专题06 平面向量及其线性运算8大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题06 平面向量及其线性运算8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、向量的有关概念 1 题型二、平面向量的加法运算 1 题型三、平面向量的减法运算 3 题型四、平面向量的数乘运算 5 题型五、平面向量的线性运算（重） 6 题型六、平面向量共线定理证明点共线、线平行 8 题型七、已知向量共线求参数（重） 10 题型八、平面向量共线定理的推论 14 B 综合攻坚・能力跃升 19 题型一、向量的有关概念 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 【答案】D 【详解】对于A，因为零向量有任意方向，故A错误； 对于B，因为单位向量就是模长为1的向量，方向任意， 故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，两个向量不相等时，当它们的方向不同，模长可以相等，故C错误； 对于D，两个向量相等指两个向量方向相同，且模长相等， 故当两个相等向量的起点相同时，终点一定相同，故D正确， 故选：D. 2．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 3．（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 4．“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．如图所示，在正方体中，下列向量相等的是 （ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】因为与是大小相等，方向相反，所以与是相反向量，故A错误； 因为与也是大小相等，方向相反，所以与也是相反向量，故B错误； 因为，所以与不是相等向量，故C错误； 因为与是大小相等，方向相同，所以与是相等向量，故D正确； 故选：D 6．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】如图，两两互不相等的向量有，共8个. 故选:B. 题型二、平面向量的加法运算 7．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 8．已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是两个非零向量，且方向相同时，， 当不共线或反向共线时，， 所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. 9．已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，所以既是的中点，又是的中点， 所以， 故选：D 10．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选:D. 11．如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 12．已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 【答案】1 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 题型三、平面向量的减法运算 13．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 14．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 故选：D 15．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】， ，所以是等边三角形. 故选：A. 16．（多选）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 17．在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 18．四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 题型四、平面向量的数乘运算 19．若，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，有； 反之，取，，有，而不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 20．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 故选：C． 21．已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 22．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 【答案】B 【详解】因为向量表示“从点向正东走3米”，所以表示“从点向正东走6米”， ， 因为向量表示“从点向正北走4米”，所以向量表示“从点向正南走2米”， 故从点到这株花卉的位置可以先向正东走6米，再向正南走2米. 故选：B 23．正六边形中，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可作图如下： 由图可知. 故选：A. 24．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则 . 【答案】 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故答案为：. 25．已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 题型五、平面向量的线性运算 26．在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则为的中点， 因为，所以， 则， 而， 则，即. 故选：D.    27．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． 28．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 29．已知菱形的边长为，且，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： ，所以，. 故选：C. 30．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 【答案】 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 31．已知平面上不共线的四点，若，则 【答案】 【详解】由，得，即， 所以， 所以，即， 故答案为： 题型六、平面向量共线定理证明点共线、线平行 32．已知向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 选项A，， 若三点共线，则，即，即，解得，故A正确； 选项B，，若三点共线，则，即，即，解得不存在，故B错误； 选项C，，若三点共线，则，即，即，解得不存在，故C错误； 选项D，， 若三点共线，则，即，即，解得不存在，故D错误． 故选：A 33．已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 34．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四边形为平行四边形，且对角， 对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意； 对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意； 对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意； 对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意. 故选：A. 35．已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 【答案】C 【详解】由题意可得：， 则， 故与共线，且， ∴四边形ABCD是梯形． 故选：C. 36．是所在平面上一点，满足，则的面积与的面积的比值为 . 【答案】 【分析】 【详解】由得， ，，且， 设的边上的高为， 则，， 的面积与的面积的比值为. 故答案为：. 37．如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． 38．如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 题型七、已知向量共线求参数 39．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 40．已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【详解】由题意，设，则， 则，解得. 故选：B. 41．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 42．已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 43．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 【答案】 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 44．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 【答案】12 【详解】由题意有，， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以， 所以． 故答案为：. 题型八、平面向量共线定理的推论 45．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 46．如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 47．若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 48．如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】在正方形中，， 则， 而，则， 又点共线，所以，即， 因为是线段上的动点，所以， 令，则， 则， 令，易知在上单调递减， 所以，所以， 故，即的最小值为． 故答案为： 49．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 50．在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 【答案】4 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 故答案为：4. 1．已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 2．已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 因此，所以三点共线； 另一方面，当三点共线时， 若四点也共线，设， 则， 若系数和恒为1，则有恒为1， 恒为1， 显然因的不确定性，假设不成立，因此系数和并不一定恒为1． 则“三点共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3．若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 4．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 5．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 6．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 7．（多选）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 8．平行四边形ABCD中，，与的夹角为 . 【答案】 【详解】 由题意，起点A终点起点D终点，起点不重合. 将平移至起点A处，得向量与（满足共线，且）， 满足. 平行四边形中，且， 与夹角为的邻补角，即与的夹角为. 故答案为：. 9．已知为直线外一点，且，则 . 【答案】2 【详解】由， 得， 得， 所以， 故答案为：2 10．已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)三点共线，证明见解析 【详解】（1）由题意得， . （2）A，B，C三点共线． 理由如下：因为， ， 所以，则．又与有一个公共点A，所以A，B，C三点共线. 11．根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【分析】 【详解】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 12．在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且． 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】法一：因为， 所以，即， 所以且． 法二：设为平面上任意一点， ， 所以且． 法三：如图，连结，取的中点，连结． ， 则且． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量及其线性运算8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、向量的有关概念 1 题型二、平面向量的加法运算 1 题型三、平面向量的减法运算 2 题型四、平面向量的数乘运算 3 题型五、平面向量的线性运算（重） 3 题型六、平面向量共线定理证明点共线、线平行 4 题型七、已知向量共线求参数（重） 4 题型八、平面向量共线定理的推论 5 B 综合攻坚・能力跃升 7 题型一、向量的有关概念 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 2．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 3．（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图所示，在正方体中，下列向量相等的是 （ ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 题型二、平面向量的加法运算 7．化简：（   ） A． B． C． D． 8．已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 10．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 11．如图，在正六边形中，若，则 . 12．已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 题型三、平面向量的减法运算 13．（   ） A． B． C． D． 14．（   ） A． B． C． D． 15．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 16．（多选）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 17．在菱形中，若，则 ． 18．四边形为菱形，其中，，则 . 题型四、平面向量的数乘运算 19．若，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（    ） A． B． C． D． 21．已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 22．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 23．正六边形中，=（   ） A． B． C． D． 24．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则 . 25．已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五、平面向量的线性运算 26．在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 27．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 28．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 29．已知菱形的边长为，且，，，，则（    ） A． B． C． D． 30．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 31．已知平面上不共线的四点，若，则 题型六、平面向量共线定理证明点共线、线平行 32．已知向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 33．已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 35．已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 36．是所在平面上一点，满足，则的面积与的面积的比值为 . 37．如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 38．如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 题型七、已知向量共线求参数 39．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 40．已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 41．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 43．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 44．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 题型八、平面向量共线定理的推论 45．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 46．如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 47．若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 48．如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 49．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 50．在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 1．已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 8．平行四边形ABCD中，，与的夹角为 . 9．已知为直线外一点，且，则 . 10．已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 11．根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 12．在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $