2.7 探索勾股定理12大题型（勾股定理及其逆定理）（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理及其逆定理核心知识点，系统梳理定理推导验证（如赵爽弦图）、三边关系及应用（边长计算、三角形形状判断），通过知识点解析、即学即练及12类题型（证明、勾股数、网格问题等）搭建学习支架。 资料融入数学史（《周髀算经》记载）培养数学眼光，设计多种证明方法（拼图、弦图）发展推理思维，结合实际问题（秋千、双门）提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第二章 特殊三角形 2.7 探索勾股定理（勾股定理及其逆定理） 课标要点 1. 理解勾股定理的推导过程与几何意义，掌握直角三角形三边数量关系公式。 2. 掌握勾股定理逆定理内容，理解其判定直角三角形的数学原理与依据。 3. 能运用勾股定理完成边长、周长、面积计算，完成纯几何层面相关计算。 4. 会利用逆定理判断三角形形状，辨别直角三角形，提升几何判别推理能力。 5. 经历定理猜想与证明过程，体会数形结合思想，发展逻辑推理核心素养。 学习重难点 重点： 1. 熟记勾股定理表达式，明确定理成立前提，分清直角三角形斜边与直角边。 2. 掌握逆定理文字与符号表达，能依据三边数量关系判定三角形为直角三角形。 3. 能够利用勾股定理求解直角三角形未知边，规范几何计算的书写表达。 4. 识别常用勾股数，利用勾股数快速判断三边关系，简化几何运算过程。 5. 分清勾股定理与逆定理条件结论，掌握二者在几何推理中的不同用法。 难点： 1. 厘清勾股定理与逆定理逻辑关系，避免性质与判定混用，推理出现逻辑错误。 2. 理解勾股定理拼图证明思路，从面积角度建立三边关系，感悟数形结合思想。 3. 在网格、组合几何图形中挖掘直角条件，正确选用定理完成几何推理计算。 知识点一 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 特别提醒 勾股定理仅适用于直角三角形，运算时务必分清直角边与斜边，避免公式套用错误。已知两边可直接计算，边长关系未知时需设元列方程求解，同时结合实际舍去不合理负值解，保证解题严谨规范。 即学即练 1．如图，点为数轴原点，数轴上点表示的数为1，过点作，使．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（     ） A． B．2 C．1 D． 2．如图，点是上的中点，于点，连接，若，，则的长度为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点二 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 特别提醒 勾股定理逆定理用于判定直角三角形，需先用较短两边平方和与最长边平方对比。切勿随意任选两边计算，避免判定失误。严格区分定理与逆定理，定理用于求边长，逆定理用于证直角、判定三角形形状。 即学即练 3．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，过点作，垂足为，，．试判断的形状，并说明理由． 题型01 勾股定理的证明方法 典｜例｜精｜析 1．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    变｜式｜巩｜固 2．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 4．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 题型02 勾股数问题 典｜例｜精｜析 5．下列各组数中是“勾股数”的一组是（     ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．2，2，3 变｜式｜巩｜固 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 7．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 8．学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 题型03 勾股定理与无理数 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 11．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 题型04 以弦图为背景的计算题 典｜例｜精｜析 13．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 变｜式｜巩｜固 14．（数学文化）勾股定理在《九章算术》中被表述为：“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦）．若“勾”为，“股”为，则“弦”的值为（　　） A． B． C． D． 15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 16．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 题型05 用勾股定理构造图形解决问题 典｜例｜精｜析 17．某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 变｜式｜巩｜固 18．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 设寸， 19．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 20．如图，在中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 题型06 用勾股定理解三角形 典｜例｜精｜析 21．如图，．求的度数．（用表示） 变｜式｜巩｜固 22．如图①，现有一张三角形纸片，沿边上的高所在的直线翻折，使得点与边上的点重合． (1)填空：是___________三角形； (2)若，求边上的高的长； (3)如图②，若，写出之间的数量关系___________． 23．如图，已知等边三角形的边长为5，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 24．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则线段的长为（     ） A．1.2 B．1.6 C．2 D．2.4 题型07 勾股定理与网格问题 典｜例｜精｜析 25．如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 变｜式｜巩｜固 26．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 27．如图，4×4的正方形网格的每个小正方形的边长都是1． (1)在图中画出，使得，，； (2)求的面积． 28．如图，的正方形网格的每个小正方形的边长都是． (1)在图中画出，使得，，，并判断是否是直角三角形，请写出判断过程． (2)求的面积． 题型08 勾股定理与折叠问题 典｜例｜精｜析 29．如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 变｜式｜巩｜固 30．如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 31．如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 32．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 题型09 用勾股定理证明线段平方关系 典｜例｜精｜析 33．如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 变｜式｜巩｜固 34．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 35．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是____________． 36．如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． (1)求证：． (2)求的度数． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 题型10 判断三边是否构成直角三角形 典｜例｜精｜析 37．在中，，，的对边分别为a，b，c，根据下列条件，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，是的中点，交于点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 39．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 40．如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 题型11 利用勾股定理的逆定理求解 典｜例｜精｜析 41．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 变｜式｜巩｜固 42．如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 43．如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 44．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 典｜例｜精｜析 45．如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 变｜式｜巩｜固 46．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 47．某小区的两个喷泉，的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)____________； (2)求供水点到喷泉的距离； (3)请求出喷泉到小路的最短距离． 48．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 基础通关 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 2．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 5．如图，中，，，，则____________． 6．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 7．如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 8．如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 9．在中，． (1)若，，求c． (2)若，，求b． (3)若，，求a． 10．已知，中，，，． (1)尺规作图：在上找一点使得点到的距离等于的长；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上过点作，垂足为点，求的长． 素养提升 11．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 12．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 13．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 14．如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且．得，…，依此方法继续作下去，得（     ） A． B． C． D． 15．如图，D，E，F均为正方形，为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为________． 16．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 17．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 19．满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 20．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 (2)如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 (3)如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 迁移创新 21．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 22．如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，；作直线，分别与，交于点，；再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，平分，交于点E，，交于点D．若，，，则的长为______． 24．如图，中，于，点在线段上，连接，且，，则和的数量关系为__________；若，，则的长为__________． 25．如图，在等腰中，，又，连接． (1)若，求的长； (2)如图1，求证： ； (3)如图2，若平分交于F点，则________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章 特殊三角形 2.7探索勾股定理（勾股定理及其逆定理) 课时目标 1. 理解勾股定理的推导过程与几何意义，掌握直角三角形三边数量关系公式。 2.掌握勾股定理逆定理内容，理解其判定直角三角形的数学原理与依据。 课标要点 3.能运用勾股定理完成边长、周长、面积计算，完成纯几何层面相关计算。 4.会利用逆定理判断三角形形状，辨别直角三角形，提升几何判别推理能力。 5. 经历定理猜想与证明过程，体会数形结合思想，发展逻辑推理核心素养。 重点： 1.熟记勾股定理表达式，明确定理成立前提，分清直角三角形斜边与直角边。 2.掌握逆定理文字与符号表达，能依据三边数量关系判定三角形为直角三角形。 3.能够利用勾股定理求解直角三角形未知边，规范几何计算的书写表达。 4.识别常用勾股数，利用勾股数快速判断三边关系，简化几何运算过程。 学习重难点 5.分清勾股定理与逆定理条件结论，掌握二者在几何推理中的不同用法。 难点： 1.厘清勾股定理与逆定理逻辑关系，避免性质与判定混用，推理出现逻辑错误。 2.理解勾股定理拼图证明思路，从面积角度建立三边关系，感悟数形结合思想。 3.在网格、组合几何图形中挖掘直角条件，正确选用定理完成几何推理计算。 1/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 清主线 课时内容导图 知识点一勾股定理 知识梳理 知识点二勾股定理的逆定理 题型01勾股定理的证明方法 题型02勾股数问题 题型03勾股定理与无理数 题型04以弦图为背景的计算题 题型05用勾股定理构造图形解决问题 题型06用勾股定理解三角形 探索勾股定理（勾股定理及其逆定理） 题型目录 题型07勾股定理与网格问题 题型08勾股定理与折叠问题 题型09用勾股定理证明线段平方关系 题型10判断三边是否构成直角三角形 题型11利用勾股定理的逆定理求解 题型12勾股定理逆定理的实际应用 课时巩固精炼 理新知 教材全盘梳理 ◇知识点一 勾股定理 1勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直 角边和斜边，那么. 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理)。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：(1)“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 (2)在应用勾股定理时要注意它的变式： a2+b2=c2→a2=c2-b2→b2=c2-a2；c2=(a+b2-2ab 2/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母c表 示，只有当∠C=90°时，a2+b2=c2,若∠B=90°，则a2+c2=b2。 (4)在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图()所示的正方形. 图pg四=a+by=c2+4×b,所以。+公=c2. Bb(1) 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图2）中En四=c2=6-aP+4xb,所以。2=心+B2 2 (2) 方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. b (3) S常形ABCD a+ba+）=2x2ab+c2, 1 2 2 所以a2+b2=c2 特别提醒 勾股定理仅适用于直角三角形，运算时务必分清直角边与斜边，避免公式套用错误。已知两边可直接 计算，边长关系未知时需设元列方程求解，同时结合实际舍去不合理负值解，保证解题严谨规范。 父即学即练 13.如图，点O为数轴原点，数轴上点A表示的数为1，过点A作AB⊥OA,使AB=1.以O为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数是() 3/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 1 2 A.√2 B.2 C.1 D.1+√2 【答案】A 【分析】先根据己知条件判断OA=AB,根据勾股定理求出OB长度，利用半径相等，即可求出OP长度， 从而求出P点所表示的数 【详解】解：数轴上点A表示的数为1， ..OA=AB=1, AB⊥OA, ..OB=OA2+AB2=1+1=2. .OP =OB OP=2, “P点表示的数是V2 14.如图，点E是AC上的中点，CD⊥AB于点D,连接DE,若AD=6,CD=8,则DE的长度为 () A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【分析】首先根据勾股定理求出AC=VAD+CD=10,然后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求 解。 【详解】解：：CDLAB, .∠ADC=90°， AD=6,CD=8, .AC=AD2+CD2=10, 4/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点E是AC上的中点， .DE=AC=5 今知识点二 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,且a+b=c2,那么这个三角形 是直角三角形 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量 关系，即a+b2=c;勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a+b=c2”为条件，进 而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：(1)两者都与三角形三边关系a+b=c有关；(2)两者都与直角三角形有关。 2.勾股数 满足关系a+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数。 常见的勾股数有：(1)3,4,5：(2)6,8,10：(3)9,12,15；(4)5,12,13；(5) 8,15,17:(6)7,24,25: 特别提醒 勾股定理逆定理用于判定直角三角形，需先用较短两边平方和与最长边平方对比。切勿随意任选两边 计算，避免判定失误。严格区分定理与逆定理，定理用于求边长，逆定理用于证直角、判定三角形形 状。 《◇即学即练 15.在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形.下列长度（单位：cm)的各组线段中，能构 成直角三角形的是() A.1,2,3 B.2,3,4 C.6,7,8 D.5,12,13 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等. 【详解】解：A、1+2=3,不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意： 5/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B、2+32=13,42=16,13≠16，不能构成直角三角形，不符合题意： C、62+72=85,82=64,85≠64，不能构成直角三角形，不符合题意： D、52+122=169,132=169,52+122=132,能构成直角三角形，符合题意. 16.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC,垂足为D,AB=20,AC=15,CD=9.试判断△ABC的形 状，并说明理由， A ◇ B D 【答案】△ABC是直角三角形，理由如下： AD⊥BC ∴.∠ADB=∠ADC=90° ,AC=15,CD=9 ∴.AD=VAC2-CD2=12 AB=20 .BD=√AB2-AD2=16 .BC=BD+CD=16+9=25 .BC2=252=625 .AB2+AC2=202+152=625 ∴.AB2+AC2=BC2 ∴.∠BAC=909 ∴，△ABC是直角三角形. 【分析】先对Rt△ABD,Rt△ACD运用勾股定理求解BC,再对Rt△ABC运用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】略 通题型 解题能力构建 ◆题型01勾股定理的证明方法 典例精1析 1.如图，四边形ACDE是直角梯形，点B在CD上.在Rt△ABC和Rt△BDE中， 6/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=∠D=90°，AC=BD=a,BC=ED=b,AB=BE=C.试利用该图形验证勾股定理. D E 【答案】 证明：：AC=BD=a,BC=ED=b,AB=BE=c, .△ACB≌△BDE(SSS), ∴.∠BAC=∠EBD ∠ABC+∠BAC=90° ·∠ABC+∠EBD=90°， ∴.∠ABE=90° 和时C,形4C0e的面积为2a+ba+b), 1 “RIAACB'Rt△BDE'Rt△ABE的面积分别为2b,24 .(@+bXab)-jwb+ 2 2 2 :(a+b}2=2ab+c2, 化简，得a2+b2=c2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段 和角相等的重要工具， 证明△ACB≌△BDE(SSS),得出∠BAC=∠EBD,根据Rt△ACB,Rt△BDE,Rt△ABE的面积分别为 1 b和2c,棉形ACDE的面积为a+ba+b,得出a+ba+b)-b+ab+,再化简 1 1 2 29 2 即可 【详解】略 变式巩固 2.勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样.下列各式能用如图所示的图形面积验证 7/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 勾股定理的等式是() b a A.(a+b)=4xab+o B.(a+b)}2=a2+2ab+b c.(a+b)}=(b-a2+4ab D.a2+b2-2ab=(a-b)}2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键. 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算. 【详解】解：大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2, 小正方形的边长为c,面积为c2, 1 四个直角三角形的面积都为2ab, 所以(a+by=4xb+c, 故选：A 3.我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定 理.他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图(1)所示，拼成 如图(2)所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理2+b2=c2.下面是小明证明勾股定理的部分 过程，请你帮助小明续写证明过程. A a F b-a b C a B (1) (2) 证明：如图，连接EB,由题意，得∠AEF=∠BAC,∠AEF+∠EAF=90°， 8/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠BAC+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90° 【答案】 S边形ABDE=SBc+SEr+Sk方形0z~ 1ab+ab+bb-a）)=b2 1 2 化简得a2+b2=c2. 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键.利用两种不同的 方法表示出四边形ABDE的面积，化简整理即可得到勾股定理表达式， 【详解】证明：如图，连接EB,由题意，得∠AEF=∠BAC,∠AEF+∠EAF=90°， ∴.∠BAE=∠BAC+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°， 1 1 Ss边形a0e=S.c+S.4Em+S长方ecm=2b+2b+b(b-a)=b 2 S n=+neb+o00-o小r-+8- -29 B=c2+b2 1 2 2 21 化简得a2+b2=c2. 4.综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具.中国是 最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是 数学定理中证明方法较多的定理之一 b a 9◇ ◇ a 6 6 b a b a b 图1 图2 图3 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程. 【答案】解：选图1 :S大正方形=4S直角三角形+S小正方形， 9/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .c2=4×5ab+(b-a)2, .c2=2ab+b2-2ab+a2, ∴c2=b2+a2: 或选图2 :S大正方形=4S直角三角形+S小正方形， (a+b)-4xab+c .a2+2ab+b2=2ab+c2, a2+b2=c2: 或选图3 :S直角梯形=2S直角三角形+S等腰直角三角形， 1 1 12 ∴2b+a=2x2b+ 2c, .(b+a)2=2ab+c2, .a2+2ab+b2=2ab+c2, .a2+b2=c2. 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可. 【详解】略 题型02勾股数问题 典1例精1析 5.下列各组数中是“勾股数”的一组是() A.1,2,V3 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.2,2,3 【答案】C 【分析】验证每组数是否为正整数且较小两数的平方和与最大数的平方是否相等，即可判断是否为勾股数. 【详解】解：A,含V2,√5，不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意 B.三个均为小数，均不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意 C.5,12,13均为正整数，且52+122=25+144=169=132，是勾股数，故本选项符合题意. 