2.8 直角三角形全等的判定 讲义 2025-2026学年 浙教版八年级上册数学

本初中数学讲义聚焦直角三角形全等的判定，系统梳理从一般三角形全等的SAS、ASA、AAS、SSS判定方法，到直角三角形特有的“斜边、直角边（HL）”定理的知识脉络，搭建从一般到特殊的学习支架，帮助学生构建完整的全等判定知识体系。 资料通过图形结合的选择填空题考查HL定理应用，探究性解答题引导推理，培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

2.8 直角三角形全等的判定 一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件. 一、单选题 1．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（       ） A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．两个面积相等的直角三角形全等 【答案】D 【提示】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案． 【解答】解：A、利用AAS来判定全等，不符合题意； B、利用SAS来判定全等，不符合题意； C、利用HL来判定全等，不符合题意； D、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等． 2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(   ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 【答案】D 【提示】根据判定定理即可得． 【解答】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意； B、添加，需用定理判定，则此项不符题意； C、添加，需用定理判定，则此项不符题意； D、添加，能用定理判定，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 【答案】D 【提示】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【解答】解：∵，， ∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（       ） A．32° B．62° C．58° D．68° 【答案】C 【提示】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠DEF＝∠ABC＝32°， ∴∠DFE＝90°﹣32°＝58°． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 5．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D．E为BC中点 【答案】D 【提示】首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断． 【解答】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故A、B、C正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（       ） A．40° B．50° C．70° D．71° 【答案】C 【提示】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出 【解答】 根据题意： 在中 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中 ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用． 7．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（       ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【提示】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答． 【解答】解：，，， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（       ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】A 【提示】通过HL定理判断三角形全等即可； 【解答】∵，，，， ∴， 同理可证明． 故选A． 【点睛】本题主要考查了利用HL定理判断三角形全等，准确分析判断是解题的关键． 9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【提示】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案． 【解答】如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=11cm，AC=5cm， ∴BE=3cm． 故应选D． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【提示】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF， ∴， ∵BF∥AC， ∴， ∴，即， ∴，即AD是△ABC的高，故①正确； ∵，AD=AD， ∴△ADC≌△ADB（ASA）， ∴，即AD是△ABC的中线，故②正确； ∵BF∥AC， ∴， ∵， ∴△DEC≌△DFB（AAS）， ∴ED＝FD，故③正确； 过点D作DG⊥AB于点G，如图所示： ∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，， ∴， ∵AD=AD， ∴（HL）， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确； 综上所述：正确的个数有4个； 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在与中，，，，，则______． 【答案】40° 【提示】根据HL，可以证明，则，再根据余角的性质即可求出的度数． 【解答】解：在中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：40° 【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质． 12．如图，，，，则______°． 【答案】25 【提示】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可． 【解答】解：∵， ∴△ABC和△ADC是直角三角形， ∵AC＝AC，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）, ∴∠DAC＝∠BAC， ∵， ∴∠DAC＝∠BAD＝65°， ∴90°－∠DAC＝25°． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键． 13．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 【答案】3.5 【提示】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长． 【解答】解：过C点作CF⊥AB于F，如图， ∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB， ∴CF=CE， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AF=AE， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=∠D， 在△CBF和△CDE中， ， ∴△CBF≌△CDE（AAS）， ∴BF=DE， ∵AF=AE， ∴AB+BF=AD-DE， 即11+DE=18-DE， ∴DE=3.5cm． 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 14．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________ 【答案】8 【提示】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【解答】解：∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠BDA=∠CEA=90°， 在Rt△ADB和Rt△CEA中， ∵AB=AC，BD=AE， ∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL）， ∵BD=3，CE=5， ∴AE=BD=3，AD=CE=5， ∴DE= AD+ AE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 15．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________． 【答案】2 【提示】根据HL证明，可得，根据即可求解． 【解答】解： AB⊥AD，CE⊥BD， ， 在与中， ， ， AD＝5，CD＝7， ，BD=CD＝7， 故答案为：2 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键． 16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______． 【答案】225° 【提示】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【解答】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____． 【答案】 【提示】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H， ∵AD⊥BC于点D， ∴AG=AB，∠H=∠ADG=90° ∴∠AGD=∠B， ∵AE//BC， ∴∠EAH=∠B， ∴∠EAH=∠AGD， ∵AE=AB， ∴AE=AG， 在△AEH和△GAD中， ， ∴△AEH≌△GAD（AAS）， ∴EH=AD，AH=GD， 在Rt△EHF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL）， ∴FH=CD， ∴FH-AH=CD-GD， ∴AF=GC， ∴， ∴S△AEF=S△GAC， 设GD=BD=m，则CD=4BD=4m， ∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____． 【答案】5 【提示】过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），得BE=CF，AE=AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF=DE=3，则CF=CD+DF=5，即可求解． 【解答】解：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：记交于点 则∠AFC=90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠AED=90°， ∵∠BDC=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴BE=CF，AE=AF， 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴DF=DE=3， ∴CF=CD+DF=5， ∴BE=CF=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，正确作出辅助线，证明Rt△ADF≌Rt△ADE是解题的关键． 三、解答题 19．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 【答案】见解析 【提示】根据角平分线的性质得，再用HL证明． 【解答】证明：∵， ∴为的角平分线， 又∵点P在上，，， ∴，， 又∵（公共边）， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 20．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD． 【答案】见解析 【提示】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可． 【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴BD＝AC， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OC＝OD． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等． 21．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． (1)求证△AMB≌△CNA； (2)求证∠BAC＝90°． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【提示】（1）由题意知∠AMB＝∠CNA＝90°，证明即可； （2）由，可知∠BAM＝∠ACN，根据∠CAN+∠ACN＝90°，可得∠CAN+∠BAM＝90°，进而结论得证． （1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在和中，∵，∴． （2）证明：∵，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22．如图，△ABC中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且． (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【提示】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）由题意先求得∠ACB的度数和∠BAE的度数，再由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． （1） 证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2） 解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝45°， 又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°， ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． 23．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC． 【答案】证明见解析 【提示】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论． 【解答】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC， ∴∠EAD＝∠ADC， ∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC， ∴∠AFC＝2∠ADC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F． (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2cm 【提示】（1）由角平分线的性质可知，证明，进而结论得证； （2）由，可得，证明，则，根据，计算求解即可． （1） 证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2） 解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2cm． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于找出三角形全等的条件． 25．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°． (1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)AD⊥CB′；； (2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析 【提示】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解； （2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解； ②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解． （1） 解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°， ∴AD⊥CB′； 过点A作AF⊥BC于点F，　 ∵AB=AC， ∴CF=BF=BC=， ∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′， ∴AF= AD， ∴△ADC≌△AFC(HL)， ∴CD=CF=， 故答案为：AD⊥CB′；； （2） 解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下： 设∠ACB′=∠ACB=α=∠B， ∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC， ∵∠DAE+∠ACD=90°， ∴∠ACD=90°-∠DAE=α， ∴90°-∠BAC=90°-∠DAE， ∴∠BAC=2∠DAE； ②BE=CD+DE，理由如下： 在BC上截取BG=CD，　 在△ABG和△ACD中，， ∴△ABG≌△ACD(SAS)， ∴AG=AD，∠BAG=∠CAD， ∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC， ∴∠BAC=∠GAD， ∵∠BAC=2∠DAE， ∴∠GAD=2∠DAE， ∴∠GAE=∠DAE， 在△GAE和△DAE中，， ∴△GAE≌△DAE (SAS)， ∴GE=DE， ∴BE=BG+GC=CD+DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 26．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______； (4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)仍成立，见解析 (3) (4)四边形的面积为32 【提示】（1）根据DB=PC，，利用直角三角形的判定方法证明，即可得到； （2）为平分线上一点，又于，于，得到，再证明即可； （3）先由已知条件得到AD平分，再根据，得到AB=AC，再由BM=CN，得到即可； （4），且，即可得到AC的长，又由，即可求得四边形ANDM的面积． （1） 如图1：由为平分线上一点，于，于， ， 在中， ， ， ； （2） （2）仍成立 点为平分线上一点， 又于，于， ， 又 （3） （3）； , 又 点为平分线上一点， 即AP平分， ， ， ， （4） （4）四边形的面积为32 点为平分线上一点， 又于，于， 又 （已证） 又 ，且 【点睛】本题考查四边形的综合题，主要考查角平分线的的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，运用全等三角形的性质与转化思想将四边形ANDM转化为四边形ABDC的面积是关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 直角三角形全等的判定 一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件. 一、单选题 1．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（       ） A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．两个面积相等的直角三角形全等 2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(   ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（       ） A．32° B．62° C．58° D．68° 5．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D．E为BC中点 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（       ） A．40° B．50° C．70° D．71° 7．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（       ） A．4 B． C．5 D． 8．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（       ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 10．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．如图，在与中，，，，，则______． 12．如图，，，，则______°． 13．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 14．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________ 15．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________． 16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____． 三、解答题 19．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 20．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD． 21．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． (1)求证△AMB≌△CNA； (2)求证∠BAC＝90°． 22．如图，△ABC中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且． (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数． 23．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC． 24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F． (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长． 25．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°． (1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 26．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______； (4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $