2.5 逆命题和逆定理7大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦逆命题和逆定理核心知识点，衔接命题的定义、结构及真假判断前置内容，通过等腰三角形等几何实例构建互逆定理认知，提供命题改写方法、证明规范步骤等学习支架。 资料以几何问题为载体，设计“写出已知求证”“填写推理依据”等题型，培养逻辑推理与几何思辨能力，规范数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后通过分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第二章 特殊三角形 2.5 逆命题和逆定理 课标要点 1. 了解逆命题、逆定理概念，分清命题的题设与结论，认识原命题与逆命题之间的联系。 2. 能写出简单命题的逆命题，会判断命题真假，知道真命题的逆命题不一定为真命题。 3. 结合等腰三角形定理实例，感受互逆定理，发展逻辑推理与几何思辨的核心素养。 学习重难点 重点： 1. 分清命题的题设和结论，掌握改写逆命题的方法，正确写出简单几何命题的逆命题。 2. 理解逆定理的定义，明确只有逆命题为真命题时，原定理才有对应的逆定理。 3. 对比辨析等腰三角形性质与判定，体会互逆定理，巩固几何命题的逻辑认识。 难点： 1. 改写带有前提修饰的命题，准确拆分题设结论，防止改写逆命题时遗漏关键条件。 2. 辨别逆命题真假，克服思维定势，理解原命题为真，其逆命题未必一定是真命题。 3. 区分逆命题与逆定理，理清二者逻辑差异，在几何证明中正确选用互逆定理。 知识点一 定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 特别提醒 命题是可以判断真假的陈述句，无法判断真假的语句不是命题。改写命题时要准确区分题设与结论，熟练写出逆命题。牢记真命题的逆命题不一定为真，定义、定理均为真命题，做题需严谨辨析概念，避免混淆误用。 知识点二 证明 证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 特别提醒 几何证明需逻辑严谨、有理有据，每一步推理都要依据定义、公理或定理。做题时先明确已知条件与求证结论，理清推导顺序，杜绝跳步、凭空得出结论。注意区分性质与判定定理，书写规范，推理过程严谨完整。 即学即练 1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 2．已知命题“对于任意实数，都有”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)判断原命题的真假，并说明理由． 题型01 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典｜例｜精｜析 1．命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 变｜式｜巩｜固 2．在学习垂直平分线的性质时，在证明“线段垂直平分线上的点到线段两段距离相等”这个命题时，陈老师让大家分组讨论，小振作了如图所示的证明过程，眼尖的小中说肯定不对． (1)聪明如你，此证明过程明显缺少环节是少写了 和 ； (2)请将正确的证明步骤写出来． 3．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 4．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 题型02 已知证明过程填写理论依据 典｜例｜精｜析 5．如图，已知直线．求证：． 请补充完整下列证明的理由． 证明  （      ）， （      ）． （      ）． 变｜式｜巩｜固 6．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 7．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 8．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 题型03 根据给出的论断组命题并证明 典｜例｜精｜析 9．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 10．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 11．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 12．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 题型04 写出命题的逆命题 典｜例｜精｜析 13．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (2)等边三角形的每个角都等于； (3)全等三角形的对应角相等； (4)如果，那么． 变｜式｜巩｜固 14．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 15．完成下列各题： (1)命题：“若，，则．”写出它的逆命题，并判断逆命题的真假． (2)如图，，是等边的两边，上的点，且，求证：． 16．小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是： 性质：∵， ∴， 判定：∵， ∴． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即： （1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线： （3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； 由此3个真命题，小明得到三个新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅲ． ． （1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ； （2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证： 命题Ⅰ：中，D是边上的中点，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅲ： ； ①请你写出命题Ⅲ的几何语言； ②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 题型05 判断是否为互逆命题 典｜例｜精｜析 17．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 变｜式｜巩｜固 18．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 19．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 20．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 题型06 定理与证明 典｜例｜精｜析 21．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 变｜式｜巩｜固 22．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 23．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 24．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型07 互逆命题 典｜例｜精｜析 25．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 变｜式｜巩｜固 26．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 27．已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 28．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个． A．0 B．1 C．2 D．3 基础通关 1．下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 2．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列命题的逆命题是真命题的个数有（   ） ①两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的对应角都相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 5．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 6．分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 7．全等三角形的面积相等．该命题的逆命题是______．原命题是______命题，逆命题是______命题（后两空填“真”或“假”）． 8．要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______． 9．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 10．写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 素养提升 11．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 12．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 13．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 14．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 15．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 16．命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 17．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 18．已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是______．（填序号） 19．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (2)等边三角形的每个角都等于； (3)全等三角形的对应角相等； (4)如果，那么． 20．如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 迁移创新 21．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 22．定理“等腰三角形两腰上的高相等”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．等腰三角形的高都相等 C．两条边上的高不相等的三角形不是等腰三角形 D．三角形两边上的高相等，这两边不一定相等 23．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 24．把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 25．【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.5 逆命题和逆定理 课标要点 1. 了解逆命题、逆定理概念，分清命题的题设与结论，认识原命题与逆命题之间的联系。 2. 能写出简单命题的逆命题，会判断命题真假，知道真命题的逆命题不一定为真命题。 3. 结合等腰三角形定理实例，感受互逆定理，发展逻辑推理与几何思辨的核心素养。 学习重难点 重点： 1. 分清命题的题设和结论，掌握改写逆命题的方法，正确写出简单几何命题的逆命题。 2. 理解逆定理的定义，明确只有逆命题为真命题时，原定理才有对应的逆定理。 3. 对比辨析等腰三角形性质与判定，体会互逆定理，巩固几何命题的逻辑认识。 难点： 1. 改写带有前提修饰的命题，准确拆分题设结论，防止改写逆命题时遗漏关键条件。 2. 辨别逆命题真假，克服思维定势，理解原命题为真，其逆命题未必一定是真命题。 3. 区分逆命题与逆定理，理清二者逻辑差异，在几何证明中正确选用互逆定理。 知识点一 定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 特别提醒 命题是可以判断真假的陈述句，无法判断真假的语句不是命题。改写命题时要准确区分题设与结论，熟练写出逆命题。牢记真命题的逆命题不一定为真，定义、定理均为真命题，做题需严谨辨析概念，避免混淆误用。 知识点二 证明 证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 特别提醒 几何证明需逻辑严谨、有理有据，每一步推理都要依据定义、公理或定理。做题时先明确已知条件与求证结论，理清推导顺序，杜绝跳步、凭空得出结论。注意区分性质与判定定理，书写规范，推理过程严谨完整。 即学即练 1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断及逆命题的概念，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出逆命题为假的选项． 【详解】解：A选项：原命题的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” ∵根据等角对等边的性质 ∴该逆命题为真命题； B选项：原命题的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形” ∵三角形内角和为，若两锐角互余即和为 ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； C选项：原命题的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形” ∵仅对应角相等只能说明三角形相似，不能保证三边相等（如大小不同的等边三角形） ∴该逆命题为假命题； D选项：原命题的逆命题为“每个内角都是的三角形是等边三角形” ∵三角形三个角均为，根据等角对等边，三边相等 ∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题； 故选：C． 2．已知命题“对于任意实数，都有”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)判断原命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)若，则为实数 (2) 假命题．理由： 当时，，不满足，因此原命题为假命题； 【分析】本题考查了命题的逆命题构造以及真假命题的判断，关键是理解原命题的条件与结论，以及特殊值法在判断命题真假中的应用． （1）先拆分原命题的结构：原命题“对于任意实数，都有”中，条件是“是实数”，结论是“”．再将条件与结论互换，即可得到逆命题． （2）原命题是全称命题，要证明它为假，只需找到一个满足条件(实数)但不满足结论()的例子．如取，此时，不满足，由此可判定原命题为假． 【详解】（1）解：原命题“对于任意实数，都有”的条件为“是实数”，结论为“”，将条件与结论互换可得逆命题为“若，则为任意实数”； （2）略 题型01 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典｜例｜精｜析 1．命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，在中，是的角平分线． 求证：． 证明：∵，是的角平分线． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质及三角形全等进行证明． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 2．在学习垂直平分线的性质时，在证明“线段垂直平分线上的点到线段两段距离相等”这个命题时，陈老师让大家分组讨论，小振作了如图所示的证明过程，眼尖的小中说肯定不对． (1)聪明如你，此证明过程明显缺少环节是少写了 和 ； (2)请将正确的证明步骤写出来． 【答案】(1)已知，求证； (2) 解：已知：如图，直线垂直平分线段，垂足为，点在上． 求证：． 证明：直线垂直平分线段， ，， 又， ， ． 【分析】本题考查了证明的步骤，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据证明的一般步骤作答即可； （2）根据证明的一般步骤，写出已知和求证，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：由题意可知，此证明过程明显缺少环节是少写了已知和求证， 故答案为：已知，求证； （2）略 3．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 4．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2) 证明：平分 平分， ， ， ； (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）略 （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 题型02 已知证明过程填写理论依据 典｜例｜精｜析 5．如图，已知直线．求证：． 请补充完整下列证明的理由． 证明  （      ）， （      ）． （      ）． 【答案】 完整补全理由后的证明如下： （已知）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 三个括号依次填入：已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 6．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 7．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 8．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【答案】①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【分析】先结合角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用平行线的判定和性质证明，最后等量代换得到答案． 【详解】略． 题型03 根据给出的论断组命题并证明 典｜例｜精｜析 9．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 10．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1) 一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； (2) 都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 11．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据命题的定义进行书写即可； （2）利用平行线的判定与性质结合对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出，在①②的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在①③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在②③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 题型04 写出命题的逆命题 典｜例｜精｜析 13．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (2)等边三角形的每个角都等于； (3)全等三角形的对应角相等； (4)如果，那么． 【答案】(1)条件：一个三角形是直角三角形， 结论：它的两个锐角互余， 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 该逆命题是真命题． (2)条件：一个三角形是等边三角形， 结论：它的每个角都等于， 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于，那么这个三角形是等边三角形． 该逆命题是真命题． (3)条件：两个三角形是全等三角形． 结论：它们的对应角相等． 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形． 该逆命题是假命题． (4)条件：， 结论：， 逆命题：如果，那么， 该逆命题是真命题． 【分析】先根据命题的定义写出条件和结论，再把条件和结论互换，得出逆命题，最后判断命题真假即可． 【详解】（1）∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形． （2）∵三角形三个角均为，即三个角都相等， ∴该三角形是等边三角形． （3）反例：边长为和边长为的两个等边三角形，对应角均为，但边长不相等，不全等． （4）根据立方根的唯一性，任意实数的立方根都唯一确定， ∴由可以直接推出． 变｜式｜巩｜固 14．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【答案】②（或③，取其一即可） 【分析】要说明小红的观点错误，只需找到一个原命题为真命题，交换题设与结论得到的逆命题为假命题的命题即可，依次判断四个命题即可得解． 【详解】解：①原命题“两直线平行，内错角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“内错角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，不符合要求； ②原命题“对顶角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，符合反例要求； ③原命题“邻补角互补”是真命题，交换后逆命题“互补的角是邻补角”为假命题，也符合要求，题目要求选择一个即可； ④原命题“若，则”是假命题，当，时，满足但，原命题不是真命题，不符合要求． 15．完成下列各题： (1)命题：“若，，则．”写出它的逆命题，并判断逆命题的真假． (2)如图，，是等边的两边，上的点，且，求证：． 【答案】(1)命题为“若，则，．”； 逆命题是假命题 (2) 证明：∵等边， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据逆命题的定义求解即可； （2）证明即可得到． 【详解】（1）解：“若，，则．”的逆命题为“若，则，．” 若，则，或，； ∴它的逆命题是假命题； （2）略 【点睛】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 16．小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是： 性质：∵， ∴， 判定：∵， ∴． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即： （1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线： （3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； 由此3个真命题，小明得到三个新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅲ． ． （1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ； （2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证： 命题Ⅰ：中，D是边上的中点，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅲ： ； ①请你写出命题Ⅲ的几何语言； ②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】Ⅲ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）中，平分，D是边上的中点，求证：是等腰三角形； ①在中，平分，D是边上的中点，求证：是等腰三角形； ②小明猜想的三个命题都是真命题，证明如下： 命题Ⅰ、证明:∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 命题Ⅱ、证明:∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 命题Ⅲ、证明:过点D作于点E，于点F， ∵平分，， ∴， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【详解】解：（1）根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）①略 ②略 题型05 判断是否为互逆命题 典｜例｜精｜析 17．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 (2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 变｜式｜巩｜固 18．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 19．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 20．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）略． （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 题型06 定理与证明 典｜例｜精｜析 21．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 22．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 23．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 24．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型07 互逆命题 典｜例｜精｜析 25．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 变｜式｜巩｜固 26．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 27．已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了互逆定理，互逆定理是通过交换原定理的条件和结论而形成的．原定理的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于”，因此互逆定理应为“如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形”． 【详解】解：∵原定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于， ∴互逆定理：如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， 故选：A． 28．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】写出这三个定理的逆命题，判断逆命题的真假即可. 【详解】有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两底角相等，正确，①存在逆定理； 全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的三角形全等，错误，②没有逆定理； 同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，正确，③存在逆定理， 故选C． 【点睛】本题考查了逆定理，逆定理是将某一定理的条件和结论互换所得命题也是一个定理，那互换之后的定理就是原来定理的逆定理.(即如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理).此时，这两个定理叫互逆定理. 基础通关 1．下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】先写出各命题的逆命题，逆命题为真命题则原定理有逆定理． 【详解】解：A的逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； B的逆命题为同位角相等，两直线平行，为真命题，故有逆定理，符合题意； C的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角都是，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； D的逆命题为相等的两个角是对顶角，是假命题，故没有逆定理，不符合题意． 2．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 3．下列命题的逆命题是真命题的个数有（   ） ①两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的对应角都相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识．分别写出各命题的逆命题，再结合等腰三角形定义、角平分线性质、直角三角形判定、全等三角形判定等知识点判断逆命题真假，最后统计真命题个数． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两边相等，为真命题； ②到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边的距离相等，为真命题； ③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，为真命题； ④全等三角形的对应角都相等的逆命题为对应角都相等的两个三角形全等，为假命题， 故选：C． 4．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 5．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 6．分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 【答案】② 【详解】解：①逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，两个负数的积也为正数，因此该逆命题是假命题； ②逆命题为内错角相等，两直线平行，因此该逆命题是真命题； ③逆命题为如果一个三角形有两个内角为锐角，那么这个三角形是直角三角形，锐角三角形中有三个锐角，也包含两个锐角，因此该逆命题是假命题． 7．全等三角形的面积相等．该命题的逆命题是______．原命题是______命题，逆命题是______命题（后两空填“真”或“假”）． 【答案】 面积相等的三角形是全等三角形 真 假 【分析】根据逆命题的概念交换原命题的条件和结论得到逆命题，再结合全等三角形的性质与判定分别判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“全等三角形的面积相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形的面积相等”，交换条件和结论得到逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，根据全等三角形的性质可知，全等三角形的面积一定相等，因此原命题是真命题；但面积相等的三角形不一定是全等三角形，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等，因此逆命题是假命题． 8．要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，逆命题为“如果，那么”，举反例时，但． 【详解】解：原命题的逆命题是“如果，那么”．当时，，但，所以逆命题是假命题． 故答案为：． 9．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 【答案】(1) 逆命题：如果，那么．是假命题 (2) 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角．是假命题 【分析】将原命题的题设与结论互换得到逆命题，通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】（1）解： 原命题的题设为，结论为， 将题设与结论互换，得逆命题：如果，那么， 取，，满足，但， 故该逆命题是假命题． （2）解：原命题的题设为一个三角形有一个角是钝角，结论为它的另外两个角是锐角， 将题设与结论互换，得逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角， 若三角形的两个锐角分别为和，则第三个角为，是锐角， 故该逆命题是假命题． 10．写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)如果两个角相等，那么这两个角是直角 (3)如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除 【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】（1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”； （2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”； （3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”． 素养提升 11．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 12．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 13．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 14．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，即平分；故①③正确， 又∵， ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故①②③④正确． 15．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】先根据逆命题定义得到原命题的逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解 原命题的条件是，结论是， 根据逆命题的定义，将条件和结论互换，得到逆命题为： 如果，那么， 取，，此时，，满足， 但，， 可得， 因此“如果，那么”的逆命题是假命题． 16．命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据分式有意义的条件判断逆命题的真假即可． 【详解】解：逆命题为：如果，那么， 当，时，分式与无意义，则等式不成立， ∴逆命题是假命题． 17．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 【答案】1 【分析】本题主要考查了命题、逆命题及定理的概念，熟练掌握命题与逆命题的关系、定理的定义是解题的关键．逐一分析四个结论，结合命题、逆命题、定理的定义判断正误，统计正确结论的数量． 【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论， 所以命题一定有逆命题，故①正确． 因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题）， 所以真命题不一定是定理，故②错误． 因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题， 所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误． 因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题， 所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误． 综上，正确的结论有1个． 故答案为：1． 18．已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是______．（填序号） 【答案】 【分析】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题， 则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题， ∴该命题和它的逆命题都是真命题， 故答案为：． 19．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (2)等边三角形的每个角都等于； (3)全等三角形的对应角相等； (4)如果，那么． 【答案】(1)条件：一个三角形是直角三角形， 结论：它的两个锐角互余， 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 该逆命题是真命题． (2)条件：一个三角形是等边三角形， 结论：它的每个角都等于， 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于，那么这个三角形是等边三角形． 该逆命题是真命题． (3)条件：两个三角形是全等三角形． 结论：它们的对应角相等． 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形． 该逆命题是假命题． (4)条件：， 结论：， 逆命题：如果，那么， 该逆命题是真命题． 【分析】先根据命题的定义写出条件和结论，再把条件和结论互换，得出逆命题，最后判断命题真假即可． 【详解】（1）∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形． （2）∵三角形三个角均为，即三个角都相等， ∴该三角形是等边三角形． （3）反例：边长为和边长为的两个等边三角形，对应角均为，但边长不相等，不全等． （4）根据立方根的唯一性，任意实数的立方根都唯一确定， ∴由可以直接推出． 20．如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵点M是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）根据题意得出，再由等边三角形的性质得出，，利用线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 迁移创新 21．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 22．定理“等腰三角形两腰上的高相等”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．等腰三角形的高都相等 C．两条边上的高不相等的三角形不是等腰三角形 D．三角形两边上的高相等，这两边不一定相等 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件为“三角形是等腰三角形”，结论为“两腰上的高相等”． 逆定理需交换条件与结论，即“如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：∵ 逆定理的定义是将原命题的条件和结论互换， ∴ 原定理的逆定理为“如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 故选：A． 23．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 24．把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 25．【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 (3) 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $