专题2.5 勾股定理（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦勾股定理核心知识点，从直角三角形三边数量关系的探究入手，通过定义解析、注意事项强调，搭建从基础理解到综合应用的学习支架，涵盖求边长、网格问题、折叠等七类题型，衔接前后知识脉络。 资料以赵爽弦图等历史背景渗透数学文化，通过面积法证明培养推理意识，结合折叠、“垂美”四边形等问题发展几何直观与创新意识。典例与变式练习分层设计，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题2.5 勾股定理 教学目标 1. 体验勾股定理的探究过程，掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的核心内容。 2. 学会用面积法证明勾股定理，能运用定理求直角三角形未知边的长度。 3. 了解勾股定理相关历史，感受古代数学成就，增强对几何学习的兴趣与自信心。 教学重难点 1.重点 （1） 精准掌握勾股定理的具体内容，明晰直角三角形三边的数量关系。 （2）熟练运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的基础计算问题。 2.难点 （1）理解面积法证明勾股定理的逻辑，尤其是赵爽弦图等拼图方式中面积关系的推导过程。 （2）面对未明确直角边和斜边的题目时，能准确分类讨论，避免求解时出现漏解情况。 知识点01 勾股定理 勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 【即学即练】1．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 2．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 题型01 利用勾股定理求边长 【典例1】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 【变式1】（2022·陕西·模拟预测）如图，在中，，垂直平分，分别交于点，若，则的长为（     ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：垂直平分 ， 在中，． 【变式2】（25-26八年级下·青海西宁·期末）如图，在中，，是的中线，是的中线，若，，则的长为____________． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， 由勾股定理得，． ∵是的中线，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期末）在中,,点D,E在边上,且平分的周长,平分的面积,则 的长为______________ ． 【答案】 【分析】由勾股定理可求，则周长一半为6，由题意，平分的面积，则是中点，则可求，故题目可解． 【详解】在中，，，， 由勾股定理得： ， 周长为，则 周长的一半为6， ∵ 平分的周长， ∴， ∴ ∵ 平分的面积， ∴是中点， ∴， ∴． 题型02 勾股定理与网格问题 【典例1】（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：由图，可得 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 【变式2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据网格中的边长，利用勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，最后根据三角形的面积公式建立等式求解的长． 【详解】解：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 得：， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 题型03 勾股定理与折叠 【典例1】（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由折叠可知，设，则，利用勾股定理建立方程求出的长，进而计算三角形面积． 【详解】解：由折叠的性质可知， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 【答案】 【分析】设 ，根据折叠性质可得 ， ，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 线段的长是． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 题型04 利用勾股定理求线段的平方和（差） 【典例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【变式3】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 题型05 勾股数（树） 【典例1】（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 【变式1】（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，三个数为，，，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项C，三个数都是正整数，，，，满足勾股数定义，符合题意； 选项D，，，不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 【变式3】（2026·吉林白山·二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 【答案】15 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 题型06 以弦图为背景的计算题 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【答案】54 【分析】根据勾股定理结合完全平方公式，求出的值即可. 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质及正方形的性质可得出，；由勾股定理得出，设，解方程，得出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 题型07 勾股定理的证明 【典例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）数形结合思想是解决数学问题的重要方法，在数学发展的过程中有不少数学家用数形结合思想证明出了许许多多的定理及推论，下列能够证明平方差公式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：选项B中图形能够证明平方差公式． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，以的三条边分别为边向外作正方形，已知两个小正方形的面积分别为25，64，则大正方形的面积（阴影部分）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据以的三条边分别为边向外作正方形，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵以的三条边分别为边向外作正方形， ∴ 即大正方形的面积（阴影部分）为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）下列各组中，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，14 D．9，12，15 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理， 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解： A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、 ，∴能构成直角三角形，不符合题意； C、，∴不能构成直角三角形，符合题意； D、，∴能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括三角形内角和定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握判定直角三角形的方法． 通过分析每个选项是否满足直角三角形条件，找出不能判断的选项． 【详解】解：∵ 在中，，且， ∴，即，， ∴是直角三角形，故A能判断，不符合题意； ∵，设， 则， ∴ 不满足勾股定理逆定理，故B不能判断，符合题意； ∵，设， 则， ∴ 满足勾股定理逆定理，故C能判断，不符合题意； ∵，，， 则， ∴，满足勾股定理逆定理，故D能判断，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，中，，则底边上的高 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键．先根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，是边上的中线，是边上的高线，于G，．已知，，则的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线定理得出，证明是的垂直平分线，得出相等的线段，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，求出的面积，然后利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解： ， ， 点是的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ； ∴， ， 在中，由勾股定理得，； 的面积为 点是的中点， 的面积 的面积为22． 故答案为：22． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，分别是，边上的高，与相交于点，的延长线交于点． (1)问与全等吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：与全等 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别是，边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 11．（25-26七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，且， 整理得，， ； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（     ） A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 【答案】D 【分析】长方形内最长线段为对角线，先将手机对角线换算为厘米单位，再用勾股定理计算各选项口袋的对角线长度，比较后判断即可． 【详解】解：手机对角线长度为， A选项，口袋对角线长，小于，不符合； B选项，口袋对角线长，小于，不符合； C选项，口袋对角线长，小于，不符合； D选项，口袋对角线长，大于，符合． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，利用勾股定理求出，再证明，即可求出，，再在中利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 二、填空题 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 【答案】16 【分析】根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ∵以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积， ∴， ∵， ∴． 8．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 9．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则 __________ 【答案】51 【分析】设，根据勾股定理，得，得到，解答即可． 【详解】解：， 设， 根据勾股定理，得， 故， 解得， ， ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为． 12．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形， ，， ∵，∴， ， 在和中， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【分析】（1）根据条件证即可； （2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键． 13．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 15．（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.5勾股定理 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01勾股定理 2.知识清单 题型01利用勾股定理求边长 题型02勾股定理与网格问题 勾股定理 题型03勾股定理与折叠 题型04利用勾股定理求线段从平方和（差） 3.题型精讲 题型05勾股数（树） 题型06以弦图为背景的计算题 题型07勾股定理的证明 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.体验勾股定理的探究过程，掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的核心 内容。 教学目标 2.学会用面积法证明勾股定理，能运用定理求直角三角形未知边的长度。 3. 了解勾股定理相关历史，感受古代数学成就，增强对几何学习的兴趣与自信心。 1.重点 (1) 精准掌握勾股定理的具体内容，明晰直角三角形三边的数量关系。 (2)熟练运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的基础计算问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解面积法证明勾股定理的逻辑，尤其是赵爽弦图等拼图方式中面积关系的推 导过程。 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)面对未明确直角边和斜边的题目时，能准确分类讨论，避免求解时出现漏解情 况。 知识清单 知识点01勾股定理 勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.· 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系， ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边.尤其在记忆Q+b=时，此关系只有当c是斜边时才成立. 若b是斜边，则关系式是a+c2=b:若a是斜边，则关系式是b+c2=a. 【即学即练】1.一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是() A.15 B.8 C.6 D.4 2.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，己知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别 是S,S2,则S+S2= S S2 3.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线 AC、BD交于点O.若AD=3,BC=5,则AB2+CD2= B 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01利用勾股定理求边长 【典例1】(25-26八年级下·重庆巫山期末)已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为 () A.13 B.15 C.17 D.20 【变式1】(2022-陕西·模拟预测)如图，在△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB,分别交BCAB于 点E、D,若BE=I3,EC=5,则AC的长为() E A.5 B.10 C.12 D.13 【变式2】(25-26八年级下·青海西宁·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中线，DE是 △ADC的中线，若BC=12,AD=8,则DE的长为 【变式3】(25-26八年级下河南周口期末)在R1△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,点D,E在AC边上， 且BD平分△ABC的周长，BE平分△ABC的面积，则DE的长为 题型02勾股定理与网格问题 【典例1】(25-26八年级下广西钦州期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A,B 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 均在格点上，则线段AB的长度为() A.4 B.5 C.6 D.10 【变式1】(25-26八年级上河南新乡期末)如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的 三个顶点均在格点上，则△ABC中AB边上的高为() -B A.3 B.5 C.5 D.5 【变式2】(2425八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测)在如图的网格中，每个小正方形的边长为 a,A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为一· 【变式3】(25-26八年级上浙江金华期中)如图，每个小正方形的边长都是1，A,B,C是小正方形 的顶点，则∠ABC= B 题型03勾股定理与折叠 【典例1】(2026黑龙江佳木斯三模)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,点D在BC 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，将△ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，则CD的长() B A.4 B.3 c.5 D.6 【变式1】(25-26八年级下辽宁抚顺期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,AD=18,将此长 方形折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的面积为() D E A.12 B.24 C.36 D.48 【变式2】(25-26七年级下·陕西西安·阶段检测)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A 两点重合，点D落在点G处.已知AB=4,BC=8.则线段FD的长是」 A D B E 【变式3】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，一直角三角形纸片，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=6cm,BC=8Cm,点D在BC上，现将AC沿直线AD折叠，使它落在AB上，点C的对应点为点 E,则DE的长为 cm 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04利用勾股定理求线段的平方和（差） 【典例1】(25-26八年级下·河北唐山期中)在直角三角形ABC中，斜边AB=1,则AC2+BC2的值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1】(24-25八年级下·河南信阳期末)在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB2+BC2+AC2的值为 () A.12 B.22 C.32 D.无法计算 【变式2】(23-24八年级下·安徽阜阳·期中)如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD,相交于点O.若 AB=3CD=6,则AD2+BC2= 【变式3】(25-26八年级上·湖北十堰期末)如图，等腰直角△AOB,等腰直角△COD, ∠AOB=∠COD=90°，A0=3,C0=4,连接AD,BC相交于点M,则AC2+BD2=一 题型05勾股数（树） 【典例1】(25-26八年级下·重庆秀山期末)在下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,6,8 【变式1】(25-26八年级下·广东汕头·期末)下列各组数中，属于勾股数的是() A.32,42,52B.8,24,25 C.6,8,10 D.0.3,0.4,0.5 【变式2】(25-26八年级下·安徽阜阳期末)清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.由 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25：④9,40,41；…根据上述 规律，写出第⑤组勾股数为， 【变式3】(2026吉林白山二模)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形.正方形A,B,C,D的面积分别是3,6,2,4，则正方形G的面积是 G 题型06以弦图为背景的计算题 【典例1】(25-26八年级下·福建厦门期末)第14届数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中 心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的大正方形.若AB=a,AE=b,BE=c(a>b>c>0),则正方形EFGH的面积为(） G R 图1 图2 A.c2 B.a2-c2 C.b2-c2 D.a2-2bc 【变式1】(25-26八年级下·四川达州期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股 定理的经典证法之一，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大 正方形，其中c=13,b-a=7,则每个直角三角形的面积为() A.24 B.30 C.36 D.49 【变式2】(25-26八年级下·湖北期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代 数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中c=15,b-a=3,则每个直角三角形的面积为. 【变式3】(25-26八年级下·北京期中)如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长 不等的正方形纸片ABCD,GCEF剪拼成一个大正方形纸片BQPG.P,M,N为剪痕与原正方形边的 交点，已知AB=12,EN=3.那么正方形BOPG的边长为一 G 青出 M D 朱出 C H 朱入 青入 题型07勾股定理的证明 【典例1】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人 类数学文明中的一枚璀璨瑰宝.下面四幅图中不能证明勾股定理的是() 【变式1】(2026甘肃武威模拟预测)数形结合思想是解决数学问题的重要方法，在数学发展的过程中 有不少数学家用数形结合思想证明出了许许多多的定理及推论，下列能够证明平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b的是() 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B b D 【变式2】(25-26八年级上：广东梅州阶段检测)如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据 此图，我们可以验证的学过的重要定理是 (用字母表示). B a 【变式3】(25-26八年级上·陕西西安·阶段检测)你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有 (填序号) a b b a b b a ① ② ③ 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26八年级上四川巴中期中)如图，在△ABC中，AB=13,AC=20,AD1BC于点D,E为 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD上任意一点，则CD-BD的结果为() B D A.7 B.33 C.231 D.569 2.(25-26八年级上陕西咸阳期中)如图，以Rt△ABC的三条边分别为边向外作正方形，己知两个小正 方形的面积分别为25,64，则大正方形的面积（阴影部分）为() A 25 B 64 A.80 B.89 C.98 D.109 3.(25-26八年级上山东菏泽期中)下列各组中，不能构成直角三角形的是() A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,14 D.9,12,15 4.(25-26八年级上江苏无锡期中)下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形() A.∠A=∠B+∠C B.a2:b2:c2=3:4:5 C.a:b:c=5:12:13 D.a=12,b=16,c=20 5.(25-26八年级上江苏无锡期中)如图，将一个边长分别为16cm,8cm的长方形ABCD纸片折叠，使 点C与点A重合，折痕分别交BCAD于点EF,则BE的长是() D ------1D C E A.8cm B.7cm C.6cm D.5cm 二、填空题 6.(25-26八年级上四川成都期中)如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,则底边BC上的高AD=一 10117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°，AC=6, BC=8,现将三角形纸片折叠，使得点C与AB边上的点D重合，折痕为AE,则CE的长为 A E 8.(25-26八年级上江苏无锡期中)在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线， EG⊥AD于G,AG=DG.已知CD=5,AC=11,则△ADC的面积为 三、解答题 9.(25-26七年级上山东淄博期中)如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AE,BF分别是BC,AC边上 的高，AE与BF相交于点P,CP的延长线交AB于点D. F人 E DB (I)问△ABF与△PCF全等吗？请说明理由； (2)若AC=7,AF=3,求CD的长 10.(25-26八年级上：广东梅州阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合. C D (1)求AB的长， (2)求CD的长. 11.(25-26七年级上山东烟台期中)阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1） 有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五.”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为 3和4，那么斜边的长为5.”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=C 那么a,b,c,三者之间的数量关系是a2+b2=c2 B G 周 經 图1 图2 图3 (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围 成的一个正方形)，利用面积法进行了证明.参考赵爽的思路，试说明：a2+b2=c2 (2)如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF,如果AB=4,BC=8,求BE的长， 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，A、C两地的距离为8km,B、C两地的距离为6km, ∠C=90°，则A、B两地的距离为() 12117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.2v7 km B.12km C.10km D.100km 2.(25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正 方形，以BC为边向外作面积为125的正方形，则AB2=() 125 100 A A.5 B.10 C.15 D.25 3.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英 寸=2.54cm)为单位.某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下() A.宽3cm,长4cm的口袋 B.宽5cm,长12cm的口袋 C.宽6cm,长8cm的口袋 D.宽9cm,长l2cm的口袋 4.(25-26七年级下·陕西宝鸡期末)中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计.如图，这是小文根据“赵 爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延 长一倍得到的.若∠ACB=90°，AC=6,BC=4,则该“数学风车”的周长为() A.40 B.42 C.48 D.56 5.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AD平分 ∠CAB交BC于点D,则线段CD的长度为() 13117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B 7 A. 8 B. 3-2 c. D.3 二、填空题 6.(25-26八年级下·安徽阜阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm,将△ABC 折叠，使点C与点A重合，得折痕DE,则△ABE的周长等于Cm. B 7.(25-26八年级下·湖南长沙期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的三边为边向外作正 方形，S,S2,S分别表示这三个正方形的面积.若S=6,S=10,则S2的值为一 S S2 8.(23-24八年级下河南郑州期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,若AD=3,BC=8,则AB+CD2= B C 0 9.(25-26八年级下安徽阜阳期未)在Rt△4ABC中，∠C=90°，a:b=5:12,c=39,则a+b= 10.(25-26八年级下·全国·课后作业)下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个. 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b C b Q a b 图① 图② 图③ 图④ 三、解答题 11.(25-26七年级下陕西西安期末)如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高 度为0.8m,将秋千AD往前推送3m(即CB=3m),如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高 度BF为1.8m,秋千的绳索始终保持拉直的状态. B M D 图1 图2 (I)求秋千AD的长度： (2)当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m(即CM=4m)，如图2求此时踏板离地的垂直高度MN 为多少？ 12.(22-23八年级上河南新乡·期末)如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点， ∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE. 求证： (1)AE=AD: EF2=BE2+CF2 13.(25-26八年级下·福建南平·期中)如图，长方形纸片ABCD中，沿AC折叠，使点B落在点E处， CE交AD于点F,AB=4,BC=6 15117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)证明：AF=CF: (2)求AF的长。 14.(25-26八年级下·安徽合肥期末)综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具.中国是 最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史，勾股定理目前约有五百多种证明方法，是 数学定理中证明方法较多的定理之一. b b 6 6 b ◇ 6 图1 图2 图3 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程. 15.(26-27八年级全国暑假作业)在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的 研究策略。 b B C B D 图1 图2 图3 (①)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为，b,斜边长为C.观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 即可完成勾股定理的证明.请你结合图形尝试证明：2+b2=c2: (2)【结论运用】如图2，己知△ABC是直角三角形，∠C=90°.若BC=5,AB的长比AC的长大1，求 AB的长： (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃ABC,其中AB=13米，BC=14米，AC=15米， 16117 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计划在这块花圃中起一道栅栏AD,将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 17117