10/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.2,2,3均为正整数，但2+2=8≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意。 变式|巩1固 6.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各 组数中，是“勾股数”的是() A.6、8、10 B.2、V5、√7 C.7、8、9 D.2.5、0.7、2.4 【答案】A 【详解】解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中6+82=100=10，且三个数均为正整数，符合题意： 选项C中7+82=113,92=81,113≠81，不满足勾股定理，不符合题意： 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意. 7.若L,n是正整数且m>n,由，n的值可确定勾股数a,b,c,其中a=m2+n2,b=2mn, c=m2-n,则下列勾股数不能由m,n确定的是() A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可. 【详解】解：A、:a=13,b=12,c=5，,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=13 2mn=12 m2-n2=5 m=3 解得： n=2,故选项A不符合题意： B、a=15,b=12,c=9,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=15 ∴.2mn=12 m2-n2=9 解得：n2=3,m2=12 ,、n无正整数解，故选项B符合题意： 11/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C、:a=17,b=8,c=15,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=17 ∴.2mn=8 m2-n2=15 1m=4 解得： n=1，故选项C不符合题意： D、:a=25,b=24,c=7,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=25 ∴.2mn=24 m2-n2=7 m=4 解得： n=3，故选项D不符合题意。 8.学习了勾股数后，我们知道(4,35)，(6,810)，（⑧，15,17），…都是勾股数组.某学习小组分析这些勾股 数组发现：4=2×2,3=2-1：6=2×3,8=32-1；8=-2×4,15=4-1；…分析其中的规律，解答下列 问题 (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数： (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n(n≥2，且n为整数)，另外两个数分别为 时，则这三个数为勾股数 请你补充完整猜想并验证猜想.· 【答案】(1)(10,24,26) (2)n2-1,n2+1, 证明：(n2-12+(2m)2=n-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,(n2+1=n+2n2+1, .(n2-102+(2m)2=(n2+1)2, 、2n,2-1,+1是勾股数. 【分析】(1)通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为5×2=10,52-1=24，利用勾股定理计算或者 通过规律得到第三个数是26： (2)由观察归纳得到两个数与之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性. 【详解】(1)略 (2)略 12/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03勾股定理与无理数 典1例精析 9.如图，在RtAOAB中，∠OAB=90°，OA=2,AB=1,以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴负 半轴于点C,则点C表示的数是 -2-1012 【答案】-V5 【分析】由勾股定理求出OB的长度，进而得OC的长度，则可求得点C表示的数. 【详解】解：由勾股定理得0B=√OA+AB2=V22+12=√5， 由作图知OC=OB=V5, 则点C表示的数为0-V5=-√5 变式巩固 10.如图，在正方形ABCD中，顶点A,B分别与数轴上表示数1,3的点重合.将正方形ABCD绕点A顺 时针旋转一周，正方形ABCD的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为() D ABL上 -3-2-101234561 A.5 B.2√2-1 C.22+1 D.9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点A距离最远的是点C,易得AB=2, .:点C到点A的距离为V22+22=2√2， ·顶点A与数轴上表示1的点重合， ∴当点C在数轴原点的右侧时，点C到原点的距离为2V2+1,正方形ABCD的边与数轴的交点所表示的数 最大为2W2+1, 故选C. 13/74 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B,C,D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心， AD长为半径画圆交数轴于M,N两点，则N点所表示的数为() D B -4-3+2-10123 A.1-V10 B.1+V10 c.10 D.V10-1 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AD的长，再根据数轴上点的位置关系求解. 【详解】解：由图可知，点A表示的数为1， 在网格中构造以AD为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， AD=V12+32=V10, :以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M,N两点， ∴.AN=AD=V10, ,点N在点A的右侧， ∴点V表示的数为1+V10 12.如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B,且BC=1.连接AC,在AC上截 取CD=BC,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点E表示的实数是（) D A 0 E A.V3-1 B.1 c.5-5 D.V5-1 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再结合CD=BC求出AD的长，最后根据圆的半径相等得出AE的 长，从而确定点E表示的数。 【详解】解：由题意可知，点A表示0，点B表示2， 14/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=2, BC⊥AB,BC=1, ∴.在RtAABC中，AC=VAB2+BC2=V22+1P=√5. CD=BC=1, .'AD=AC-CD=5-1. :以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E, .AE AD=5-1, ,点A表示的数为0，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的实数是V5-1」 >题型04以弦图为背景的计算题 典1例1精1析 13.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形 和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>”).若小正方形 面积为5，(m+n'=21,则大正方形面积为() 71 A.12 B.13 C.14 D.21 【答案】B 【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为(m-n),大正方形的面积为直 角三角形斜边的平方即(m+n),结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可. 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为(m-n), .小正方形的面积为(m-n)=5, 即m2+n2-2mn=5①， (m+n)）/=21, .m2+n2+2mn=21②， 15/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①+②得2(m2+n2)=26, .m2+n2=13, :大正方形的边长为直角三角形的斜边， ·大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即m2+n2=13, 变|式巩1固 14.(数学文化)勾股定理在《九章算术》中被表述为：“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即 弦”，即c=V2+b(a为勾，b为股，c为弦).若“勾”为2，“股”为5，则“弦”的值为() A.√2I B.V29 c.√万 D.7 【答案】B 【详解】解：：“勾”为2，“股”为5，弦的计算公式为c=Va2+b, .c=√22+52=V4+25=V29,B选项符合题意。 15.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正 方形ABCD的边长为V34，,DH=3,连接AG,则AG的长度为()： B A.V34 B.6 c.5 D.V29 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形AHD的另一条直角边，从而确定小正 方形EHGF的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形AHG中AG的长度. 【详解】解：~大正方形ABCD的边长为V34,DH=3, :.直角三角形AHD另一条直角边AH=VAD2-DH2=VN34-32=5. △AHD≌△BEA, :DH=AE=3, .EH=AH-AE=5-3=2, 16/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .在正方形EFGH中，HG=EH=2 ∴.在直角三角形AGH中，AG=VAH+GH2=V52+22=√29 16.中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型， 它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的.若∠ACB=90°， AC=6,BC=4,则该“数学风车”的周长为() A.40 B.42 C.48 D.56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计 算即可 【详解】解：：AC=6,BC=4,∠ACB=90°， ∴.BC为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， ∴延长部分BD=BC=4, ·新直角三角形的直角边CD=BC+BD=4+4=8, 在Rt&ACD中，由勾股定理得：AD=VAC2+CD2=V6+82=10, .“数学风车”的周长为(AD+BD)×4=(10+4)×4=56 。题型05用勾股定理构造图形解决问题 典例1精1析 17.某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将 它往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m),踏板离地的垂直高度C℉=3m,它的绳索始终拉直，求 绳索AC的长 17/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)图中BD= m (2)求绳索AC的长度. 【答案】(1)2m. (2)5m. 【分析】(1)由CF=DE=3m,再用DE-BE求BD即可： (2)设AC的长为m,则AB=AC=m,可得AD=AB-BD=(x-2)m,再利用勾股定理建立方程求解 即可 【详解】(1)解：由题意可知，CF=3m,BE=l1m,CD⊥AB,CF=DE=3m .BE Im .'BD=DE-BE =2m; (2)解：设AC的长为m,则AB=AC=m, .'AD=AB-BD=(x-2)m 在RtAACD中， 由勾股定理，得：AD2+CD=AC2, 即(x-2)}+42=x2 解得：x=5 答：绳索AC的长为5m, 变1式巩固 18.《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实.其第九章《勾股》有一题的大 意是：如图，假设推开双门(AD和BC),门边缘点D,C距门槛AB为1尺，且双门间隙CD为2寸， 则门宽AB是尺.(1尺=10寸) 18/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】10.1 【分析】取AB的中点O,过点D作DE⊥AB的垂线，设OA=x寸，根据题意，可得OE=1寸， AE=(x-)寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可. 【详解】解：如图，取AB的中点O,过点D作DE⊥AB的垂线，垂足为E, 设 寸， B EO OA=x 由题可知，OA=OB=AD=BC,DE=1尺=10寸，CD=2寸， :0A=0B=AD=BC=x寸，0E=2CD=1寸， AE=OA-0E=(x-l)寸， 在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2, .(x-1)2+102=x2, 解得x=50.5, .AB=OA+OB=101寸=10.1尺， 则门宽AB是10.1尺. 19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC的一部分折叠，点C落在边AB上的点E处，折痕交BC于 点D,测得△BDE的周长为12，BE=4,则边AC= 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得AC=AE,CD=DE,由△BDE的周长及BE的长可求出BC的长，设 AC=x,则AB=x+4,在Rt△ABC中利用勾股定理构建方程求解即可 19/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，将△ABC的一部分折叠，点C落在边AB上的点E处，折痕交BC于点D, .AC=AE,CD=DE :△BDE的周长为12， .BD+DE+BE=12, BE=4, :BD+DE=8, BD+CD=8,即BC=8, 设AC=x,则AE=x,AB=AE+BE=x+4, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB .x2+82=(x+4,解得：x=6, .AC=6 20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=45 D B (1)求BC的长度： (2)D是BC上的一点，并且AD=DB,求BD的长. 【答案】(1)8 (25 【分析】(1)直接运用勾股定理求解即可： (2)设AD=DB=x,则DC=8-x,然后在RtsACD中运用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：：在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=4V5. BC=VAB2-AC=45-42=8 (2)解：设AD=DB=x,则DC=8-x, 在RtAACD中，AD2=CD2+AC2, .x2=(8-x2+42, 解得：x=5, 20/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=5 。题型06用勾股定理解三角形 典例1精1析 21.如图，AD1CD,AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,∠CAB=a.求∠B的度数.（用a表示） 【答案】90°-a 【分析】勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理求出∠ACB=90°，再根据直角三角形的性质，求出∠B 的度数即可： 【详解】解：，AD⊥CD, ∴∠ADC=90° .AC2=AD2+CD2=32+42=25, AB=13,BC=12 AC2+BC2=169,AB2=169 .AC2+BC2=AB2, .∠ACB=90° ∠CAB=a, .∠B=90°-∠CAB=90°-a 变式巩固 22.如图①，现有一张三角形纸片ABC,沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点 D重合 B --C B 1 ② 21/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空：△ADC是 三角形： 2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长： (3)如图②，若∠DAC=90°，写出BC,BD,AE之间的数量关系 【答案】(1)等腰 (2)12 (3)BC-BD=2AE 【分析】(I)根据折叠得到AD=AC,所以△ADC是等腰三角形： (2)设CE=x,利用勾股定理得到方程132-x2=152-(14-x解得：x=5,在RtAAEC中，由勾股定理 即可解答： (3)由△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，得到△ADC是等腰直角三角形：又AE是CD边上的高，所 以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD=2AE,由BC-BD=CD,即可解答. 【详解】(1)解：：三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D 重合， .'AD=AC, :△ADC是等腰三角形， (2)解：设CE=x,则BE=14-x, 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2=AC2-CE2, .AE2=132-x2 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=AB2-BE2, 4E2-152-(14-x2, .132-x2=152-(（14-x2, 解得：x=5, 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE=√AC2-CE2=V132-52=√144=12. (3)解：由(1)得：△ADC是等腰三角形， 又∠DAC=90°， ∴△ADC是等腰直角三角形 又AE是CD边上的高 ÷DE=CE,∠D1E=∠EAC=)∠DAC= 2×90°=450 22/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AED与△AEC都是等腰直角三角形， DE=AE=EC,即CD=2AE, .BC-BD=CD, .BC-BD=2AE 23.如图，己知等边三角形ABC的边长为5，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作 EF⊥AC于点F,连结DF,若BE=1,则DF的长为() B E A.3 B.2 C.3 D.2V5 【答案】C 【分析】计算出BD,CF,可得AD=AF,推出三角形ADF为等边三角形，即可得到∠EDF=9O°，即可 推出DF 【详解】解：：在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=5, ∴.EC=BC-BE=4, DE⊥BC, ∠DEB=90°， ∠BDE=90°-∠B=30°， ∴DB=2BE=2, :AD=AB-DB=3. :EF⊥AC, ∴.∠EFC=90° ∴∠CEF=90°-∠C=30°， .CF-C2 .AF=AC-CF=3. .AD=AF, ∠A=60°， 23/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADF为等边三角形， ∴.DF=AD=3 24.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F.若AB=14, BE=6,则线段DF的长为() C D B A.1.2 B.1.6 C.2 D.2.4 【答案】A 【分析】利用等角对等边，得到CE=AE=8,进而得出BC=10,利用等面积法求出AD=11.2,再证明 △AEF≌aCEB(ASA),得到AF=BC=I0,即可得解. 【详解】解：AB=14,BE=6, .AE=8, CE⊥AB,∠BAC=45° .∠ACE=45°=∠CAE, .CE=AE=8, 在RtaBCE中，BC=VCE2+BE2=I0, SuW-AB-CE=1BC.AD, 2 2 ∴AD=BCE_14x BC 10 2=112. :∠CFD=∠AFE,∠CDF=∠AEF=90°， ∴.∠BCE=∠FAE. 又'AE=CE,∠AEF=∠CEB=90°， ∴.△AEF≌△CEB(ASA), .AF =BC=10. .DF=AD-AF =1.2. 24/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型07勾股定理与网格问题 典例1精析 25.如图是三个4×5的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点就是格点. B (1)线段AB的长度为- (2)请在图中找到所有满足条件的格点C,连接BC,使得BC=V3: (3)在(2)的基础上，连接AC,计算S。4c的面积. 【答案】(1)V17 (2)解：如图，C,C2即为所求 A 11 5 3)Sc=2或5c= 【分析】(1)利用勾股定理计算即可： (2)取格点C,C,结合勾股定理满足BC=BC,=V13即可： (3)连接AC,AC2,再利用割补法求解三角形的面积即可. 【详解】(1)解：AB=√4+1？=√17. (2)略 (3)解：如图，连接AC,AC2, 25/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S=3×4- 1x3 2 1x4 2 x2x3=12-}-2-3 29 232=5 S4=2×4-7x1x1-×2x3-x1x4=8- 21 2 2 2 变式巩1固 26.如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，△ABC的顶点在格点上， (1)直接写出AB= BC= AC (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)直接写出BC边上的高为」 【答案】(1)W5,5,25 (2)△ABC是直角三角形，见解析 (3)2 【分析】(1)利用勾股定理，进行计算即可解答： (2)利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答： (3)利用等积法，进行计算即可解答， 【详解】(1)解：由题意得：AB2=22+12=5,BC2=42+32=25, AC2=22+42=20, ..AB=5,BC=5,AC=25. 故答案为：V5,5,25: 26/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：△ABC是直角三角形， 理由：AB2+AC2=25,BC2=25, .AB2+AC2=BC2, ∴△ABC是直角三角形： (3)解：设BC边上的高为h, alaC的面积=8cA-B4C。 .BC.h=AB·AC, h=5x25-2. 27.如图，4×4的正方形网格的每个小正方形的边长都是1. (1)在图中画出△ABC,使得AB=1,BC=22,AC=V13, (2)求△ABC的面积. 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】(1)利用勾股定理，数形结合的思想画出三角形ABC即可； (2)利用三角形面积公式求解 【详解】(1)解： AB=1,BC=V22+22=22,AC=V32+22=V3, 如图，△ABC即为所求； B 27/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)△ABC的面积2×1x2=1, 28.如图，5×5的正方形网格的每个小正方形的边长都是1 (1在图中画出△ABC,使得AB=V2,BC=V0,AC=4,并判断△ABC是否是直角三角形，请写出判断 过程. (2)求△ABC的面积. 【答案】(1) 如图所示，△ABC即为所求。 B A 不是直角三角形，理由如下： △ABC :AB2+BC2=(（2+0=2+10=12,AC2=4=16 AB2+BC2≠AC2, △ABC不是直角三角形： (2)2 【分析】(1)根据网格画出三角形，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可： (2)根据三角形的面积公式计算即可： 本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键】 【详解】(1)解：略： (2)解：5c=x4x1=2 2 28/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型08勾股定理与折叠问题 典例1精1析 29.如图，在三角形纸片ABC中，∠B=90°，AB=6,AC=10,折叠三角形纸片，使点B在AC边上的 点E处，则BD的长是」 【答案】3 【分析】先求出BC的长，再得出DE=BD,AE=AB=6,∠AED=∠B=90°，则可得CE的长，然后在 Rt△CDE中，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：：在△ABC中，∠B=90°，AB=6,AC=10, .'.BC=AC2-AB2 =8, 由折叠的性质得：DE=BD,AE=AB=6,∠AED=∠B=90°， :.CE=AC-AE=10-6=4,∠CED=180°-∠AED=90°， 设DE=BD=x(x>O),则CD=BC-BD=8-x, 在Rt△CDE中，CE2+DE2=CD,即4+x2=(8-x2, 解得x=3, 即BD的长是3. 变式巩1固 30.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6,△ABF的面积为24，则 EC的长为 D 29/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【 8 【分析】本题主要考查折叠性质、勾股定理，根据矩形的性质结合三角形的面积求出BF的长，勾股定理 求出AF的长，进而得到AD的长，则可求出CF=2,设CE=x,则DE=EF=6-x,在RtACEF中，由 勾股定理得EF2=CF2+CE2,则(6-x)}=x之+2，解方程即可得到答案 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，AD=BC,CD=AB=6,∠C=90°， △Br的面积=号B-BF=x66F=24. 2 BF=8, .AF=VAB2+BF2 =10, ,折叠， ∴AF=AD=BC=I0,DE=EF ∴.FC=BC-BF=2, 设CE=x,则DE=EF=6-x, 在RtACEF中，由勾股定理得EF2=CF2+CE2, .(6-x)}=x2+2, 所 :CE=8 3 8 故答案为： 31.如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=8;D为BC上一点，连接AD,把△ABC沿AD折叠， 使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积为() D A.8 B.9 C.10 D.12 30/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等， 并利用勾股定理列方程求解是解题的关键 先利用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长 度，在Rt△BDC中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（△ADC)的面积. 【详解】解：AB=10,AC=6,BC=8」 .AC2+BC2=62+82=100=AB2, .∠C=90° 由折叠性质可知：AB'=AB=10,B'D=BD, B'C=AB-AC=10-6=4, 设CD=x,则BD=8-x,BD=8-x. 在Rt△BDC中，B'D2=B'C2+CD2, .(8-x)2=42+x2, .64-16x+x2=16+x2, .16x=48, ∴.x=3,即CD=3, Sc=2 CxCD-6x3- 故选：B 32.如图，直角三角形AOB中，AO=6,B0=8,M是OB的上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B 恰好落在AO所在直线上点B处. B 6 M M B 0 B B' (1)求边AB的长： (2)求OM的长： (3)在AO所在直线上找一点P,使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出OP的长」 【答案】(1)10 (2)0M=3 31/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B)OP=g或OP=4或oP=9或0P=1 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： (1)直接利用勾股定理进行求解即可： (2)折叠的性质，得到BM=B'M,AB'=AB,设OM=x,在Rt△B'OM中利用勾股定理，进行求解即 可： (3)分PM=PB,PM=MB,PB'=MB,三种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：直角三角形AOB中，AO=6,B0=8, .AB=VO42+OB2=10: (2)折叠， ∴AB=AB'=10,BM=B'M, ..OB'=AB'-OA=4. 设OM=x, ÷.BM=B'M=OB-OM=8-x, 在RtaB'OM中，B'M2=OM2+OB2, .(8-x)2=x2+42, 解得：x=3: ∴.OM=3: (3)由(2)可知：BM=B'M=OB-OM=5: 当点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当MP=B'M=5时： B 则：OP=OB'=4: ②当B'P=B'M=5时： 32/74 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M 则：OP=B'P-OB=1,或OP=B'P+OB=9 ③当B'P=MP时： M B' PNO A 设OP=a,则：B'P=PM=OB-OP=4-a, 在RtaP0M中，由勾股定理，得：(4-a)2=a2+32, 7 ..a= 8 :0ps7 8 7 综上：OP=8或0P=4或oP=9或oP=1 ◆题型09用勾股定理证明线段平方关系 典1例1精1析 33.如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点. B 33/74 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)猜想MN与BD的位置关系？并证明你的猜想. (2)直接写出AC、BD、MN三者之间的数量关系： 【答案】(1) 解：MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD, 证明：连接BM,DM, ,M为 中点， .·∠ABC=90°∠ADC=90° AC C.BM=AC.DM-74C ∴BM=DM, :N为BD中点， ∴.MN⊥BD,BN=DN, 即MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD: (2)4MN2+BD2=AC2 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出BM=DM, 题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力， 连接MDM很据直角三角形斜边上中线性质推出BMAC,DM=AC,推出BV一DP 2 在△BMD中，根据三线合一定理求出即可： (2)根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得4MN2+BD=AC2. 【详解】(1)略 (2)解：MN⊥BD ∴.BM2=BN2+MN2, BN=DN: BM=AC -合4c-传a0+aw. 即4MN2+BD2=AC2 34/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式巩固 34.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,若AD=7,BC=24,则AB2+CD2= B 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定 理是解题的关键.根据垂直的定义和勾股定理解答即可 【详解】解：由题意得：AC⊥BD .∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AB2+CD2=A02+B02+C0+D02, .AD2+BC2=A02+D02+B02+C02, .AB2+CD2=AD2+BC2, AD=7,BC=24 ∴.AB2+CD2=72+242=625 故答案为：625. 35.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90,如图①，则有Q2+b2=c2;若△ABC是锐角三 角形，小明猜想a2+b>c2,理由：如图②，过点A作AD⊥CB,垂足为D,设CD=x.在Rt△ADC 中，AD2=b2-x2,在Rt4DB中，AD2=c2-(a-x},b2-x2=c2-(a-x,整理得 a2+b2=c2+2ax,a>0,x>0,.2ax>0,.a2+b2>c2,.当△ABC是锐角三角形时， a2+b2>c2,.小明的猜想是正确的. 0 D a ③ 35/74 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时，a2+b一c2(填“>m<"或“=”)； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的. 3)若AB=15,AC=13,BC=4,则△ABC的面积是 【答案】(1)< (2) 如图所示，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,设CD=x, 根据勾股定理得AD=b-x2,AD2=c2-(a+x2, 则b2-x2=c2-(a+x)2, 即c2=a2+b2+2ax. :a>0x>0. c2>a2+b2: A b B D a (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于(1)，根据题意猜想即可： 对于(2)，先过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,设CD=x,再根据勾股定理得 AD2=b2-x2,AD2=c2-(a+x)}2,整理可得答案： 对于(3)，先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x,进而得出答案. 【详解】(1)△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时，a2+b2<c2, 故答案为：<： (2)略 (3),AB=15,AC=13,BC=4 .AC2+BC2=169+16=185<AB2, .△ABC时钝角三角形 过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,设CD=x, 36/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)，得c2=a2+b2+2ax, .152=132+42+2×4x, 解得x=5, .CD=5 在RtAACD中，根据勾股定理，得AD=√AC2-CD2=12, 5c=8c4D=4x12=24 故答案为：24」 A D 36.如图，已知△ABC和△ACD,∠ABC=∠CAD=90,AC=AD,AB>BC,点C关于直线AB的对称 点为C',线段CD交边AB于点E,交∠CAD的平分线于点F,连结CF, D C B (1)求证：CF=DF (2)求∠AEF的度数. (3)探究DE与AB的数量关系，并说明理由， 【答案】(1) 证明：：AF平分∠CAD,AC=AD, .∠CAF=∠DAF=45°， AC=AD,AF=AF, △ACF≌AADF, :.CF=DF: 37/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)45° (3) DE=√2AB,理由如下： 作DG⊥BA,垂足为G. 0 GJ-------- E B .·∠G=∠CAD=90° ·.∠DAG=∠ACB .△DGA≌△ABC, .DG=AB. ∠G=90°，∠AEF=45°， ∴.∠GED=∠GDE=45°， ∴.GE=GD DE2 GE2+DG2=2DG2=2AB2, ∴.DE=V2AB 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解 答本题的关键。 (1)根据SAS证明△ACF≌aADF可得结论： (2)连接AC',由对称性得AC'=AC=AD,1=∠2，∠3=∠4，可得出∠AEF=∠1+∠3=45° (3)作DG⊥BA,垂足为G.证明△DGA≌△ABC,再根据勾股定理可得结论. 【详解】(1)略 (2)解：连接AC'. 38/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 点与点关于直线 对称， E 1 B .C C AB AC'=AC=AD,∠I=∠2 ∴∠3=∠4. ∠AEF+∠2+∠4=90°，∠AEF=∠I+∠3， ∴.∠AEF=∠1+∠3=45°： (3)略 ◆题型10判断三边是否构成直角三角形 典1例山精1析 37.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,根据下列条件，能判定△ABC是直角三角形的 是() A.∠A+∠B+∠C=180° B.∠A:∠B:∠C=1:2:2 C.a+b>c D.a:b:c=1:2:V5 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键 根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及三角形三边关系，逐项判断能否判定△ABC为直角三角形 【详解】解：选项A::任意三角形的内角和都为180°，故该条件不能判定△ABC是直角三角形，故A不 符合题意： 选项B:设∠A=x,∠B=2x,∠C=2x, ∠A+∠B+∠C=180°， ∴.x+2x+2x=180°， 解得x=36 则∠A=36°，∠B=∠C=72°，△ABC不是直角三角形，故B不符合题意： 选项C:,a+b>C是任意三角形都满足的三边关系，故该条件不能判定△ABC是直角三角形，故C不符合 39/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题意： 选项D:设a=x,b=2x,c=V5x(x>0), a2+b2=x2+(2x}=5x2,c2=(N5x=5x2, a2+b2=c2, 根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，故D符合题意： 故选D, 变式巩固 38.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E,连接BE,CE2+BC=AE2, B (1)求证：∠C=90° (2)若CE=ED,求∠A的度数. 【答案】(1) 证明：D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E, ∴.DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE=AE, .CE2 +BC2=AE2, .CE2 BC2=BE2, .△BCE是直角三角形， ∴∠C=90°： (2)30° 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的判定等， 熟练掌握知识点是解题的关键。 (1)由已知可得DE是线段AB的垂直平分线，即得BE=AE,再根据勾股定理的逆定理即可求证： (2)由BE=AE得∠A=∠ABE,再根据角平分线的判定定理可得∠ABE=∠CBE,即得到 40/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABE=∠CBE=∠A,得到3∠A=90°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知，BE=AE, ∴.∠A=∠ABE, LC=90°， .EC⊥BC, 又ED⊥AB,EC=ED ∴点E在∠ABC的角平分线上，即BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∴.∠ABE=LCBE=∠A, ,∠A+∠ABC=90°， .3∠A=90°， ∠A=30° 39.如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形. ① ② ③ (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数： (3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数. 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】(1)画一个两条直角边分别为2,1的直角三角形即可： (2)画一个直角边为2√2的等腰直角三角形即可： (3)根据网格特点，画出一个直角边长为V10的等腰直角三角形即可： 【详解】(1)解：由题意作图如下： 41/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① (2)解：由题意，作图如下： ② (3)解：由题意，作图如下： ③ 40.如图，在△ABC中， 1)当AB=12,BC=13,AC=5时，求△ABC的面积. (2)当AB=V41,BC=8,AC=5时，求△ABC的面积. 【答案】(1)30 (2)16 【分析】本题考查勾股定理逆定理，用勾股定理解三角形，三角形面积的计算： (1)先根据题干中所给出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，再根据直角三角 形的两条直角边，计算出三角形的面积： (2)首先根据边长关系判断△ABC不是直角三角形，过点A作AD⊥BC于点D,根据 AC2-CD2=AB2-BD2=AD列方程并求解，即可得到答案 【详解】(1)解：(1)：AB=12,BC=13,AC=5, 42/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB2+AC2=122+52=169=132=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， 5c2x4B×4C=x12x5=30 2 (2)解：AB=④，BC=8,AC=5, ·AB2+AC2=(N4+52=66≠64=82=BC2, ∴.△ABC不是直角三角形，如图， D 过点A作AD⊥BC于点D, ∠ADC=∠ADB=90°， 设BD=x,则CD=8-x, .AC2-CD2=AB2-BD2=AD2. 52-(8-x}=(4-x2, x=5, BD=5,CD=3, ∴.AD=VAC2-CD2=√25-9=4， SAMBC=BCXAD=-x8x4=16 2 ◆题型11利用勾股定理的逆定理求解 典1例精1析 41.如图，连接四边形ABCD的对角线AC,己知∠B=90°，BC=1,AB=V5,CD=2,AD=2V2. B 43/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)2： 2 【分析】(1)直接根据勾股定理即可求解： (2)先证明△ACD是直角三角形，然后根据S四边形Bcm=S,Bc+S,4cD求解即可. 【详解】(1)解：：∠B=90°，BC=1,AB=V3, 、.AC=√AB2+BC2=VP+(V3y=2, ∴.AC的长为2： (2)解：CD=2,AD=2√2 .AC2+CD2=22+22=8=AD2, .∠ACD=90°， :.△ACD是直角三角形， ∴.S四边形ABcD=SABc+S4CD =AB×BC+ACxCD 2 2 5*22 3 2 +2, ·四边形ABCD的面积为2 +2 变式|巩1固 42.如图，AB⊥BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,请你连接AC.求： D 44/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)AC的长； (2)四边形ABCD的面积. 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形是解题的关键. (1)根据勾股定理得出AC即可： (2)先根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可. 【详解】(1)解：如图， D C :AB⊥BCAB=4BC=3 .AC=AB2+BC2=5; (2)解：AC2+CD2=52+122=25+144=169,AD2=132=169, .AD2=AC2+CD, ∴△ACD是直角三角形， .∠ACD=90°. 在R△BC中，又c8CAB=×3x4=6, 2 在R△ADC中，CDAC=×12x5=30, 1 .S四边形BCD=S△4CD+S△MBc=36 43.如图，三个正方形的面积分别为S,S,S,且K是AB中点.若S=18,S,=7,S,=25,则CK 的长为( D S G K 45/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 > B.√7 C. 3 D.5 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握用勾股定理的逆定 理判定三角形是直角三角形是解题的关键.根据正方形的面积公式求出AC2=18,BC2=7,AB2=25, AB=5,所以AC2+BC2=AB2,从而得出∠ACB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可. 【详解】解：~正方形ACDE的面积S=18, AC2=18, 正方形BCFG的面积S2=7, ∴BC2=7, AC2+BC2=18+7=25, 正方形的面积的S=25, AB2=25, .AB=5, ∴.AC2+BC2=AB2 .∠ACB=90°， K是AB中点， K时 2, 故选：A 44.如图，己知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,点M,N为垂 足，若BD=3 2'DE=2' EC=5 2,则AC的长为() B 3W10 3V6 5 A B 2 2 c.2 D.32 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形， 46/74 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.本题难点是添加辅助线构造直角三角形 根据线段垂直平分线的性质得出AD,AE的长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用 勾股定理解答即可. 【详解】解：连接AD,AE, B ,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E, .AD=BD=3 AE=EC= DE=2, .AD2+DE2 ∴，△ADE是直角三角形， .∠ADE=90° 由勾股定理可得：AC=VAD2+DC 故选：A ◆题型12勾股定理逆定理的实际应用 典|例精1析 45.如图，在一条东西走向的公路1的一侧有一村庄P,村庄P与公路1原来由两条笔直小路PB,PA相 连接，其中PA=AB,由于某种原因，由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行， 新建了一条公路PC(A,C,B在同一条直线上)，测得PB=13km,BC=5km,PC=12km, (1)问是否为从村庄P到公路1的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线PA的长. 47/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)是：理由见解析 (2)原来的路线PA的长为16.9km 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理先证明△PCB是直角三角形，得出PC⊥AB,根据垂线段最短，即 可得出结论： (2)设4P=xkm,则4C=(-5)km,根据勾股定理列出方程122+(x-5)=x,解方程即可. 【详解】(1)解：是：理由如下： 在△PCB中， PC2+BC2=122+52=169,PB2=132=169, :PC2+BC2 PB2, ∴△PCB是直角三角形， PC⊥AB, 垂线段最短， PC是从村庄P到I的最近路线： (2)解：设AP=km,则4C=(x-5)km, 在Rt△PAC中，，PC2+AC2=PA, 122+(x-5)}=x2, 解得：x=16.9, 答：原来的路线PA的长为16.9km. 变|式巩固 46.为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容 环境卫生整治行动·植绿种树”活动.志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD(如图) 进行绿化，经测量∠ABC=90°，AB=14米，BC=48米，CD=40米，AD=30米，求空地ABCD的面积. 街 道 街道 【答案】空地的面积是936m 48/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关 键 由勾股定理得AC=50米，再由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形.且∠D=90°，然后由三角形面积 公式即可得出结论， 【详解】解：连接AC, D 道 A 街道 在Rt△ABC中，AB=14米，BC=48米，CD=40米，AD=30米， .AC=VAB2+BC2=50(米)， AD2+CD2=302+402=2500, :AD+CD2=AC2, △ACD是直角三角形，且∠D=90°， ∴.S四边形ABCD=S。AcD+S。ABC =AD.CD+LAB-BC )×40×30+7×14×48 =600+336 =936(m2）. 答：空地的面积是936m2 47.某小区的两个喷泉A,B的位置如图所示，两个喷泉间的距离AB的长为25m.现要为喷泉铺设供水 管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为l2m,BM的长为l5m. B (1)BN= m 49/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求供水点M到喷泉A的距离： (3)请求出喷泉B到小路AC的最短距离， 【答案】(19 (2)20m (3)15m 【分析】(I)在RtABMN中利用勾股定理即可求解： (2)在Rt△AMN中利用勾股定理即可求解： (3)利用勾股定理的逆定理证明∠AMB=90°，则BM1AC,再根据点到直线的距离即可解答. 【详解】(1)解：，MN是点M到AB的距离， .MN⊥AB」 ∴.∠AWM=∠BNM=90° 在RteBMN中，BN2+MN2=BM2, :.BN=VBM2-MN2=V15-122=9(m): (2)解：，AB的长为25m, .AN=AB-BN=25-9=16(m). 在Rt△AMN中，AN2+MN2=AM2 :AM=VAW2+MW2=162+12=20(m), 答：供水点M到喷泉A的距离为20m; (3)解：：AM=20m,BM=15m,AB=25m, .AM2+BM2=AB2, ∴.∠AMB=90° .BM⊥AC, ∴，喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长，即l5m, 答：喷泉B到小路AC的最短距离为l5m, 48.项目化学习 项目主题：办公区绿化规划， 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候.某占地面积为400m的 办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化， 50/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设计方案：如图是该办公区的规划示意图.已知AB=12m,BC=9m,CD=8m,AD=17m, ∠ABC=90° 绿 问题解决： 道 街道 (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC,则这条直道AC的长度为 m: (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求」 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】(1)利用勾股定理解答即可： (2)利用勾股定理逆定理可得∠ACD=90°，可求出绿化区的面积，即可求解 【详解】(1)解：因为AB=12m,BC=9m,∠ABC=90°， 所以AC=VAB2+BC2=15m 答：这条直道AC的长度为15m, (2)解：因为AC=15m,CD=8m,AD=17m, 所以CD2+AC2=82+152=289=AD2 所以∠ACD=90° 所以绿化区的面积为Sa+SD-)AB×BC+)ACxCD=)x9x12+)x15x8=14m)】 2 2 2 400×30%=120(m2). 因为114<120. 所以设计方案不符合规划要求。 刷好题 课时巩固精炼 51/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ©基础通关 1.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.3,3,6 C.6,8,10 D.5,7,9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：A选项，，2+32=13≠42=16，∴不能构成直角三角形： B选项，：3+3=6，.不能构成三角形，“不能构成直角三角形： C选项，：62+82=100=102，∴能构成直角三角形： D选项，：52+7=74≠92=81，“不能构成直角三角形， 2.如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶点B和C重合，AB=6,AC=8,求CE的长. 设CE=x,则所列方程正确的是() D A A.x2+(8-x)=62 B.6+x2=(8-x)月 C.62+(8-x)2=x2 D.x2+(6-x)2=8 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：由折叠得CE=BE, 设CE=x,则BE=x, AC=8, .AE=AC-CE=8-x, AB=6,在Rt△AEB中，AB2+AE2=BE2, .62+(8-x2=x2 3.如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外作面积为125 的正方形，则AB2=() 52/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 125 100 A B A.5 B.10 c.15 D.25 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可. 【详解】解：~在△ABC中，∠A为直角， .AB2+AC2=BC2, ∴AB2=BC2-AC2=125-100=25 4.如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,则斜边AB上的中线CD的长为() A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求AB,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求CD的长. 【详解】解：由勾股定理得AB=VAC2+BC2=V62+82=10, ,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， CD=)4B=x10=5 1 21 2 5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,AB=3,则BC= 【答案】 5 【分析】在Rt△ABC中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边. 53/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，在RtAABC中，∠C=90°， ..AC2+BC2=AB2, AC=2,AB=3, 、22+BC2=32, .BC2=5, :BC>0. .BC=5 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙 正方形的面积为23，则AC的长为_ 甲 B 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到AB2=26,BC2=23,据此由勾股定理可得答案. 【详解】解：，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， AB2=26,BC2=23」 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴.由勾股定理得AC2=AB2+BC2=49, ·.AC=7或AC=-7(舍去). 7.如图，已知OA=OB,那么数轴上点A所表示数的相反数是 B 32 ，3→ 【答案】V5 【分析】先由勾股定理求出OB,进而得到OA,即可得到点A所表示数，最后求出点A所表示数的相反数 即可得到答案 【详解】解：由图可知，OB=V+22=√5， 01=0B=5,则点A所表示数为-V5, 54/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·数轴上点A所表示数的相反数是V5 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1,BC=2,则正方形ADEC的面积是 E B 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再根据正方形的面积公式可得答案. 【详解】解：：在△ABC中，∠B=90,AB=1,BC=2. ∴.由勾股定理得AC2=AB2+BC2=1P+22=5, ∴.正方形ADEC的面积=AC2=5. 9.在Rt△ABC中，∠C=90° (1若a=6,b=8,求c. (2)若a=4,c=V41,求b. (3)若c=25,b=24,求a 【答案】(1)c=10 (2)b=5 (3)a=7 【分析】(1)根据勾股定理，可得c2=a2+b=100,结合C>0,即可求得答案： (2)根据勾股定理，可得b2=c2-a2=25,结合b>0,即可求得答案： (3)根据勾股定理，可得a2=c2-b2=49,结合a>0,即可求得答案. 【详解】(1)解：∠C=90°， c2=a2+b2=62+82=100, .c>0, ∴.c=10; (2)解：∠C=90°， ∴b2=c2-a2=(N41-42=25, b>0 55/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b=5: (3)解：∠C=90°， a2=c2-b2=252-242=49, .a>0. .a=7 10.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4. (1)尺规作图：在AC上找一点D使得点D到AB的距离等于CD的长；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的基础上过点D作DE⊥AB,垂足为点E,求AD的长. 【答案】(1)如图所示，点D即为所求： B 【分析】(1)作出∠ABC的角平分线与AC相交，交点即为点D,由于∠ACB=90°，则根据角平分线的 性质定理即可得到点D到AB的距离等于CD的长； (2)先由勾股定理求解AB,然后根据角平分线性质定理得到DE=DC,再设DE=DC=x,则 AD=AC-CD=3-x' 根据面积法得到)AB×DE=AD×BC,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图， 56/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B :∠ACB=90°，AC=3,BC=4 ∴.AB=VAC2+BC2=5 ,BD平分∠ABC,∠C=90°，DE⊥AB ∴.DE=DC 设DE=DC=x,则AD=AC-CD=3-x ABXDE=ADXBC 2 1 1 2x5x=2×6-4 部得一子 :AD=3-45 33: ©素养提升 11.若m,n是正整数且m>n,由，n的值可确定勾股数a,b,c,其中a=m2+n2,b=2mn, c=m2-n2,则下列勾股数不能由m,n确定的是() A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可. 【详解】解：A、a=13,b=12,c=5,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=13 ∴2mn=12, m2-n2=5 57/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=3 解得： n=2,故选项A不符合题意； B、a=15,b=12,c=9,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=15 2mn=12 m2-n2=9 解得：n2=3,m2=12, :、n无正整数解，故选项B符合题意； C、,0=17,b=8,c=15,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=17 2mn=8, m2-n2=15 m=4 解得： n=1, 故选项C不符合题意： D、a=25,b=24,c=7,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=25 .2mn=24, m2-n2=7 1m=4 解得： n=3,故选项D不符合题意. 12.如图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是2，CB⊥AB于点B,且BC=2,以A点为圆心， AC为半径画弧交数轴于点D,则点D表示的数是() B 0 A.V13 B.3-1 C.2.6 D.13+1 【答案】B 【分析】先求出4B=2-(（-)=3,再由勾股定理可求得AC=VAB2+BC2=V3,再由AD=AC=3,即 可得点D表示的数， 58/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，点A表示的数是-1，点B表示的数是2， ∴AB=2-(1)=3 :CB⊥AB,BC=2, ∴.AC=VAB2+BC2=V13, ∴.AD=AC=13, :点A表示的数是-1， ∴点D表示的数是3-1 13.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正 方形ABCD的边长为V34,DH=3,连接AG,则AG的长度为()， A.V34 B.6 C.5 D.29 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形AHD的另一条直角边，从而确定小正 方形EHGF的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形AHG中AG的长度. 【详解】解：大正方形ABCD的边长为V34,DH=3, :直角三角形4HD另一条直角边AH=VAD2-DH=34-32=5. △AHD≌△BEA, .DH=AE=3, .EH=AH-AE=5-3=2. ∴在正方形EFGH中，HG=EH=2, .在直角三角形AGH中，AG=VAH2+GH2=V5+22=√29 14.如图，OP=1,过点P作PP1OP且P?=1,得OP=V2;再过点R,作PB⊥OP,且R=1,得 OR=V5;又过点B作BB1OB且B=1.得OP=2,,依此方法继续作下去，得OP2=() 59/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P A.V2023 B.√2022 C.√2021 D.V2020 【答案】A 【分析】根据腮意，得0R=V2=+1:OR=3=2+1;0P=2=V4=3+1,, 依此方法继续作下 去，得OP,=Vn+1,解答即可： 【详解】解：根据题意，得OR=V2=V+1;O9=3=2+1:O2=2=V4=√3+1，，依此方法继续 作下去，得OP,=Vn+1. 故0P02=V2023 15.如图，D,E,F均为正方形，△ACB为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为 B 【答案】41 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可求 解。 【详解】解：：△ACB为直角三角形， ∴，AC2+BC2=AB2 又，正方形D的面积为AC2=25,正方形E的面积为BC2=16, ∴.正方形F的面积为AB2=AC2+BC2=25+16=41」 16. 己知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB=6,BC=8,BD=5,则AC的长度为 【答案】10 【分析】延长BD到点E,使ED=BD,连接CE,证明aCED≌△ABD,利用全等的性质得到对应边的长 度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解。 60/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：延长BD到点E,使ED=BD,连接CE, B E .BD=5 .BE=2BD=10, :BD是△ABC的中线， ∴.CD=AD, ,在△CED和△ABD中， CD=AD ∠CDE=∠ADB ED=BD .∴ACED≌△ABD(SAS) .∠DCE=∠A,CE=AB=6, .CE∥AB. BC=8, CE2+BC2=62+82=100. :BE2=102=100, .CE2+BC2=BE2, ∴.△BCE是直角三角形，且∠BCE=90°， ∠ABC=180°-∠BCE=90°， AC=VAB2+BC2=V62+82=10 17.如图Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为 MN,则线段AN的长为 M 61/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5 【分析】设AW=x,由翻折的性质可知DN=AN=x,则BN=9-x,在Rt△DBN中利用勾股定理列方程 求解即可. 【详解】解：设AW=x,由翻折的性质可知DN=AN=x,则BN=AB-AW=9-x, :D是BC的中点， BD=2BC=3. 在Rt△DBN中，由勾股定理，得ND2=NB2+BD2, 即x2=(9-x)2+32, 解得x=5」 即AW=5. 18.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线 AC、BD交于点O.若AD=3,BC=5,则AB2+CD2= 【答案】34 【分析】在Rt△COB和Rt△AOD中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB,OD+OA=AD,进一步得 B02+C02+0D2+0A=25+9=34,再根据AB2=B02+A02,CD2=0C2+0D2,然后根据等量代换即 可解答。 【详解】解：，BD⊥AC, ∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90° 在R△COB和Rt△AOD中，根据勾股定理得：BO+CO2=CB,OD2+OA=AD2, .CB2+AD2=B02+C02+0D2+0A2=25+9=34, AB2 BO2+AO,CD2 =OC2+OD2 .AB2+CD2=BO2+402+0C2+OD2 =(B02+0D)+(A02+0C2)=CB2+AD2=34 19·满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： 62/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3,4,5) ←+32=(5+4)×(5-4)： (5,12,13)→53=(13+12)×(13-12) (1)按此规律，填空：(6，▲，O)亡6=(O+▲)×(O-▲)， 上面一组勾股数中，▲表示_，O表示： (2)猜想： ①当”是大于1的奇数时，勾股数为：”2，”)，诗你给出证明。 n2-1n2+1、 ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：(2n,n-1,_). 【答案】(1)8,10： @世明“=心，之， 2 ，22 n2-1n2+1 “当n是大于1的奇数时，勾股数为：(”2,2)： ②n2+1 【分析】(1)找到两个正整数的和与它们的差为36即可： (2)①根据整式的加减即可证明： ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【详解】(1)解：按此规律，填空： (6,▲，O)=62=(O+▲)x(O-▲) 上面一组勾股数中，▲表示8,0表示10； (2)解：①略 ②：(2n}+(n2-1=4n2+n-2n2+1=n+2n2+1=(n2+1. 当2n是大于2的偶数时，用n表示勾股数：(2，n2-1,n2+)】 20.综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到 两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型. 63/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,图中构成了“手拉手”模型， 则有：△ABD≌ 一；线段BD和CE的数量关系是 【探究】 (2)如图2，△ABC与△ADE均为等边三角形，且点D在BC边上，求证： ①BD=CE ②∠DCE=120°： 【拓展】 (3)如图3，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°，若BC=6,AD=5,连接 BD,CE,BE,当B,C,D在同一条直线上，直接写出△BDE的面积； 【答案】(1)△ACE:BD=CE (2)证明：：aABC,△ADE都是等边三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=6O ∴.∠BAD=∠CAE .△ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE,∠ACE=∠ABD=60° ·.∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°： 49 3)?或对 【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE即可： (2)根据等边三角形的性质证明△ABD≌△ACE(SAS),再由全等三角形的性质以及等边三角形的性质证 明即可； (3)同理可证明△BAD≌△CAE(SAS),然后可得CE⊥BC,过点A作AF⊥BC于点F,则△ABF、 人4CE均是等腰直角三角形，则BF=CF=AFBC=3,由勾股定理求解得到pE4'再分两种情况求 64/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解即可。 【详解】(1)解：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ∴.∠BAD=∠CAE .AB=AC,AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) ..BD=CE: (2)略 (3)解：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90 .∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，∠BAD=∠CAE .△BAD≌△CAE(SAS) .∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE, ∴.∠ACB+∠ACE=90°=∠ECB 过点A作AF⊥BC于点F,则△ABF、△ACF均是等腰直角三角形， .BF=CF-AF-BC-3 AD=5, ..DF=VAD2-AF2=4 当点D在点C右侧时， B F 此时CE=BD=BF+DF=3+4=7 Saso-BDxCE 2 当点D在点B左侧时， 65/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 此时CE=BD=DF-BF=4-3=1 、.S△BDE=2 DXCE= 2 49 综上：ABDE的面积为？或) 迁移创新 21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB边上，将边AC沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点 D处，再将BC折叠，使其落在直线CD上，点B落在点B处，折痕为CF,若CE=3,B'F=I,则BC= (). B A.3V5 B.6 c.52 D.5 【答案】D 【分析】利用折叠性质推导角度，得出∠ECF=45°，同时得到垂直关系与线段相等，先求出BE,最后在 RtaBCE中借助勾股定理求出BC 【详解】解：由折叠性质：∠4CE=∠DCE=<4CD,∠BCF=∠BCF-<BCB, :∠ACB=90°， 即∠ACD+∠BCB'=90°， &∠BCr=∠DcE+∠BCr=∠ACD+∠BCB) 2×90=450 66/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC沿CE折叠，A落在D处， ∴.∠AEC=∠DEC=90°， 即CE⊥AB,∠CEF=90° 在△ECF中：∠ECF=45°，∠CEF=90°. :aECF是等腰直角三角形，EF=CE=3, 由第二次折叠得：BF=B'F=1, BE=EF+BF=3+1=4, 在RtABCE中，∠CEB=90°，CE=3,BE=4, ∴.BC=VCE2+BE2=V32+42=9+16=V25=5. 2.如图，分别以A'B为圆心，以大于24B的长为半径画弧，两弧分别交于点M,N:作直线MN, 分别与AB,AP交于点D,E;再以点D为圆心，BD的长为半径画弧，与AP交于点C,连接BC,若 BC=6,AC=10,则CE的长是() M D A. 16 15 B.5 c,6 D.7 【答案】B 【分析】连接CD,根据作图痕迹可知MN是线段AB的垂直平分线，可得EA=EB；由CD=BD=AD可 证△ABC是直角三角形；设CE=x,在RtABCE中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：连接CD,如图， 67/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 由作图可知，MN垂直平分AB, ∴.EA=EB,AD=BD, 由作图可知，CD=BD, ∴CD=AD=BD, ∴.∠A=∠ACD,∠ABC=∠DCB. :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .2(LACD+∠DCB)=180°，即∠ACB=90°， 设CE=x,则AE=AC-CE=10-x, EA=EB, .EB=10-x, 在RtaBCE中，CE2+BC2=BE x2+62=(10-x)月 16 解得x=5, CE=16 5· 23.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,交AC于点E,AD⊥BC,交BC于点D.若AB=5,AD=4, BC=9,则CE的长为 E D 【容1号而 68/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】在△ABD中，根据勾股定理可得BD的长，从而得到AC的长，再由角平分线的性质可得 S.=5 AE 5 S CBE 9,从而得到 Eg,即可求解。 【详解】解：在△ABD中，AD⊥BC,AB=5,AD=4, ∴BD=VAB2-AD2=3, ,BC=9, .CD=BC-BD=6. .AC=AD2+CD2=213. :BE平分∠ABC, ∴点E到AB,BC的距离相等， 设点B到AB,BC的距离分别为h,则 5 Spr=三ABxh=h,ScE=2B BC×h=h, 2 2 S.AE=5 S.cE9 AE 5 CE9' ..CB=9 C=9 14 23=913 14 7 24.如图，△ABC中，AE⊥BC于E,点D在线段CE上，连接AD,且∠BAD=60°，∠CAD=2∠DAE, 则∠B和∠C的数量关系为 一；若AB=4,AC=6,则BC的长为 【答案】 3∠B+∠C=180° 2W15 【分析】①设∠DAE=x°，则∠CAD=2x°，由此可得∠BAE=60°-x°，∠EAC=3x°，根据AE⊥BC,得到 ∠AEB=∠AEC=90°，从而推出∠B=30°+x°，即x°=∠B-30°， ∠C=90°-3x°，代入得到∠C=90°-3（∠B-30),化简即可求解： ②延长BA至点O,使AQ=AC,连接CQ,过点C作CH⊥BQ,交BQ于点H,由题意知 ∠BAC=2∠AQC,∠BAC=2∠B,得到∠B=∠ACQ,从而得到△BC0为等腰三角形，根据三线合一得到 69/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BH=H0,设BC=t,则CQ=t,再求得A0=AC=6,B0=10,BH=H0=5,AH=L,根据勾股定 理得到HC2=35,HC2=-25,从而得到2-25=35，即可求解。 【详解】解：①：∠CAD=2∠DAE, 设∠DAE=x°，则∠CAD=2x°， ,∠BAD=60°， ∠BAE=60°-x°， .∠EAC=∠DAE+∠CAD=3x°， ,AE⊥BC, ·∠AEB=∠AEC-90°， .∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAE=90°， 、∠B=90°-∠BAE=90°-(60°-x）=30°+x°，即x°=∠B-30°， ∠C=90°-∠EAC=90°-3x°， ÷.∠C=90°-3（∠B-30), 、3∠B+∠C=180°： ②如图，延长BA至点O,使A犯=AC,连接CQ,过点C作CH上B吧，交BO于点H, Q AO=AC :.∠AQC=∠ACQ, ÷.∠BAC=LAQC+∠ACQ=2LAQC. :3∠B+∠C=180°且∠B+∠C+∠BAC=180°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-∠B-(180°-3∠B)=2∠B .∠B=∠ACQ, 、.BC=CO,即△BCO为等腰三角形， ,CH⊥BQ, 70/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、BH=H0, .设BC=t,则CQ=t, .AO=AC=6 BQ=AB+AC=4+6=10 ÷朗=0-0=5， AH=BH-AB=5-4=1, 在RtAAHC中，HC2=AC2-AH2=36-1=35, 在RtAOHC中，HC2=Cg2-Hg=t-25, .t2-25=35, 解得%=25,5=-215（舍去）， .BC=2W15 25.如图，在等腰Rt△ABC中，AC⊥BC,又PA⊥PB,连接PC. C 图1 图2 (1)若AB=2,求AC的长： (2)如图1，求证：PA-PB=√2PC: PE 3如图2，若PA平分∠CAB交BC于F点，则AF 【答案】(1)V2 (2)证明：如图，在AP上截取AD=BP,令AP与BC交于点E, D B 图1 :AC⊥BCPA⊥PB ∴.∠ACB=∠APB=90°， ∴.∠CAP+∠CEA=90°、∠CBP+∠BEP=90°， 71/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CEA=∠BEP, ∴.∠CAP=∠CBP, 在△CAD和△CBP中， AC=BC ∠CAD=∠CBP AD=BP ∴ACAD≌aCBP(SAS). ∴.CD=CP,∠ACD=∠BCP, :∠ACD+∠DCB=∠ACB=90° ∴.∠BCP+∠DCB=90°，即∠DCP=90°， ACDP为等腰直角三角形， 由勾股定理得：DP=VCD2+PC2=VPC2+PC2=2PC, .PA-PB=PA-AD=DP=2PC: (a)-1 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC,利用勾股定理求出AC的长： (2)在AP上截取AD=BP,令AP与BC交于点E,根据直角三角形的性质求出∠CAP=∠CBP,进而证 明△CAD≌aCBP(SAS),求出aCDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求出DP=V2PC,从而得出结论： (3)延长AC、BP交于点G,过点F作FMLAB于点M,易证明△BFM是等腰直角三角形，利用勾股定 理求出BF=V2BM,利用角平分线的性质定理得到CF=FM,设CF=FM=BM=a,进而得到BF、 AC的长，证明△ACF≌aBCG(ASA)和△APB≌△APG(ASA)求出点P是BG的中点，利用勾股定理求出 BG的值，进而求出BP的值，再次利用勾股定理求出PF和AF的值，结合完全平方公式的变形进行求 解即可 【详解】(I)解：△ABC是等腰直角三角形， .AC=BC, 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2 :24C2=22, 解得：AC=V2或AC=-√2（舍去）： 72/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略： (3)解：延长AC、BP交于点G,过点F作FMLAB于点M, B 图2 ∴.∠FMB=90° ?△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=45°， ∴△BFM是等腰直角三角形， .FM=BM, :BF=MF2+BM2=2MF :PA平分∠CAB、FM⊥AB、BC⊥AC, ∴CF=FM, ∴.CF=FM=BM, 设CF=FM=BM=a,则BF=V2a, :.AC=BC=(2+1)a, 由(2)知∠CAP=∠CBP :∠ACB=90°， .∠BCG=180°-∠ACB=90°， .∠ACB=∠BCG, 在△ACF和△BCG中， [∠CAF=∠CBG AC=BC ∠ACB=∠BCG=90° △ACF≌aBCG(ASA), ∴.CF=CG=a, 73/74 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AP⊥BP, ∴.∠APB=∠APG=90°， 在△APB和△APG中， ∠APB=∠APG AP=AP ∠BAP=∠GAP ∴.AAPB≌aAPG(ASA), ∴PB=PG, 点P是BG的中点， 在RtaBCG中，由勾股定理得：BG=BC2+CG2=[（2+1a]+a2=(4+22)a2, ∴BP2= 在 Rt△BF 中，的g定里：mrar-j-马--} 在Rt△4CF中，由勾股定理得：AF2=AC2+CF2=(2+1)a2+a2=(4+22)a2, 2 3-2W2 AF PF√2-1 AF 2 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股 定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键. 74/74