周周测16 6.1平面向量及其线性运算（数学人教B版必修第二册）

**基本信息** 聚焦平面向量线性运算，通过菱形、正六边形等几何情境及实际行走问题，融合概念辨析与逻辑推理，适配高一学生周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量相等与共线、充要条件判断|以菱形为背景考查向量运算（数学眼光）| |多选|3/18|正六边形向量关系、平行四边形性质|多选项辨析向量概念（推理意识）| |填空|3/15|向量化简、重心分比|符号语言表达向量关系（数学语言）| |解答|5/77|三点共线证明、实际行走路径|结合方向角情境探究模长（应用意识）|

2026-2027学年高一上学期数学周周测16 6.1平面向量及其线性运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以， 故选：A. 2．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（    ） ①，；②，；③， A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】根据向量共线的条件对①②③逐一分析，由此确定共线的向量. 【详解】①中，与显然共线；②中，因为，故与共线； ③中，设，得，无解，故与不共线. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查向量共线的条件，属于基础题. 3．设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由D是的中点，可得，由于，从而得，所以，可求得t的值. 【详解】解：因为D是的中点，所以， 又因为， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：B 【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 4．下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确. 故真命题的个数是1个. 故选：B 5．下列说法中，正确的个数为（    ） ①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同； ②在中，必有＝； ③若＝，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点； ④若，均为非零向量，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用向量加法的运算法则以及向量加法的几何意义逐一判断即可. 【详解】对于①，当非零向量与互为相反向量时，， 因为的方向是任意的，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当＝时，A，B，C三点可能共线，也可能不共线，故③错误； 与都是非零向量，， 当且仅当与同向时取等号，故④错误； 故选：B 6．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分.） 7．如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 8．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据相等向量、共线向量的概念，其中注意零向量与任何向量都平行或垂直，进而判断各项的正误. 【详解】A：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A错误. B：在平行四边形ABCD中与平行且方向相同，所以，故B正确. C：若，则，且与方向相同；若，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，所以，故C正确. D：当时，与不一定平行，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．点是所在平面内一点，若，则_______. 【答案】 【解析】画出三角形,根据可知在上且再判断即可. 【详解】如图所示, ∵点是所在平面内一点,且满足, ∴点在边上且. ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理应用,属于基础题型. 10．在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【详解】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测16 6.1平面向量及其线性运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在菱形中，下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量加法、减法法则可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A选项正确； 对于B选项，，B选项正确； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：C. 2．“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果. 【详解】当时，显然成立， 当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以， 故选：A. 4．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（    ） ①，；②，；③， A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】根据向量共线的条件对①②③逐一分析，由此确定共线的向量. 【详解】①中，与显然共线；②中，因为，故与共线； ③中，设，得，无解，故与不共线. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查向量共线的条件，属于基础题. 5．设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由D是的中点，可得，由于，从而得，所以，可求得t的值. 【详解】解：因为D是的中点，所以， 又因为， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：B 【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 6．下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确. 故真命题的个数是1个. 故选：B 7．下列说法中，正确的个数为（    ） ①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同； ②在中，必有＝； ③若＝，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点； ④若，均为非零向量，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用向量加法的运算法则以及向量加法的几何意义逐一判断即可. 【详解】对于①，当非零向量与互为相反向量时，， 因为的方向是任意的，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当＝时，A，B，C三点可能共线，也可能不共线，故③错误； 与都是非零向量，， 当且仅当与同向时取等号，故④错误； 故选：B 8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 10．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据相等向量、共线向量的概念，其中注意零向量与任何向量都平行或垂直，进而判断各项的正误. 【详解】A：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A错误. B：在平行四边形ABCD中与平行且方向相同，所以，故B正确. C：若，则，且与方向相同；若，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，所以，故C正确. D：当时，与不一定平行，故D错误. 故选：BC 11．已知非零向量，，下列说法中正确的是（    ） A．若，则与共线且反向 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】由等号成立的条件，可判断A；将两边平方可得，可判断B；如图构造以线段，为邻边的菱形，分析菱形的结构可判断C；将两边平方可得，可判断D 【详解】 对于：对非零向量，，由，当且仅当与共线且反向时取等号，可知正确； 对于：∵，∴，化简得，故正确； 对于：如图所示，，，且，以线段，为邻边作菱形，则，，又因为，即，所以，，所以与的夹角为，故C错误； 对于：∵，∴，解得或（舍），所以，当时，取得最大值，故正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算：________． 【答案】 【分析】利用向量的加减法化简即可. 【详解】． 故答案为： 13．点是所在平面内一点，若，则_______. 【答案】 【解析】画出三角形,根据可知在上且再判断即可. 【详解】如图所示, ∵点是所在平面内一点,且满足, ∴点在边上且. ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理应用,属于基础题型. 14．在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【详解】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．化简（1） （2）； （3）＋． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）方法一：将转化为，将转化为，利用向量的加法法则，即可求得答案.方法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案. （2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案. （3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案. 【详解】（1）方法一(统一成加法)： 方法二(利用)： （2）． （3） 16．（1）化简：； （2）已知两个非零向量和不共线，．求证：三点共线 【答案】（1）； （2）因为， ， 所以， 又因为有公共起点， 故三点共线． 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）根据已知条件及向量的线性运算，利用向量的共线定理即可求解. 【详解】（1）原式； （2）略 17．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 18．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 19．在中，已知，，． （1）求的值； （2）若，且，求在上的投影的取值范围． 【答案】（1）1，（2） 【分析】（1）由，两边平方化简可求得的值； （2）先表示出，，从而可得在上的投影为，然后由的不同取值范围求其值可得结果. 【详解】解：（1）因为，所以， ， 因为 ，， 所以，即 ，所以， （2）因为，且， 所以， 因为，，，， 所以， 由，得 ， 所以在上的投影为， 当时，， 因为，所以，所以， 时， 当且 时， 时，， 所以， 时，，所以 ， 综上，在上的投影的取值范围为. 【点睛】此题考查向量的模，向量上的投影，考查了分类讨论思想，考查了计算能力，属于中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测16 6.1平面向量及其线性运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在菱形中，下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 3．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（    ） ①，；②，；③， A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（    ） A． B． C．2 D．1 6．下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．下列说法中，正确的个数为（    ） ①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同； ②在中，必有＝； ③若＝，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点； ④若，均为非零向量，则． A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 10．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 11．已知非零向量，，下列说法中正确的是（    ） A．若，则与共线且反向 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算：________． 13．点是所在平面内一点，若，则_______. 14．在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．化简（1） （2）； （3）＋． 16．（1）化简：； （2）已知两个非零向量和不共线，．求证：三点共线 17．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 18．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    19．在中，已知，，． （1）求的值； （2）若，且，求在上的投影的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测16 6.1平面向量及其线性运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（    ） ①，；②，；③， A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（    ） A． B． C．2 D．1 4．下列命题： ①若，则；②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列说法中，正确的个数为（    ） ①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同； ②在中，必有＝； ③若＝，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点； ④若，均为非零向量，则． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分.） 7．如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 8．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．点是所在平面内一点，若，则_______. 10．在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $