2.6 直角三角形8大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理概念、两锐角互余性质、斜边中线定理（含证明与应用）及30°角直角边性质，构建从概念到性质、从定理证明到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例精析”结合变式训练，以倍长中线证斜边中线定理等实例，培养几何直观与推理意识，课中助力教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第二章 特殊三角形 2.6 直角三角形 课标要点 1. 掌握直角三角形两锐角互余的性质，理解直角三角形斜边中线定理的内容与含义。 2. 能证明斜边中线定理，经历观察猜想证明过程，提升演绎推理与逻辑表达能力。 3. 会运用直角三角形性质及斜中定理，求解线段、角度，解决简单几何实际问题。 学习重难点 重点： 1. 熟记直角三角形两锐角互余，牢固掌握斜边中线等于斜边一半这一核心定理内容。 2. 熟练斜中定理的几何证明思路，能结合图形分清定理条件与对应的结论。 3. 灵活运用性质与斜中定理进行计算证明，规范书写直角三角形相关解题步骤。 难点： 1. 理解斜中定理的证明辅助线构造，体会倍长中线的思想，突破辅助线思考障碍。 2. 在复杂图形中识别直角三角形，挖掘隐藏直角条件，准确调用斜边中线定理。 3. 综合结合等腰、直角三角形知识，解决多知识点融合题型，理清推理逻辑链条。 知识点一 直角三角形的概念与性质 有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。 符号记作，直角所对的边叫斜边，夹直角的两条边叫直角边。 两个锐角互余；斜边是三角形最长边。 直角三角形基础性质 两锐角互余 直角三角形的两个锐角相加等于。 ，。 逆用：三角形两锐角互余，则这个三角形是直角三角形。 特别提醒 判定直角三角形需紧扣90°角或两锐角互余条件，牢记斜边为最长边。熟练掌握斜中定理、30°角对半斜边性质，严格区分定理适用前提。解题切勿凭图形直观判断，需结合条件推理，避免性质混用、错用。 即学即练 1．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 知识点二 直角三角形斜边的中线定理 定理内容：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 几何语言： 在，，为中点 推论 1. ，图中出现两个等腰三角形：、。 2. 逆定理：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边为斜边。 辅助线技巧：见到直角三角形斜边中点，优先连接斜边中线。 简要证明思路 可以倍长中线构造矩形，利用矩形对角线相等且互相平分完成证明。 即学即练 3．如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，中，，D为上一点，直尺的一边与重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 知识点三 30°直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ，， 重要逆定理（常考填空选择） 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 三边比值记忆 直角三角形三边之比： 短直角边 (对 30°)长直角边 (对 60°)斜边 即学即练 5．如图1，在中，，．求证：． ①补全证明过程． 证明：如图2，取中点，连接． ∴ 在中，， ∴_____________； ∴． 又， ∴． ∴为______三角形． ∴． ②请用文字概括①所证明的命题：_________________． 6．如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型01 直角三角形的两个锐角互余 典｜例｜精｜析 1．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 变｜式｜巩｜固 2．如图，在平行四边形中，，垂足为点．如果，那么和分别等于多少度？ 3．如图，已知在 中， ，D 是 边上任意一点，于点 F，E 在边上，于 D，，则等于__________． 4．如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 典｜例｜精｜析 5．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（   ），这个三角形是（   ） A．，直角三角形 B．，锐角三角形 C．，钝角三角形 D．，锐角三角形 变｜式｜巩｜固 6．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 7．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 8．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 题型03 利用斜边的中线性质求边长 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 12．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为______________． 题型04 利用斜边的中线性质解决角度问题 典｜例｜精｜析 13．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 变｜式｜巩｜固 14．如图，在中，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为________． 15．如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 16．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 题型05 斜边的中线定理综合 典｜例｜精｜析 17．如图，已知、相交于点C，，，F、G、H分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，______． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 19．三角尺是我们常用的作图工具，喜欢探究的小明摆弄两把三角尺，拼出各种图形．，，，． (1)如图1，点和点重合，点在边上，则________； (2)如图2，是的中点，与交于点，与交于点，求证：． (3)如图3，若点和重合，点和重合，是的中点，直接写出的值． 20．如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 题型06 利用30°直角三角形的性质求边长 典｜例｜精｜析 21．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长． 23．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 24．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 题型07 利用30°直角三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 25．如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小； (2)若，求的长． 变｜式｜巩｜固 26．若的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且，则中必有一个内角的度数为（　　） A． B． C． D． 27．如图，在中，，平分交于点D，于点E，且E为的中点． (1)求的度数． (2)若，求的长． 28．如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 题型08 30°直角三角形的性质综合应用 典｜例｜精｜析 29．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 变｜式｜巩｜固 30．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 31．如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 32．已知是等边三角形，点在边上，作于点，为直线上一点． (1)如图1，点在边上，连接、，若，，，求的长； (2)如图2，点为延长线上一点，若，连接交于点，求证：． 基础通关 1．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 6．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 7．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 8．如图，在中，，，于点，于点，且点是的中点，的周长是13，则_______ ． 9．如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． (1)尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 10．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 素养提升 11．如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 13．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 16．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 17．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 18．如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 19．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 20．【感知图形】 我们在课本“问题解决策略：特殊化”中做过一道这样的题目，如图1，是边长为的正方形的中心（即对角线的交点），将以点为顶点的直角绕点旋转，且两直角边分别与，相交，则这个直角与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值． (1)请你回答图1中重叠部分（即阴影部分）的面积为 ； (2)【深入理解】如图2，是边长为的正方形内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点），将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 受课本题目的启发，小茗的解决方法是这样的：如图3，连接，，设两条对角线交于点，连接，设分别交边，于点、．再过点作的垂线，分别交边、于点、，则直线与将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．已知在正方形中，，，，是四个全等的等腰直角三角形，其中点为直角顶点．在此基础上，请你帮小茗完成证明； (3)【灵活运用】 如图4，在四边形中，，，，，，点为的中点，在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分．请你画出该直线，说明你的理由，并求出的长． 迁移创新 21．如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 设，， 可得， ∵，， ∴， 22．如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 23．已知中，．，过点C作于点O，点D是射线上一动点，在的中垂线上取一点E（点E在下方），连接，并延长至点F，使得，，连接、、，当时，的度数等于___． 24．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 25．如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E． (1)观察猜想：线段，，之间的数量关系是________． (2)类比探究：如图2所示，当点B，C在直线m的同侧，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：如图3所示，在（2）的条件下，若，．点F是边的中点，连接，． ①判断的形状； ②求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.6 直角三角形 课标要点 1. 掌握直角三角形两锐角互余的性质，理解直角三角形斜边中线定理的内容与含义。 2. 能证明斜边中线定理，经历观察猜想证明过程，提升演绎推理与逻辑表达能力。 3. 会运用直角三角形性质及斜中定理，求解线段、角度，解决简单几何实际问题。 学习重难点 重点： 1. 熟记直角三角形两锐角互余，牢固掌握斜边中线等于斜边一半这一核心定理内容。 2. 熟练斜中定理的几何证明思路，能结合图形分清定理条件与对应的结论。 3. 灵活运用性质与斜中定理进行计算证明，规范书写直角三角形相关解题步骤。 难点： 1. 理解斜中定理的证明辅助线构造，体会倍长中线的思想，突破辅助线思考障碍。 2. 在复杂图形中识别直角三角形，挖掘隐藏直角条件，准确调用斜边中线定理。 3. 综合结合等腰、直角三角形知识，解决多知识点融合题型，理清推理逻辑链条。 知识点一 直角三角形的概念与性质 有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。 符号记作，直角所对的边叫斜边，夹直角的两条边叫直角边。 两个锐角互余；斜边是三角形最长边。 直角三角形基础性质 两锐角互余 直角三角形的两个锐角相加等于。 ，。 逆用：三角形两锐角互余，则这个三角形是直角三角形。 特别提醒 判定直角三角形需紧扣90°角或两锐角互余条件，牢记斜边为最长边。熟练掌握斜中定理、30°角对半斜边性质，严格区分定理适用前提。解题切勿凭图形直观判断，需结合条件推理，避免性质混用、错用。 即学即练 1．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 知识点二 直角三角形斜边的中线定理 定理内容：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 几何语言： 在，，为中点 推论 1. ，图中出现两个等腰三角形：、。 2. 逆定理：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边为斜边。 辅助线技巧：见到直角三角形斜边中点，优先连接斜边中线。 简要证明思路 可以倍长中线构造矩形，利用矩形对角线相等且互相平分完成证明。 即学即练 3．如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中线， ∴． 4．如图，中，，D为上一点，直尺的一边与重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】由题意可得，再结合直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，， ∴，， ∴， ∵中，， ∴． 知识点三 30°直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ，， 重要逆定理（常考填空选择） 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 三边比值记忆 直角三角形三边之比： 短直角边 (对 30°)长直角边 (对 60°)斜边 即学即练 5．如图1，在中，，．求证：． ①补全证明过程． 证明：如图2，取中点，连接． ∴ 在中，， ∴_____________； ∴． 又， ∴． ∴为______三角形． ∴． ②请用文字概括①所证明的命题：_________________． 【答案】①，等边三角形；②在一个直角三角形中，如果有一个角为度，那么度角所对的直角边为斜边的一半 【分析】①根据直角三角形斜边中线的性质证明，根据三角形内角和定理求出，进而证明为等边三角形，得到； ②根据①说证明的条件和结论，写出对应的命题即可． 【详解】证明：如图2，取中点，连接． ∴， 在中，， ∴； ∴． 又， ∴． ∴为等边三角形． ∴， 故答案为：，等边三角形； ②由题意得，①中所证明的命题为：在一个直角三角形中，如果有一个角为度，那么度角所对的直角边为斜边的一半， 故答案为：在一个直角三角形中，如果有一个角为度，那么度角所对的直角边为斜边的一半． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，命题等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，E是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：B 题型01 直角三角形的两个锐角互余 典｜例｜精｜析 1．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 变｜式｜巩｜固 2．如图，在平行四边形中，，垂足为点．如果，那么和分别等于多少度？ 【答案】， 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，根据平行四边形的性质得到，根据得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 3．如图，已知在 中， ，D 是 边上任意一点，于点 F，E 在边上，于 D，，则等于__________． 【答案】/70度 【分析】根据邻补角的性质可得，再由直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 4．如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 【答案】 【详解】在中，，， ， 点在边上，点在边上，点与点关于直线对称， ， ， ． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 典｜例｜精｜析 5．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（   ），这个三角形是（   ） A．，直角三角形 B．，锐角三角形 C．，钝角三角形 D．，锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为和， ∴第三个角为， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 6．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】(1) 证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． (2) 证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 题型03 利用斜边的中线性质求边长 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线定理，直接计算中线长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点D是的中点，， ∴． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：因为，点为的中点，， 故则的长为． 11．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中点 ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵， ∴ ∵点在上 ∴ 12．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵，是中线， ∴． 题型04 利用斜边的中线性质解决角度问题 典｜例｜精｜析 13．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴. 变｜式｜巩｜固 14．如图，在中，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，再求出，，可得结论． 【详解】解：， ． 由作图可得：垂直平分， ， ． ， ， ， ，， ， ． 15．如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出，再分两种情况：①当点是的中点时，②当点不是的中点时，求出的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 题型05 斜边的中线定理综合 典｜例｜精｜析 17．如图，已知、相交于点C，，，F、G、H分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，______． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ∵F、G分别是、的中点，，， ， ， ∵H是的中点， ． (2)46 【分析】（1）连接，根据三线合一可得，根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （2）设，根据等腰三角形的性质分别求出，，，再根据即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， 又， ， ． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1) 证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． (2)9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 19．三角尺是我们常用的作图工具，喜欢探究的小明摆弄两把三角尺，拼出各种图形．，，，． (1)如图1，点和点重合，点在边上，则________； (2)如图2，是的中点，与交于点，与交于点，求证：． (3)如图3，若点和重合，点和重合，是的中点，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 证明：连接， 是等腰直角斜边的中点， ，，， ∵ ∴， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和求出，，根据三角形外角的性质作答即可； （2）连接，根据三线合一得到，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明，即可得到； （3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，即，根据等边对等角及三角形内角和作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， ∴，， ∴，， 则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 题型06 利用30°直角三角形的性质求边长 典｜例｜精｜析 21．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作图可知为的中垂线，则，又已知，所以，则在中利用三角形内角和公式即可求解； （2）因为，，则，即，可知，则题目可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 根据作图可知为的中垂线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 24．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 题型07 利用30°直角三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 25．如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，求出的度数是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质可得，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ． ， ， ∴． 变｜式｜巩｜固 26．若的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且，则中必有一个内角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作出图形更形象直观，熟记性质是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后求出另外的两个内角的度数，即可得解． 【详解】解：如图， 边的垂直平分线经过顶点， ， ， ， ， ，， 观察各选项，只有D符合． 故选：D． 27．如图，在中，，平分交于点D，于点E，且E为的中点． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由已知条件得垂直平分，推出，由等边对等角得，由角平分线的定义得，再结合即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：，E为的中点， 垂直平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， 在中，， ． 28．如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 【答案】(1) 证明：，， 为等边三角形， ，． ， ； (2) (3)14 【分析】（1）由，，判定为等边三角形，得，；结合，用可证； （2）由得，根据外角的性质进行求解即可； （3）根据，，可得中，则；结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ； （3）解：，， ， ． ， ． 【点睛】本题核心是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定、含角的直角三角形性质；关键是通过全等转化角的关系，再利用特殊直角三角形的性质快速求边长． 题型08 30°直角三角形的性质综合应用 典｜例｜精｜析 29．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 变｜式｜巩｜固 30．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 31．如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 【答案】(1)证明：为等边三角形， ，． 为直角三角形， ， ， ，即， ， ， 即点为的中点． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质、直角三角形中两锐角互余、含角的直角三角形的性质，即可得证； （2）利用平移的性质、外角的性质、等角对等边，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由平移得，，，， ． 由（1）可知，，， ，， ， ， ． 答：的长为． 32．已知是等边三角形，点在边上，作于点，为直线上一点． (1)如图1，点在边上，连接、，若，，，求的长； (2)如图2，点为延长线上一点，若，连接交于点，求证：． 【答案】(1)4 (2)详见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质； （1）先根据等边三角形的性质求出相关角度，再利用含角的直角三角形的性质可求出的长； （2）通过作辅助线构造等边三角形和全等三角形，进而证明． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 于点， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长为4． （2）证：作平行于交于点， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 基础通关 1．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 2．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 3．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 5．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 6．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 7．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】 3 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 8．如图，在中，，，于点，于点，且点是的中点，的周长是13，则_______ ． 【答案】10 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据的周长求出，然后求解即可． 【详解】 解：，， ， ，，点是的中点， ， 的周长是13， ， ． 9．如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． (1)尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 【答案】(1)r如图即为所求作： (2)，， 【分析】（1）根据高线的作法作图即可； （2）根据垂直可得直角，再由等量代换可得，根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明． 【详解】（1）解：以点B为圆心，长为半径画弧与交于两点， 分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交， 连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点， 此时； （2）证明：，， ． ， ． 在中，． ． 在与中， ． ． ， ， 即点D为的中点． 故答案为：，，． 10．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)高 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 素养提升 11．如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 12．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 13．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 14．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分得出，，，根据是边的垂直平分线得出，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分于点，点在上，， ∴，， ∴，，，， ∴，即， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 【答案】10 【分析】根据尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，进一步得出点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴点是的中点． ∵在中，， ∴是斜边上的中线， ∴． 16．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 17．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 18．如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 19．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 20．【感知图形】 我们在课本“问题解决策略：特殊化”中做过一道这样的题目，如图1，是边长为的正方形的中心（即对角线的交点），将以点为顶点的直角绕点旋转，且两直角边分别与，相交，则这个直角与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值． (1)请你回答图1中重叠部分（即阴影部分）的面积为 ； (2)【深入理解】如图2，是边长为的正方形内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点），将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 受课本题目的启发，小茗的解决方法是这样的：如图3，连接，，设两条对角线交于点，连接，设分别交边，于点、．再过点作的垂线，分别交边、于点、，则直线与将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．已知在正方形中，，，，是四个全等的等腰直角三角形，其中点为直角顶点．在此基础上，请你帮小茗完成证明； (3)【灵活运用】 如图4，在四边形中，，，，，，点为的中点，在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分．请你画出该直线，说明你的理由，并求出的长． 【答案】(1) (2)证明：由题意得，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， 和将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； (3)解：，如图，连接并延长交的延长线于点F，在上取点N，使，连接，，则直线为所求， 理由：点是的中点，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ； 【分析】（1）利用正方形的性质，同角的余角相等证明旋转直角分割出的三角形全等，等量代换得重叠面积为正方形面积的四分之一； （2）利用正方形的性质，同角的余角相等证明三角形全等，结合全等三角形的性质可推出直线与将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）延长线段构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质推出直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【详解】（1）解：如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）略 迁移创新 21．如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，设，，再利用x、y表示、，列方程即可得到x的值． 【详解】解：取的中点G，连接， 设，， 可得， ∵，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 22．如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长，，两线交于点F，，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可； 【详解】解：延长，，两线交于点F， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是斜边的中线， ∴. 23．已知中，．，过点C作于点O，点D是射线上一动点，在的中垂线上取一点E（点E在下方），连接，并延长至点F，使得，，连接、、，当时，的度数等于___． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形内角和为，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及等量代换推导即可． 【详解】解：．， ， ， ，， 点E在的中垂线上， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ，， 如图，连接，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，解得， ． 24．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 25．如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E． (1)观察猜想：线段，，之间的数量关系是________． (2)类比探究：如图2所示，当点B，C在直线m的同侧，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：如图3所示，在（2）的条件下，若，．点F是边的中点，连接，． ①判断的形状； ②求的面积． 【答案】(1) (2)解：不成立，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； (3)①等腰直角三角形 ②4 【分析】（1）根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）仿照（1）根据“角角边”证明，可得，再根据解答； （3）①连接，再根据“边角边”证明，可得，然后说明是等腰直角三角形， ②先求出，然后根据勾股定理求出，最后根据可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①连接， ∵，且点F是的中点， ∴， ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②由（2）， 在中，， 即， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $