6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离公式与中点坐标公式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 6．2.3　平面向量的坐标及其运算 第1课时　平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离 公式与中点坐标公式 知识点一　平面向量的坐标 1．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________． 答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5) 解析：将各向量向基底所在直线分解．∵a＝－4e1＋0e2，∴a＝(－4，0)，∵b＝0e1＋6e2，∴b＝(0，6)，∵c＝－2e1－5e2，∴c＝(－2，－5)． 2．在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为e1和e2，则下列说法正确的是________(只填序号)． ①＝2e1＋3e2；②＝3e1＋4e2；③＝－5e1＋e2；④＝5e1－e2. 答案：①③④ 解析：e1，e2互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2e1＋3e2，＝－3e1＋4e2，＝－＝－5e1＋e2，＝－＝5e1－e2，故①③④正确． 知识点二　平面上向量的运算与坐标的关系 3．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝(　　) A．(7，3) B．(7，7) C．(1，7) D．(1，3) 答案：A 解析：a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)． 4．已知点A(2，4)，B(0，6)，C(－8，10)，求： (1)＋2； (2)－； (3)||. 解：(1)由A(2，4)，B(0，6)，C(－8，10)， 得＝(－2，2)，＝(－8，4)， 所以＋2＝(－18，10)． (2)由A(2，4)，B(0，6)，C(－8，10)， 得＝(－8，4)，＝(－10，6)， 所以－＝(－3，1)． (3)||＝＝2. 知识点三　两点之间的距离公式与中点坐标公式 5．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，0)，B(－2，1)，C(0，3)，试求BC边上的中线AD的长度． 解：设BC的中点D的坐标为(xD，yD)， 则由B(－2，1)，C(0，3) 得xD＝＝－1，yD＝＝2， ∴D(－1，2)， 故AD＝＝2， 即BC边上的中线AD的长度为2. 知识点四　向量坐标运算的应用 6．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，试问： (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 解：由已知得＝(1，2)，＝(3，3)， ＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)． (1)若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－； 若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－； 若点P在第二象限，则有 解得－<t<－. (2)＝－＝(4，5)－(1＋3t，2＋3t)＝(3－3t，3－3t)， 若四边形OABP是平行四边形， 则有＝，即3－3t＝1， 且3－3t＝2，这显然是不可能的， 因此四边形OABP不可能是平行四边形． 一、单项选择题 1．已知向量a＝(－2，3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是(　　) A．向量a的终点坐标为(－2，3) B．向量a的起点坐标为(－2，3) C．向量a与b互为相反向量 D．向量a与b关于原点对称 答案：C 解析：a＝(－2，3)，b＝(2，－3)，故a＝－b.故选C. 2．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　) A．(3，4) B．(2，4) C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4) 答案：A 解析：由题图可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3，4)． 3．已知向量a＝(－2，2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是(　　) A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6] 答案：C 解析：因为a＝(－2，2)，b＝(5，k)，所以a＋b＝(3，2＋k)，所以|a＋b|＝＝，因为|a＋b|不超过5，所以≤5，解得－6≤k≤2.故选C. 4．已知▱ABCD的三个顶点A(－3，1)，B(－2，3)，C(2，4)，则顶点D的坐标为(　　) A．(2，2) B．(1，2) C．(1，6) D．(－1，6) 答案：B 解析：设D(x，y)，则由题意得＝(1，2)，＝(2－x，4－y)，由平行四边形的性质知＝，所以⇒故选B. 5．已知M(2，－1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，||＝2||，则点P的坐标为(　　) A．(－2，11) B． C． D．(－2，12) 答案：A 解析：因为点P在MN的延长线上，且||＝2||，所以＝2，则－＝2(－)(其中O为坐标原点)，所以＝2－＝2(0，5)－(2，－1)，即＝(－2，11)． 二、多项选择题 6．已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，则下列结论正确的是(　　) A．＝(3，－1) B．＝(－3，2) C．|－|＝3 D．＝ 答案：ABC 解析：∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，∴＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)，＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)，－＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2＋＝2(3，－1)＋(－3，2)＝(6，－2)＋＝.∴|－|＝＝3，＝ ＝.故选ABC. 7．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则(　　) A．λ＋μ＝ B．λ＝4μ C．μ＝4λ D．λ－μ＝－1 答案：AB 解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，M.故＝(1，1)，＝，＝(－1，1)，故解得故λ＋μ＝，λ＝4μ，λ－μ＝1.故选AB. 三、填空题 8．已知a＋b＝(－1，3)，a－b＝(9，－9)，则|a|＋|b|＝________． 答案：5＋ 解析：联立由①＋②，得a＝(4，－3)，由①－②，得b＝(－5，6)．故|a|＋|b|＝＋＝5＋. 9．已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝________． 答案：2 解析：取O(0，0)，由＝λ＋(1－λ)，得(x，5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1，3)，所以解得 10．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________． 答案：(－6，21) 解析：因为＝2，Q是AC的中点，所以＝3＝3(＋)＝3(＋2)＝3[＋2(－)]＝－3＋6＝－3(4，3)＋6(1，5)＝(－6，21)． 四、解答题 11．已知a＝(2，－4)，b＝(－1，3)，c＝(6，5)，p＝a＋2b－c， (1)求p的坐标； (2)若以{a，b}为基底，求p的表达式． 解：(1)p＝(2，－4)＋2(－1，3)－(6，5)＝(－6，－3)． (2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)， ∴∴ ∴p＝－a－15b. 12．在△ABC中，已知点A(3，7)，B(－2，5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上． (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的三边长． 解：(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上， 设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0， ∴x＝－3，y＝－5，即点C的坐标为(－3，－5)； ②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得点C的坐标为(2，－7)． 综上，点C的坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当点C的坐标为(－3，－5)时， AB＝＝， AC＝＝6， BC＝＝； 当点C的坐标为(2，－7)时，AB＝， AC＝＝， BC＝＝4. 13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，BD，AC相交于点O，M为BO的中点．设向量＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求点M的坐标． 解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O， 可得＝＝(＋)＝(a＋b)， 因为M为BO的中点， 所以＝(＋)＝＝a＋b. (2)依题意，建立平面直角坐标系，如图． 因为AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°， 所以A(0，0)，D(2，0)，B(1×cos60°，1×sin60°)， 即B，则a＝＝， b＝＝(2，0)， 所以＝a＋b＝＋(2，0)＝. 故点M的坐标为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$