形，然后利用勾股定理即可求得弦长. 学生：根据共同分析的思路进行自主求弦长. 预设：解如图，由垂径定理，得， 解得 师生：共同总结，1、几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. ② 算d：计算圆心到直线的距离d， ③ 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 2、几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 学生：回顾初中知识，并比较总结，得出结论： 用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标 追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？ 学生：相互讨论和探讨，得出结论： 解法1，即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大. 解法2，即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系. 利用图形的几何性质，有助于简化计算. 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，联立消元后的一元二次方程只有个解，即，从而求出 学生：根据刚刚的共同分析，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 ， 只有一组解． 消元，得． ① 因为方程①只有一组解，所以 ． 解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 教师：以上求切线方程的方法为：代数法 师生：共同总结，1、代数法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算∆； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，圆心到直线的距离d=r，从而求出 学生：根据刚刚的共同分析，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设切线的斜率为，则切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ， 解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 师生：共同总结，1、几何法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程； 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 1.（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【详解】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 2.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 3.（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 4.（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 5.（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】切线长、定点到圆上点的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（导学案） 1. 理解直线和圆的三种位置关系． 1. 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 1. 会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 1. 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题． 重点： 1. 直线与圆相交、相切、相离的定义及几何法、代数法判断方法。 1. 求圆的切线方程（过圆上一点、过圆外一点）。 1. 求直线被圆截得的弦长。 难点： 1. 从圆的一般方程中准确提取圆心坐标和半径（符号处理易出错）。 1. 联立方程消元整理一元二次方程的过程（计算量大，易漏项）。 1. 面对具体问题，能根据条件特征灵活选择几何法或代数法，以及过圆外一点求切线时斜率不存在情况的讨论。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 相交 有 公共点 相切 只有 公共点 相离 公共点 [想一想]　当直线经过圆内一点时，直线与圆的位置关系是怎样的？ 提示：相交． 知识点二　直线与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M ； Δ＝0⇔直线l与圆M ； Δ<0⇔直线l与圆M ． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离为d. d>r⇔直线l与圆M ； d＝r⇔直线l与圆M ； d<r⇔直线l与圆M ． [拓展]　切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝. 视频引入 教师：古诗里描写道：“海上生明月，天涯共此时.”，它生动地描绘了月出的绚丽景象.大家有没有想过，在月出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识. 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线， 那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？ 设计意图：以古诗与日出场景联结生活与数学，激发兴趣，让学生直观感知直线与圆的位置变化，自然引出课题. 教学建议：可播放日出动态视频或展示动态课件，引导学生观察圆与直线公共点数量变化，鼓励学生主动描述发现. 学生：思考并回顾初中知识，马上得出答案回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 教师：教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法. 设计意图：直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的. 教师：在前面平面解析几何学习中，我们学习了：① 直线的方程，圆的方程； ② 用方程研究两条直线的位置关系，请思考： 类比用方程研究两条直线位置关系的方法， 如何利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的三种位置关系呢？ 学生：类比思考，带着问题进入本届新课. 回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 学生：回顾所学知识，翻阅相关笔记，得出答案 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 探究：类比以上方法，得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 师生：类比探究，与同桌进行讨论，得出答案，教师巡视，适当提示. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数， 从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系. 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 教师：以上判断直线与圆的位置关系的方法，称之为代数法. 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 师生：共同总结，1、代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 联立：将直线方程和圆的方程联立 ② 消元：消元得到一元二次方程 ③ 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 ④ 定论：根据∆的正负性，下结论 2、代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ d: 圆心到直线的距离，r：圆的半径 例1 已知直线和圆心为的圆，用几何法判断直线与圆的位置关系； 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 知识小贴士：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 师生：根据垂径定理，可以构造一个直角三角形，然后利用勾股定理即可求得弦长. 师生：共同总结，1、几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. ② 算d：计算圆心到直线的距离d， ③ 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 2、几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？ 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，联立消元后的一元二次方程只有个解，即，从而求出 教师：以上求切线方程的方法为：代数法 师生：共同总结，1、代数法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算∆； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 师生：共同总结，1、几何法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程； 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 1.（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4.（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 5.（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $