专题07 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用10大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题07 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用10大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、应用共线向量定理证明点共线、向量平行 1 题型二、由向量共线（平行）求参数（重） 4 题型三、用基底表示向量 5 题型四、平面向量基本定理的应用（重） 9 题型五、利用平面向量基本定理求参数 12 题型六、向量的坐标运算 14 题型七、向量共线的坐标判断 16 题型八、利用向量共线（平行）求参数（重） 18 题型九、向量的线性运算应用——几何 20 题型十、向量的线性运算应用——物理 22 B 综合攻坚・能力跃升 25 题型一、应用共线向量定理证明点共线、向量平行 1．已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 2．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 3．如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 4．已知是平面上两个不共线的向量，且. (1)若，方向相反，求的值； (2)若，，三点共线，求的值. 5．在四边形中，向量．其中向量不共线．求证：四边形是梯形． 6．如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线. 题型二、由向量共线（平行）求参数 7．已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（    ） A． B． C． D． 8．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 9．已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 10．设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 11．已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 题型三、用基底表示向量 12．在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 15．在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 16．设，分别是的边AB，BC上的点，．若（，为实数），则的值为（   ） A． B． C． D． 17．在中，，若，则实数的值为 . 18．如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则 . 题型四、平面向量基本定理的应用 19．如图，在梯形中，，，连接交于点，则 ． 20．O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为 21．解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 22．（多选）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（   ） A． B． C． D．，，可作为一个三角形的三边长 23．如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则 ， ． 题型五、利用平面向量基本定理求参数 24．如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ） A． B． C． D． 26．若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 27．已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是 ． 题型六、向量的坐标运算 28．在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 29．（多选）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 30．已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 31．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 32．已知，点满足，则点的坐标为 ． 33．已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标 ． 题型七、向量共线的坐标判断 34．已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 35．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 36．（多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 题型八、利用向量共线（平行）求参数 37．已知向量与的方向相同，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 38．已知平面向量，，若，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 39．已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 40．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 41．已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 42．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九、向量的线性运算应用——几何 43．设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 44．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 45．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 46．已知所在平面内点，且满足，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．已知点O是内一点，，则 . 题型十、向量的线性运算应用——物理 48．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 49．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 50．一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 51．（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 52．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 1．（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 2．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 3．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 5．在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 7．（多选）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 8．在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 9．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ． 10．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    11．已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用10大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、应用共线向量定理证明点共线、向量平行 1 题型二、由向量共线（平行）求参数（重） 4 题型三、用基底表示向量 5 题型四、平面向量基本定理的应用（重） 9 题型五、利用平面向量基本定理求参数 12 题型六、向量的坐标运算 14 题型七、向量共线的坐标判断 16 题型八、利用向量共线（平行）求参数（重） 18 题型九、向量的线性运算应用——几何 20 题型十、向量的线性运算应用——物理 22 B 综合攻坚・能力跃升 25 题型一、应用共线向量定理证明点共线、向量平行 1．已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 2．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 【答案】C 【详解】由， ∴，即，而， ∴为梯形. 故选：C 3．如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． 4．已知是平面上两个不共线的向量，且. (1)若，方向相反，求的值； (2)若，，三点共线，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意知，，则存在，使得， 即， 整理，得. 由，是不共线的向量， 得 解得 或 又，方向相反，则，， 故的值为2. （2）由题意得,. 由，，三点共线得，存在，使得， 即，整理得. 由，是不共线的向量， 得 解得 或 综上，或. 5．在四边形中，向量．其中向量不共线．求证：四边形是梯形． 【答案】证明见解析 【详解】证明 且四边形为梯形. 【点睛】本题主要考查向量共线定理，需掌握向量共线定理，属于基本题. 6．如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线. 【答案】见解析 【详解】分别是边的中点，是的中位线，，四边形是梯形。又分别是的中点，是梯形的中位线，，向量与共线. 【点睛】本题考查两向量共线的充要条件，意在考查学生对共线定理的理解与掌握，属于基础题. 题型二、由向量共线（平行）求参数 7．已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为与共线，所以存在实数x使， 故，解得，. 故选：A. 8．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意知，即，解得， 故选：B. 9．已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由，不共线，易知向量为非零向量， 由向量与方向相同， 可知存在实数，使得，即. 由，不共线，必有， 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾. 由，解得或， 当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符. 当时，，，方向相同，符合题意. 因此，当向量与方向相同时， 故选：B 10．设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D 11．已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 题型三、用基底表示向量 12．在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，   . 故选：C 13．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 14．在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 15．在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图，结合题设易知，， 则 ， ，则，， 所以.      故选：A 16．设，分别是的边AB，BC上的点，．若（，为实数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意作图如图． 在中， ， . 故． 故选：D. 17．在中，，若，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由已知，则， 即， 又， 则， 故答案为：. 18．如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则 . 【答案】2 【详解】由已知向量与向量共线，故可设， 所以， 因为，所以， 故， 所以， 又， ，不共线， 由平面向量基本定理可得，，， 所以， 故答案为： 题型四、平面向量基本定理的应用 19．如图，在梯形中，，，连接交于点，则 ． 【答案】 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 20．O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为 【答案】 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    易知，所以， 因此可得三点共线， 易知与的公共边为，设点到边的距离为， 可知到边的距离为，到边的距离为， 所以. 故答案为： 21．解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 22．（多选）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（   ） A． B． C． D．，，可作为一个三角形的三边长 【答案】BCD 【详解】由题意可知为的重心，    ∵分别为中点，则，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ∵，∴，即， ∴可作为三角形三边，D选项正确. 故选：BCD. 23．如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则 ， ． 【答案】 【详解】因为，，， 则， 故．又， 得， 所以． 故答案为：；. 题型五、利用平面向量基本定理求参数 24．如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可设， 则 ， 因为，所以，解得. 故选：A 25．如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，， 又， 解得，所以，，则. 故选：D 26．若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 【答案】/ 【详解】因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. 27．已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，与不共线， 设与共线，因，则，使得， 即， 因为，不共线，结合平面向量基本定理可得，，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 题型六、向量的坐标运算 28．在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 29．（多选）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD 【详解】    因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 30．已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 31．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 32．已知，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由 可得 ，所以 为 、 的中点，又 、. 所以点 的坐标为 . 故答案为：. 33．已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标 ． 【答案】 【详解】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 题型七、向量共线的坐标判断 34．已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【分析】 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 35．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于A选项,已知，，因为零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底. 对于B选项，对于，，计算，根据两向量共线的充要条件可知与共线，不能作为基底. 对于C选项,已知，，计算，所以与共线，不能作为基底. 对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ABC. 36．（多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 题型八、利用向量共线（平行）求参数 37．已知向量与的方向相同，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【详解】因向量与的方向相同，则， 则或. 若，，，满足题意； 若，，，不满足题意. 故选：D 38．已知平面向量，，若，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据题意，平面向量，，且， 所以，解得. 故选：B 39．已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 40．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 41．已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 42．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 题型九、向量的线性运算应用——几何 43．设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，，， 设，则，故点，，三点共线， ，．    故选：C 44．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    45．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 46．已知所在平面内点，且满足，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】    令，，根据向量的加法的平行四边形法则， 作出如图所示平行四边形，作于，于， 由，所以，为的高，等于的高， 所以. 故选：D 47．已知点O是内一点，，则 . 【答案】 【详解】令，，，所以O为的重心，则. 因为，，，所以. 故答案为：. 题型十、向量的线性运算应用——物理 48．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 49．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 50．一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 51．（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 52．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 【答案】答案见解析 【详解】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为， ，，如图所示，    若，则， 且，， 所以只要，， 即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止； 若，则与不在一条直线上，则小球不能静止. 1．（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 2．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【详解】由题可设，，，， 则，，， 因，解得，，则为重心， 延长交于点，则点为的中点，如图所示， 则，由， 又因、、三点共线，所以可得， 所以， 当且仅当，即取等号，故D正确. 故选：D. 3．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    4．2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为为正八边形，所以其一个外角，一个内角为 如图作平行四边形，则， 设正八边形的边长为，则， 又， 所以，所以． 故选：C 5．在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 . 故选：C. 6．如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 7．（多选）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】BD 【详解】由， 得，故A错误； 对于B，因为分别为中点， 所以， 则， 所以，所以， 又为公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C，由，得， 则， ， 所以，故C错误； 对于D，由C得，故D正确. 故选：BD. 8．在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. 9．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】如图1，过点作，交的延长线于点， 由，则， 由共线得，可得． 当最大时，取到最大值，此时， 如图2．作，又，则，即， 由，即，则四边形为平行四边形，故， 易知，可得，， 而，，得， 所以， 因此的最大值为3． 故答案为：3      10．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    【答案】 【详解】 解：设船的实际速度为，   因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向， 所以游船正好到达B处，则， 所以 故答案为： 11．已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $