周周测17 6.2 向量基本定理与向量的坐标表示（数学人教B版必修第二册）

**基本信息** 聚焦向量基本定理与坐标表示，通过平行四边形、梯形等几何图形情境，分层考查基底判断、共线证明、坐标运算等，强化数学思维与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|基底判断（1）、共线向量（5）、坐标运算（2）|基础巩固，梯度递进| |多选|3/18|向量命题辨析（9）、投影向量（10）|概念辨析，能力提升| |填空|3/15|三点共线（12）、交点坐标（13）|情境应用，数学表达| |解答|5/77|基底表示（17）、共线证明（18）|综合应用，推理能力|

2026-2027学年高一上学期数学周周测17 6.2 向量基本定理与向量的坐标表示 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8) C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝ 【答案】C 【分析】利用向量共线定理对各个选项判断即可. 【详解】因为不共线的两个向量可以作为它们所在平面内所有向量的基底， 对于A，由于，即共线，故A不合题意； 对于B，由于，即共线，故B不合题意； 对于C，由于，即不共线，故C合题意； 对于D，由于，即共线，故D不合题意； 故选：C. 2．在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 所以. 3．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，AC，BD交于点O，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则把用表示即可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，而不共线，所以，所以. 故选：C. 4．设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】由向量加法得，由三点共线知，共线，结合平面向量基本定理可解. 【详解】因为，故存在实数，使得，又， 所以，因为不共线，故，即. 故选：D 5．过△的重心的直线分别交线段于点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的性质及已知用表示出，再由共线得，最后应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取值条件. 【详解】如下图，若为中点，又△的重心，则共线，且， 而，又共线， 所以，即，则， 故， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A 6．如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设,结合向量的加法与减法运算,化简后由,即可求得参数的值. 【详解】因为为上一点,设 因为 所以 则由向量的加法与减法运算可得 因为 所以,解得 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于中档题. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分.） 7．下列命题错误的是（    ） A．若是平面内的三点，则 B．若是两个单位向量，则 C．若是任意两个向量，则 D．向量可以作为平面内所有向量的一组基底 【答案】ABC 【分析】对于A，根据向量的减法法则分析判断，对于BC，举例判断，对于D，根据基底的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，若，则是两个单位向量，而，所以B错误， 对于C，当共线同向时，，所以C错误， 对于D，若共线，则，所以， ，方程组无解，所以不共线， 所以可以作为平面内所有向量的一组基底，所以D正确. 故选：ABC 8．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 10．如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知， ， 即. 由，， 所以， 因为、、三点共线， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) ，，由于，故，不共线， (2) (3) 【分析】（1）利用坐标关系即可求解； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【详解】（1）略 （2） 则，解得. （3）， 与平行，则，得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测17 6.2 向量基本定理与向量的坐标表示 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8) C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝ 2．在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，AC，BD交于点O，，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 5．过△的重心的直线分别交线段于点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分.） 7．下列命题错误的是（    ） A．若是平面内的三点，则 B．若是两个单位向量，则 C．若是任意两个向量，则 D．向量可以作为平面内所有向量的一组基底 8．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知向量，，若，，三点共线，则________． 10．如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测17 6.2 向量基本定理与向量的坐标表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8) C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝ 【答案】C 【分析】利用向量共线定理对各个选项判断即可. 【详解】因为不共线的两个向量可以作为它们所在平面内所有向量的基底， 对于A，由于，即共线，故A不合题意； 对于B，由于，即共线，故B不合题意； 对于C，由于，即不共线，故C合题意； 对于D，由于，即共线，故D不合题意； 故选：C. 2．已知向量，，若，则（    ） A．-12 B．12 C．3 D．-3 【答案】A 【分析】直接根据向量平行列式计算即可. 【详解】由题意，因为，，且， 所以，即. 故选：A. 3．在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 所以. 4．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，AC，BD交于点O，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则把用表示即可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，而不共线，所以，所以. 故选：C. 5．设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】由向量加法得，由三点共线知，共线，结合平面向量基本定理可解. 【详解】因为，故存在实数，使得，又， 所以，因为不共线，故，即. 故选：D 6．过△的重心的直线分别交线段于点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的性质及已知用表示出，再由共线得，最后应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取值条件. 【详解】如下图，若为中点，又△的重心，则共线，且， 而，又共线， 所以，即，则， 故， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A 7．如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设,结合向量的加法与减法运算,化简后由,即可求得参数的值. 【详解】因为为上一点,设 因为 所以 则由向量的加法与减法运算可得 因为 所以,解得 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于中档题. 8．在和中，B是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，为方向的单位向量，进而表示相关向量，利用已知边长关系求出，代入求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】设，为方向的单位向量， B是的中点，，故， 由得， 解得， 又， 则， 故， 故． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列命题错误的是（    ） A．若是平面内的三点，则 B．若是两个单位向量，则 C．若是任意两个向量，则 D．向量可以作为平面内所有向量的一组基底 【答案】ABC 【分析】对于A，根据向量的减法法则分析判断，对于BC，举例判断，对于D，根据基底的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，若，则是两个单位向量，而，所以B错误， 对于C，当共线同向时，，所以C错误， 对于D，若共线，则，所以， ，方程组无解，所以不共线， 所以可以作为平面内所有向量的一组基底，所以D正确. 故选：ABC 10．下列说法正确的是（    ） A．若非零向量，满足，则 B．若非零向量，满足，则 C．已知P是△所在平面内一点，若，则点P是△的内心 D．已知向量，，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，线性运算以及向量在某个向量上的投影的定义依次判断即可. 【详解】选项,将两边同时平方， 设非零向量，的夹角为，则， ∵向量，为非零向量，∴，，∴， 又∵，∴，∴，则正确； 选项,将两边同时平方， 即，则，则正确； 选项，点是△所在平面内一点，满足，则点P是△的重心，则错误； 选项，设向量和的夹角的余弦值为， 在上的投影向量是，则正确； 故选：. 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 13．已知点，若，AC与BD交于点M，则点M的坐标为______. 【答案】 【分析】设，利用求出，再利用相似得到，进而求到点的坐标. 【详解】结合题意：设，易得，， 由，可得：，解得，即， 因为，所以，所以 所以，即，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 14．如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知， ， 即. 由，， 所以， 因为、、三点共线， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的三个顶点为，求顶点的坐标． 【答案】 【分析】设出的坐标，由平行四边形对边平行且相等即可得到，即可求出答案. 【详解】设的坐标为，由 即 即的坐标为. 16．已知 . （1）求点的坐标； （2）若点在第二象限，用表示； （3）设，若与垂直，求的坐标. 【答案】（1）的坐标为或.（2）（3） 【详解】试题分析：（1）先设出D（x，y），然后表示出和再代入到 中可求出x，y的值，确定D的坐标．（2）先根据（1）确定D的坐标，从而可得到 的坐标，设，将，代入使横纵坐标分别相等可求得m，n的值，进而用，表示（3）先根据线性运算求出，再由两向量互相垂直等价于其数量积等于0可求出m的值，进而可得到的坐标． 试题解析： （1）设， 由题意，解得 或. 所以的坐标为或. （2）因为点在第二象限，所以， 所以，所以， 设，则， 所以，所以. （3）因为， 因为与垂直，所以， 所以，所以. 17．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】(1)图形见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，直接画图即可； （2）根据几何图形进行线性运算即可； （3）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）如图，    （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线.    18．如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 【答案】(1) (2)由，，三点共线可设，又，， ， 为上一点，且， ， ， 所以． 【分析】（1）根据平面向量的线性表示与运算法则，用表示向量即可； （2）由，，三点共线可设，结合已知条件得，又为上一点，且，故，由平面向量基本定理得，即可证明． 【详解】（1）因为，， 又，故得， 所以． （2）略 19．已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) ，，由于，故，不共线， (2) (3) 【分析】（1）利用坐标关系即可求解； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【详解】（1）略 （2） 则，解得. （3）， 与平行，则，得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测17 6.2 向量基本定理与向量的坐标表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8) C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝ 2．已知向量，，若，则（    ） A．-12 B．12 C．3 D．-3 3．在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，AC，BD交于点O，，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 6．过△的重心的直线分别交线段于点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 8．在和中，B是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列命题错误的是（    ） A．若是平面内的三点，则 B．若是两个单位向量，则 C．若是任意两个向量，则 D．向量可以作为平面内所有向量的一组基底 10．下列说法正确的是（    ） A．若非零向量，满足，则 B．若非零向量，满足，则 C．已知P是△所在平面内一点，若，则点P是△的内心 D．已知向量，，则在上的投影向量是 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，，三点共线，则________． 13．已知点，若，AC与BD交于点M，则点M的坐标为______. 14．如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的三个顶点为，求顶点的坐标． 16．已知 . （1）求点的坐标； （2）若点在第二象限，用表示； （3）设，若与垂直，求的坐标. 17．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 18．如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 19．已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $