2.3一元二次方程的根与系数的关系同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 练习围绕一元二次方程根与系数关系，通过基础辨析、公式应用到综合情境问题，分层设计合理，巩固路径清晰，适配新授课教学。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接应用根与系数关系（单选1-5、填空9-11）|概念辨析与直接计算，培养运算能力| |进阶层|公式变形与条件限制（单选6-8、填空12-14、解答17-20）|结合判别式、参数取值，发展推理意识| |综合层|跨情境应用（解答21）|“双倍快乐数”等实际问题，体现模型意识与创新意识|

2.3一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 一、单选题 1．下列方程两根之和是的是（     ） A． B． C． D． 2．若，是方程的两个根，则（） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 7．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 8．关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 二、填空题 9．若方程的两个根为，，则____________． 10．若关于的方程的一个根是1，则另一个根为______． 11．已知是方程的两个实数根，则的值为_______． 12．若，是方程的两个根，则________． 13．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 14．若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是______． 15．已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 16．设、是一元二次方程的两个根，且，则______． 三、解答题 17．已知方程的两根分别为、，求的值． 18．课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2） 写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)在（）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值． 21．材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查根与系数的关系，也涉及了根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的两根之和等于分别计算． 【详解】解：A、在中，两根之和等于，故不合题意； B、在中，两根之和等于，故符合题意； C、在中，，无实数根，故不合题意； D、在中，，无实数根，故不合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积即可解答． 【详解】解：对于方程， ，，， ，， 对比各选项，B正确， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再根据题意可求得，，进而可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，， ， ， ， ， ， 故选D． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解． 【详解】解：∵当时方程的两根分别是和， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 6．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 7．B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 8．C 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 9． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定一元二次方程的二次项系数与常数项后，可直接根据关系计算两根之积． 【详解】解：方程中，，， 根据根与系数的关系可得． 10．/ 【分析】设另一根为，可得，从而可得答案． 【详解】解：关于的方程的一个根是1，设另一根为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记“，”是解本题的关键． 11．5 【分析】本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， 所以． 故答案为：5． 12． 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 13．6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 14． 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程根与系数关系等知识点，灵活利用根的判别式、一元二次方程根与系数关系列出不等式成为解题的关键． 由根的判别式列不等式可得，设关于x的方程的两个实数根为，由两个实数根之和大于结合根与系数的关系可得，解得，进而得到即可解答． 【详解】解：方程有两个实数根， ，解得：． 设关于x的方程的两个实数根为， 两个实数根之和大于， ，解得， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，也考查了根的判别式． 根据判别式的意义得到，然后解不等式；根据根与系数的关系得到，利用得到，则 ，然后解方程后利用的范围确定的值． 【详解】根据题意得 解得； 根据题意得， 即 整理得，解得， ∴的值为． 故答案为：． 16．5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 17．的值为 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出，后，代入即可得解． 【详解】解：方程的两根分别为、， ，， ． 故的值为． 18．（1），；（2）； 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握， （1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系求得及的值，即可得到答案； 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个根是， 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根为2和3，则有， ∵二次项系数为1， ∴所求方程为：． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得、，再与结合可得，易得求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴，解得：， ∴，解得：． 20．(1)且； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （）根据（）中的取值范围确定的值，代入一元二次方程方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案； 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴的取值范围为：且； （2）解：∵， ∴的最大正整数值为， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式． 21．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $