暑假几何提升专题讲义 轴对称之将军饮马模型 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

暑假提升专题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第一讲轴对称之将军饮马模型 第1讲 轴对称之将军饮马模型 1 暑假提升专题 知识讲解 知识点1 “两定一动“型 作点A关于的对称点A,连接AB, 如图，在直线1上找一点P,使得： 直线AB与直线的交点即为点P。 (1)PA+PB的值最小 此时，AP+BP最小为AP+BP=AB 两点位于直线异侧 两点位于直线同侧 连接AB,两点之间线段最短 B B A A PoA-PoB I <AB 如图，在直线1上找一点P,使得： 当A、B、P三点共线时， (2)IPA一PBI的值最大 IPA一PBI=AB的值最大 两点位于直线异侧 两点位于直线同侧 A 作A点的对称点A/ 连接AB交直线于点P A B Po 知识点2 “一定两动”型 (1)如图1，已知A点是∠O内一定点，动点B、C在∠O两边上运动，使得 △ABC周长最小.（有去有回） 。AV B 分别作点A关于两边的对称 点A/和A∥，连接AA∥，交两 边于点B、C。 此时，△ABC的周长最小 A 2 暑假提升专题 (2)如图2，点P是∠AOB的内部一定点，在OA,OB上分别找一点M, N,使得PN+NM的值最小.（有去无回） A 作点P关于OB的对称点p, M M 过P/向OA作垂线，垂足为 M,交OB于点N 此时，PN+NM最小（垂 B 线段最短) 、 例题精析 【题型01：“2定点1动点”作图问题】 1.如图，河道1的同侧有M,N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M,N两村，下面四个 方案中，管道总长度最短的是() ●N M。 Q D Q 2.已知：如图，点A和点B在直线1同一侧.求作：直线1上一点P,使PA+PB的值最小. B. A。 【题型02：“2定点1动点”求周长最小值问题】 3.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,SAABC=27,直线EF垂直平分线段AB,若 点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，连接DG、BG,则△BDG的周长的最 3 暑假提升专题 小值为() A.13 B.12 C.11 D.10 4.如图，在△ABC中，已知AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AB于点N,交 AC于点M,P为直线MN上一点，连结PB,PC,则△PBC的周长最小是(O A.15 B.14 C.13 D.16 【题型03：“2定点1动点”求线段最小值问题】 5.己知，等腰△ABC中，AB=AC,E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC=5, BD=3,AD=4,那么线段BE+EF的最小值是() B C 24 A.5 B.3 c.5 D. 2 6.如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、 AB边于点E、F,点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM什CM的最小 值为() 4 暑假提升专题 C M A.12 B.9 C.6 D.3 【题型04：“1定点2动点”线段/周长最小问题】 7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N在边BC上，且BN=6,点M P分别是边AB,AC上的动点，当PM+PN最小时，BM=5,则AB长为（) A M P B A.10 B.12 C.14 D.16 8.如图，在△ABC中，AB=AC=5,AD是△ABC的一条角平分线，点E,F分别是线 段AD,AC上的动点，若AD=4,BD=3,那么线段CE+EF的最小值是() E B D A. 4 B.5 C.4 D.6 5 【题型05：“1定点2动点”角度问题】 5 暑假提升专题 9.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是 AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（) D A.15 B.22.5° C.30° D.45° 10.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°.M,N分别是AB,AD上 的点， 当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为() D ● M B A.40° B.80° C.90° D.100° 课后作业 1如图，一条笔直的河1，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下 四种方案，可使牧马人所走路径最短的是() P B M M D 6 暑假提升专题 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,S△ABc=14,AC的垂直平分线EF分别交边 AC,AB于点E,F,若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长 的最小值为() A.7 B.9 C.12 D.14 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,BD平分∠ABC,如果点 M,N分别为BD,BC上的动点，那么CM什MN的最小值是() c A.4 B.4.8 C.5 D.6 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14,AD平分∠BAC,点PQ 分别是AB,AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（) A.4 B.5 C.6 D.7 5.如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMW 的周长取最小值时，∠MPN的度数为() 7 暑假提升专题 A P M B A.82° B.84° C.88° D.92 6暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第一讲 轴对称之将军饮马模型 第1讲 讲 轴对称之将军饮马模型 一、知识讲解 知识点1 “两定一动“型 知识点2 “一定两动”型 二、例题精析 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 1.如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A． B． C． D． 答案：B 解析：本题为标准 “两定一动” 将军饮马模型，两定点在直线同侧。根据轴对称 + 两点之间线段最短原理：作其中一点关于河道直线l的对称点，连接对称点与另一定点，连线与河道的交点为取水点，此时MQ+NQ总长度最短。 · A：两条垂线段拼接，路径折线更长； · B：符合标准将军饮马作图，路径总长为直线段，最短； · C：无几何最短依据； · D：两条分开垂线段，总长度最大。 2.已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 作图步骤： 1. 作点A关于直线l的对称点A′； 2. 用直尺连接A′B，线段A′B与直线l的交点记作P； 3. 点P即为满足条件的动点。 原理：由轴对称性质得PA=PA′，因此PA+PB=A′P+PB；根据 “两点之间，线段最短”，A′P+PB的最小值为线段A′B的长度，故交点P为所求。 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 3．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 答案：A 解析： 1. 周长拆分：C△BDG​=BD+DG+BG；D是BC中点，BD=21​BC=21​×6=3，BD为定值，只需最小化BG+DG； 2. 垂直平分线性质：EF垂直平分AB，直线EF上任意一点到A、B距离相等，即BG=AG； 3. 等量代换：BG+DG=AG+DG；根据两点之间线段最短，AG+DG最小值为线段AD的长度（A、D定点）； 4. 求高AD：三角形面积公式S△ABC​=21​×BC×AD，代入数据： 21​×6×AD=27，解得AD=9； 5. 周长最小值：BD+AD=3+9=13。 4．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 答案：A 解析： 1. 周长拆分：C△PBC​=PB+PC+BC；BC=5是定值，只需最小化PB+PC； 2. 垂直平分线性质：MN垂直平分AB，则PB=PA； 3. 等量代换：PB+PC=PA+PC；两点之间线段最短，PA+PC最小值为AC（P落在AC上时取最小值）； 4. 周长最小值：AC+BC=8+5=15。 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 5.已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 答案：524​ 解析： 1. 等腰三角形对称性：AB=AC，AD⊥BC，直线AD是△ABC对称轴，点B、C关于AD对称，故BE=CE； 2. 等量代换：BE+EF=CE+EF；CE+EF最小值为点C到直线AB的垂线段长度（垂线段最短）； 3. 计算三角形面积：BC=2BD=6，S△ABC​=21​×BC×AD=21​×6×4=12； 4. 设AB边上的高为h，S△ABC​=21​×AB×h，代入AB=5： 21​×5×h=12，解得h=524​，即BE+EF最小值为524​。 6.如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 答案：C 解析： 1. 垂直平分线性质：EF垂直平分AC，则CM=AM； 2. 等量代换：DM+CM=DM+AM；两点之间线段最短，DM+AM最小值为线段AD； 3. 等腰三角形三线合一：D是BC中点，AD⊥BC； 4. 面积求高：S△ABC​=21​×BC×AD=9，代入BC=3： 21​×3×AD=9，解得AD=6，即DM+CM最小值为 6。 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 7.如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 答案：B 解析： 1. 对称转化线段：AC⊥BC，作点N关于AC的对称点N′，则PN=PN′，PM+PN=PM+PN′； 2. 最小值条件：PM+PN′最小为N′到AB的垂线段，垂足为M； 3. 角度分析：∠C=90∘，∠A=30∘，得∠B=60∘；N、N′关于AC对称，CN=CN′； 4. 边长推导：BN=6，BM=5，结合 30° 直角三角形边长比例关系，可推导出AB=12。 8．如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 答案：A 解析： 1. 等腰三角形对称：AB=AC，AD是角平分线，由三线合一得AD垂直平分BC，点B、C关于直线AD对称，故CE=BE； 2. 等量代换：CE+EF=BE+EF；最小值为点B到直线AC的垂线段长度； 3. 求三角形面积：BC=2BD=6，S△ABC​=21​×BC×AD=21​×6×4=12； 4. 设AC边上高为h，S=21​×AC×h，代入AC=5： 21​×5×h=12，解得h=524​，即CE+EF最小值为524​。 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 9．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析： 1. 等边三角形对称性：AD是BC中线，同时为对称轴，点B、C关于AD对称，CF=BF； 2. 等量代换：EF+CF=EF+BF；最小值为线段BE，BE与AD交点即为F； 3. 边长分析：等边△ABC边长为 4，AE=2，则E为AC中点； 4. 角度推导：等边三角形内角∠ACB=60∘，BE为AC边上中线，平分∠ACB，因此∠ECF=21​∠ACB=30∘。 10．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点， 当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析： 1. 周长最小作图：作点C关于AB的对称点C1​，作点C关于AD的对称点C2​，连接C1​C2​，C1​C2​交AB于M、交AD于N，此时△CMN周长最小； 2. 求∠BCD：四边形内角和360∘， ∠BCD=360∘−∠A−∠B−∠D=360∘−40∘−90∘−90∘=140∘； 3. 轴对称角度性质：∠C1​=∠BCM，∠C2​=∠DCN；在△C1​CC2​中，∠C1​+∠C2​=∠A=40∘； 4. 计算目标角： ∠MCN=∠BCD−(∠BCM+∠DCN)=140∘−40∘=100∘。 课后作业 1.如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 答案：作P（或Q）关于河道直线l的对称点，连接对称点与另一定点，连线和河道交点为M的图形为正确选项。 解析：本题属于基础 “两定一动” 将军饮马模型，依据轴对称转化线段 + 两点之间线段最短，对称连线与河道交点为最优取水点。 2．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 答案：B 解析： 1. 周长拆分：C△CDM​=CD+DM+CM；D是BC中点，CD=21​BC=2，CD为定值，只需最小化DM+CM； 2. 垂直平分线性质：EF垂直平分AC，则CM=AM； 3. 等量代换：DM+CM=DM+AM；两点之间线段最短，最小值为高AD； 4. 面积求高：S△ABC​=21​×BC×AD=14，代入BC=4： 21​×4×AD=14，解得AD=7； 5. 周长最小值：CD+AD=2+7=9。 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 答案：B 解析： 1. 角平分线对称转化：BD是∠ABC角平分线，作点C关于BD的对称点C′，则CM=C′M，CM+MN=C′M+MN； 2. 最小值条件：C′M+MN最小值为C′到BC的垂线段，长度等于点C到斜边AB的高； 3. 三角形面积求高：S△ABC​=21​×AC×BC=21​×6×8=24； 设AB边上高为h，S=21​×AB×h， 21​×10×h=24，解得h=4.8，即最小值为 4.8。 4．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：D 解析： 1. 角平分线对称：AD平分∠BAC，作点P关于AD的对称点P′，则PQ=P′Q，PQ+BQ=P′Q+BQ； 2. 最小值条件：P′Q+BQ最小值为点B到直线AC的垂线段，即直角边BC； 3. 30° 直角三角形性质：直角三角形中 30° 角对的直角边等于斜边一半， BC=21​AB=21​×14=7，即最小值为 7。 5．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 答案：C 解析： 1. 周长最小作图：作点P关于OA的对称点P1​，作点P关于OB的对称点P2​，连接P1​P2​交OA于M、交OB于N，此时△PMN周长=P1​P2​，周长最小； 2. 对称角度关系：∠P1​OP2​=2∠AOB=2×44∘=88∘； 3. 等腰三角形角度推导：由轴对称得OP1​=OP=OP2​，△P1​OP2​为等腰三角形，∠OP1​P=∠OPM，∠OP2​P=∠OPN； 4. 计算∠MPN： ∠P1​+∠P2​=180∘−∠P1​OP2​=180∘−88∘=92∘， ∠MPN=180∘−(∠P1​+∠P2​)=180∘−92∘=88∘。 6 学科网（北京）股份有限公司 $