2.7探索勾股定理 讲义 2025-2026学年 浙教版数学八年级上册

2.7探索勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 四、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 一、单选题 1．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（     ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（       ） A．，， B．，， C． D．，， 3．下列说法正确的是（       ）． A．若、、是的三边长，则 B．若、、是的三边长，则 C．若、、是的三边长，，则 D．若、、是的三边长，，则 4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，、表示，若，，则的值为（       ）． A．9 B．12 C．16 D．18 5．如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（       ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（       ） A． B． C． D． 7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（            ） A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m 8．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（       ） A． B． C．6 D．8 9．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（       ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是________. 12．已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2+b2)2−2(a2+b2)−15=0，则斜边c为_______. 13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________ 14．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC是___三角三角形． 15．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．         16．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计） 17．如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____. 18．如图，是等边三角形，，D是的中点，F是直线上一动点，线段绕点D逆时针旋转，得到线段，当点F运动时，的最小值是________________． 三、解答题 19．如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 20．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为； （3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4． 22．有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 24．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长． 25．如图，在中，平分交于点D，E是上的一点，且，交于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 26．如图，在中，，于点，设，，，. 求证：（1）. （2）. （3）以，，为边的三角形是直角三角形. 27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止． (1)P、Q出发4秒后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？ 28．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7探索勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 四、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 一、单选题 1．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（     ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 【答案】D 【提示】根据勾股定理可以得到解答． 【解答】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为或者， 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差． 2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（       ） A．，， B．，， C． D．，， 【答案】A 【提示】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可． 【解答】A、∵，，，∴，，，不能满足，∴A不能组成直角三角形. B、92+402=412，故能构成直角三角形； C、设a=k，b=k，c=，∵k2+k2=，∴a2+b2=c2，故能构成直角三角形； D、（）2+62=（）2，故能构成直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3．下列说法正确的是（       ）． A．若、、是的三边长，则 B．若、、是的三边长，则 C．若、、是的三边长，，则 D．若、、是的三边长，，则 【答案】D 【提示】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答. 【解答】解：由勾股定理， A、没有确定直角和斜边，故A 错误； B、没有确定斜边，故B错误； C、斜边为，则，故C错误； D、，则与为直角边，为斜边，则，故D正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理. 4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，、表示，若，，则的值为（       ）． A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【提示】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值． 【解答】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c， ∴S1=a2=25，S1=b2，S3=c2=9， ∵△ABC是直角三角形， ∴c2+b2=a2， 即S3+S2=S1， ∴S2=S1-S3=25-9=16． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键． 5．如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】连结EF，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE，EF，AF的长度，继而可得出∠EAF的度数． 【解答】如图，连接. 根据勾股定理，得，. 因为，所以， 所以是等腰直角三角形，所以. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△AEF是等腰直角三角形是解决本题的关键． 6．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】利用矩形的性质得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=1，∠ABC=90° 在Rt△ABC中，AC=， ∴AM=AC=， ∴点M表示的数是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键． 7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（            ） A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m 【答案】C 【提示】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案． 【解答】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米， ∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米， 在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2， ∴BD2+0.72＝6.25， ∴BD2＝5.76， ∵BD＞0， ∴BD＝2.4米， ∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（       ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【提示】根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AD＝5， ∴CD＝3， ∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠BAD， ∴DB＝AD＝5， ∴BC＝BD+CD＝8， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形判定的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键． 9．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度可求解． 【解答】解：由题意，得：AD=60km， 在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km， ∴BD=(km)． ∴CD=BC-BD=125-80=45（km）． ∴在Rt△ACD中，AC==75（km）． 75÷25=3（h）． 答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，属基础题目，比较简单． 10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M， ∴AD＝AC′＝DC'＝2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°， ∵DC＝DC'， ∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C＝30°，DC'＝2， ∴DM＝1，C'M＝DM＝， ∴BM＝BD−DM＝3−1＝2， 在Rt△BMC'中， BC'＝， ∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM， ∴DH＝3×， ∴DH＝， ∵∠DCB＝∠DBC'， ∴点D到BC的距离为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 二、填空题 11．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是________. 【答案】直角三角形 【提示】利用勾股定理的逆定理进行计算即可得到答案. 【解答】因为=+，则此三角形是直角三角形，故答案为直角三角形. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 12．已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2+b2)2−2(a2+b2)−15=0，则斜边c为_______. 【答案】 【提示】先由勾股定理得出a2+b2=c2，再将这个等式代入a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0，解方程求出c2的值，然后求其算术平方根即可． 【解答】设这个直角三角形的斜边长是c. ∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长， ∴a2+b2=c2， 又∵(a2+b2)2−2(a2+b2)−15=0， ∴(c2)2−2c2−15=0， ∴(c2−5)(c2+3)=0， ∵c2>0， ∴c2=5， ∵c>0， ∴c=. 即这个直角三角形的斜边长是. 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理. 13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________ 【答案】16 【提示】延长AB和DC，两线交于O，求出OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可． 【解答】解：延长AB和DC，两线交于O， ∵∠C=90°，∠ABC=135°， ∴∠OBC=45°，∠BCO=90°， ∴∠O=45°， ∵∠A=90°， ∴∠D=45°， 则OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC， 设BC=OC=x，则BO=x， ∵CD=6，AB=2， ∴6+x=(x+2)， 解得：x=6-2， ∴OB=6-4，BC=OC=6-2，OA=AD=2+6-4=6-2， ∴S四边形ABCD=S△OAD-S△OBC =OA•AD-BC•OC = =16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积，二次根式的混合运算．正确添加辅助线构建直角三角形、求出BC的长度是解此题的关键． 14．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC是___三角三角形． 【答案】直角 【解答】根据配方法原式可化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质可得a=5，b=12，c=13，然后可得a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形. 故答案为直角. 点睛： 本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 15．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．         【答案】               【提示】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可． 【解答】解：根据题意，得 = =， ∵， ∴； 故答案为，，. 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键． 16．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计） 【答案】10 【解答】试题解析：将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离， 在Rt△A′BE中， BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm， 则AB==10cm， 答：小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm． 17．如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____. 【答案】7 【解答】解：∵AC=13，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴BC=13，∠BEC=∠CDA=∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠BCE=∠CAD， ∴△BCE≌△CAD（AAS）， ∴CD=BE=5， ∵在△BCE中，∠BEC=90°，BC=13，BE=5， ∴CE=， ∴DE=CE-CD=12-5=7. 故答案为：7. 18．如图，是等边三角形，，D是的中点，F是直线上一动点，线段绕点D逆时针旋转，得到线段，当点F运动时，的最小值是________________． 【答案】 【提示】作FM⊥BC，EN⊥BC，根据AAS定理证得△EDN≌△DFM，然后设BM=x，根据含30°的直角三角形性质及勾股定理列出AE2，结合二次根式的性质及完全平方公式的结构分析其最值，从而求解． 【解答】解：作FM⊥BC，EN⊥BC． ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段 ∴DE=DF，∠FDM+∠EDN=90° 又∵FM⊥BC，EN⊥BC ∴∠DMF=∠END=90°，∠FDM+∠DFM=90° ∴∠EDN=∠DFM ∴△EDN≌△DFM 由题意可得：∠B=60°，BD= ∴在Rt△BFM中，∠BFM=30° 如图，①当点F在线段AB上时， 设BM=x，则DN=FM=，CN=CD+DN=，NE=DM= 在Rt△CEN中， ∴ 此时，CE无最小值， 如图，②当点F在AB的延长线上时 设BM=x，则DN=FM=，CN=CD-DN=，NE=DM= 在Rt△CEN中， ∴ 此时，当x=时，CE2有最小值为 ∴CE的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题 19．如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 【答案】（1）；（2） 【提示】（1）利用勾股定理计算出的长即可； （2）根据三角形的面积公式计算出的长即可． 【解答】解：（1）在中，，，， ； （2）， ， 解得． 故高的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 20．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 【答案】CD=． 【提示】首先证明CD=DP，AC=AP=8，设CD=DP=x，在Rt△BDP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，设CD=DP=x 在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵∠CAD=∠PAD，∠C=∠APD=90°，AD=AD， ∴△ADC≌△ADP（AAS）， ∴AC=AP=8，CD=PD，设CD=PD=x， 在Rt△BDP中，∵PB=AB-AP=2，BD=6-x， ∴x2+22=（6-x）2， ∴x=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为； （3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4． 【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析 【提示】（1）画一个三边分别为3,4,5的直角三角形即可； （2）根据网格的特点以及勾股定理，分别找到边长分别为的线段，通过平移的方法将三条线段首位相连即可； （3）根据网格的特点画一个底为2高为4的钝角三角形即可； 【解答】（1）如图所示， ， 则即为所求三角形； （2）如图所示， ， 则即为所求三角形； （3）如图所示， 则即为所求三角形； 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理，根据勾股定理找到符合题意的线段是解题的关键． 22．有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)原来的路线的长为千米 【提示】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设千米，则千米，在中根据勾股定理解答即可． （1） 是直角三角形， 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形且； （2） 设千米，则千米， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：， ． 解得， 答：原来的路线的长为千米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理． 23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【提示】（1）首先由折叠的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余得出，进而利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求解； （2）首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出EB的长度，最后利用求解即可． 【解答】（1）∵把沿折叠，点折叠到点， ∴， ． ， ． ， ； （2）， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键． 24．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【提示】（1）根据中线的定义和勾股定理即可求证明． （2）根据中线的定义，得到，，利用勾股定理求得AB． （1） 证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3． ∴AC＝6，BC＝8． ∵． ∴． ∴△ABC是直角三角形． ∴． （2） 解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8， ∴，． ∵AD、BE分别为边BC、AC的中线． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了中线和勾股定理的知识，解题的关键在于明确中线的定义、掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 25．如图，在中，平分交于点D，E是上的一点，且，交于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【提示】（1）根据在中，平分交于点D，，可推出垂直平分，即可得出结果． （2）结合（1）证明BD是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解决问题． （1） ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴ （2） ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴在中， 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 26．如图，在中，，于点，设，，，. 求证：（1）. （2）. （3）以，，为边的三角形是直角三角形. 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析 【提示】（1）要证明，只需证=1即可，在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证． （2）根据三角形的面积公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a2+b2=c2，再利用完全平方公式整理即可得证； （3）先分别求出（a+b）2，h2，（c+h）2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】证明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB， ,即， ∵====1， ∴； (2)∵CD⊥AB,∠ACB=90∘， ∴S△ABC=ab=ch， ∴ab=ch， ∵∠ACB=90°， ∴a2+b2=c2， ∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2， ∵a、b、c、h都是正数， ∴(a+b)2<(c+h)2， ∴a+b<c+h； (3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2； h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面积公式推导)， ∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2， ∴(c+h)2=h2+(a+b)2， ∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质. 27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止． (1)P、Q出发4秒后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？ 【答案】(1)PQ的长为4cm； (2)出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； (3)当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形． 【提示】（1）由题意求得BQ和BP，由勾股定理可求出答案； （2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （3）求出BQ，分两种情况可求出答案． （1）解：∵运动时间为4秒，∴BQ=2×4=8（cm），BP=AB-AP=16-1×4=12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ==4（cm）； （2）解：设运动时间为t秒，则BQ=2t（cm），BP=（16-t）（cm），根据题意得：2t=16-t，解得：t=，即出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）解：当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q． 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC==20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ= （cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=（cm），（12+）÷2=9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2=16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒后，△CQB能形成直角三角形． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 28．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【答案】(1)150° (2)见解析 (3) 【提示】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答； （2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答； （3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答． (1) 解：∵， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°， 由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， ∵32+42=52 ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°； 故答案为：150°； (2) 证明：∵点P为△ABC的费马点， ∴， ∴， 又∵， ∴APD为等边三角形 ∴，， ∴， ∴， 在△APC和△ADE中， ∴ (ASA)； ∴， ∵， ∴BE＝PA＋PB＋PC； (3) 解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， 把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B， ∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B， ∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°， ∴C、P、A′、P′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $