6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离公式与中点坐标公式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

6．2.3　平面向量的坐标及其运算

第1课时　平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离

公式与中点坐标公式

知识点一　平面向量的坐标

1．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________．

答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5)

解析：将各向量向基底所在直线分解．∵a＝－4e1＋0e2，∴a＝(－4，0)，∵b＝0e1＋6e2，∴b＝(0，6)，∵c＝－2e1－5e2，∴c＝(－2，－5)．

2．在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为e1和e2，则下列说法正确的是________(只填序号)．

①＝2e1＋3e2；②＝3e1＋4e2；③＝－5e1＋e2；④＝5e1－e2.

答案：①③④

解析：e1，e2互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2e1＋3e2，＝－3e1＋4e2，＝－＝－5e1＋e2，＝－＝5e1－e2，故①③④正确．

知识点二　平面上向量的运算与坐标的关系

3．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝(　　)

A．(7，3) B．(7，7)

C．(1，7) D．(1，3)

答案：A

解析：a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．

4．已知点A(2，4)，B(0，6)，C(－8，10)，求：

(1)＋2；

(2)－；

(3)||.

解：(1)由A(2，4)，B(0，6)，C(－8，10)，

得＝(－2，2)，＝(－8，4)，

所以＋2＝(－18，10)．

(2)由A(2，4)，B(0，6)，C(－8，10)，

得＝(－8，4)，＝(－10，6)，

所以－＝(－3，1)．

(3)||＝＝2.

知识点三　两点之间的距离公式与中点坐标公式

5．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，0)，B(－2，1)，C(0，3)，试求BC边上的中线AD的长度．

解：设BC的中点D的坐标为(xD，yD)，

则由B(－2，1)，C(0，3)

得xD＝＝－1，yD＝＝2，

∴D(－1，2)，

故AD＝＝2，

即BC边上的中线AD的长度为2.

知识点四　向量坐标运算的应用

6．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，试问：

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

解：由已知得＝(1，2)，＝(3，3)，

＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．

(1)若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；

若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；

若点P在第二象限，则有

解得－<t<－.

(2)＝－＝(4，5)－(1＋3t，2＋3t)＝(3－3t，3－3t)，

若四边形OABP是平行四边形，

则有＝，即3－3t＝1，

且3－3t＝2，这显然是不可能的，

因此四边形OABP不可能是平行四边形．

一、单项选择题

1．已知向量a＝(－2，3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是(　　)

A．向量a的终点坐标为(－2，3)

B．向量a的起点坐标为(－2，3)

C．向量a与b互为相反向量

D．向量a与b关于原点对称

答案：C

解析：a＝(－2，3)，b＝(2，－3)，故a＝－b.故选C.