专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一讲） ①等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 ②等边三角形的判定定理： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 题型一：根据等角对等边证明等腰三角形 【例题1】已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【变式训练1-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【变式训练1-2】(24-25八下·陕西咸阳礼泉县赵镇初级中学·期中)如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式训练1-3】如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练1-4】(24-25八下·陕西西安理工大学附属中学·期中)如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【变式训练1-5】(2025九·山东省济南市·一模)如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 题型二：尺规作图作等腰三角形 【例题2】(24-25八上·福建厦门·期末)如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 【变式训练2-1】(2025·山东省青岛市·模拟)已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【变式训练2-2】(2025·陕西省西安市·模拟)如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2-3】如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【变式训练2-4】(2025九·陕西省咸阳市·一模)如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2-5】(24-25八上·江苏泰兴黄桥初中教育集团·期中)如图，已知线段用两种不同的方法作，使得，且．要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 题型三：格点图中画等腰三角形 【例3】如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练3-1】在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练3-2】(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练3-3】(23-24七下·河北保定清苑区·期末)如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【变式训练3-4】(23-24八上·北京顺义区·期末)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式训练3-5】(24-25八下·四川达州宣汉县双河中学·期末)如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有 个．    题型四：找出图中的等腰三角形 【例题4】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区松雷中学·期中)如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式训练4-1】(24-25八上·北京大学附属中学·期中)如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式训练4-2】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练4-3】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区萧红中学·月考)如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练4-4】(23-24八下·四川成都邛崃·期末)如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【变式训练4-5】如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 题型五：利用等腰三角形的性质与判定求角度 【例5】如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】如图，已知和都是等腰三角形，，，为公共底边，，且，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式训练5-2】如图，在中，点D，E在边上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】(24-25八下·广西南宁第三十七中学·开学考)如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】(24-25八下·陕西西安经开第六中学·月考)如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，在与中，点F在上，交于点，，，则（   ） A． B． C． D． 题型六：利用等腰三角形的性质与判定求线段 【例6】(24-25八下·陕西咸阳永寿县上邑中学·期末)如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【变式训练6-1】如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 【变式训练6-2】(24-25八·湖北襄阳樊城区第五中学·期末)如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，平分，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练6-3】如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【变式训练6-4】(24-25八下·广西钦州浦北县第三中学·月考)如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】(24-25八上·云南丽江古城区福慧学校·期中)如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 题型七：等腰三角形的性质与判定综合 【例7】(24-25八上·贵州遵义播州区·期末)如图， (1)求证：； (2)当，时，求点A到点的距离． 【变式训练7-1】(25-26八上·江苏南京玄武区·月考)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练7-2】如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【变式训练7-3】(24-25七上·山东泰安新泰（五四制）·期中)如图，在中，． (1)求的度数； (2)取的中点E，连接并延长交于点F，求证：． 【变式训练7-4】(24-25八上·湖北襄阳第二十一中学·月考)如图，在和中，点D 在边上，，，与交于点 F. (1)求证：； (2)若，求的度数. 【变式训练7-5】(25-26八上·河南信阳罗山县彭新镇一中·月考)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：. 题型八：等腰三角形的性质与判定多结论问题 【例8】如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练8-1】如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（    ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练8-2】(24-25八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·期中)如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练8-3】如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练8-4】(24-25九下·重庆沙坪坝区南开中学·期末)如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练8-5】(2022·河南省洛阳市·一模)如图，，均是等边三角形，点，，在同一条直线上，且，分别与，交于点，，连结则下列结论： ①； ②为等边三角形； ③平分； ④； ⑤平分． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②③④ 题型九：等腰三角形的性质与判定解答题压轴 【例9】(24-25九下·辽宁抚顺新宾县·期中)在中，，，点D是所在直线上的动点，连接，点E是点B关于直线的对称点，直线与直线交于点F． (1)当，点D移动到如图1的位置时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)当，点D移动到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由； (3)当时，请直接写出，，之间的数量关系． 【变式训练9-1】已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【变式训练9-2】(24-25八上·海南直辖县级行政单位澄迈县·期末)如图，和是等腰直角三角形，，，，点E在的内部，且． (1)猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想； (2)求的度数； (3)当时，______；当时，______； 当时，______；（直接写答案） 【变式训练9-3】(25-26八上·江苏南通如皋·月考)如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【变式训练9-4】(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【变式训练9-5】(24-25八上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一讲） ①等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 ②等边三角形的判定定理： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 题型一：根据等角对等边证明等腰三角形 【例题1】已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 【变式训练1-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式训练1-2】(24-25八下·陕西咸阳礼泉县赵镇初级中学·期中)如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练1-3】如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练1-4】(24-25八下·陕西西安理工大学附属中学·期中)如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练1-5】(2025九·山东省济南市·一模)如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型二：尺规作图作等腰三角形 【例题2】(24-25八上·福建厦门·期末)如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． （1）先作，然后截取； （2）作交于F，根据平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质计算出，，则，从而得到，然后证明，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，点D为所作； （2）证明：作交于F，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练2-1】(2025·山东省青岛市·模拟)已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】解：如图，等腰即为所作： 【变式训练2-2】(2025·陕西省西安市·模拟)如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 【变式训练2-3】如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求． 【详解】（1）解：作法：先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 【变式训练2-4】(2025九·陕西省咸阳市·一模)如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质．作线段的垂直平分线交直线于点，再连接，得到，进而得到，推出，最后以为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，得到，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式训练2-5】(24-25八上·江苏泰兴黄桥初中教育集团·期中)如图，已知线段用两种不同的方法作，使得，且．要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．方法一：作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上取，使得，最后连接、即可；方法二：分别以点、为垂足作、，再作和的角平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求： 方法一：作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上取，使得，最后连接、即可． 方法二：分别以点、为垂足作、，再作和的角平分线交于点，则，进而可得，． 题型三：格点图中画等腰三角形 【例3】如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 故选：C． 【变式训练3-1】在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 【变式训练3-2】(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【变式训练3-3】(23-24七下·河北保定清苑区·期末)如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 【变式训练3-4】(23-24八上·北京顺义区·期末)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 【变式训练3-5】(24-25八下·四川达州宣汉县双河中学·期末)如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有 个．    【答案】 【分析】以A为圆心，的长为半径作圆，此时点有个．以为圆心，的长为半径作圆，此时点有个．作的垂直平分线，此时点有个，作出图形即可求出答案． 【详解】解：以A为圆心，的长为半径作圆，此时满足条件的点有个， 以为圆心，的长为半径作圆，此时满足条件的点有个， 作的垂直平分线，此时满足条件的点有个， ∴这样的点有7个，    故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确作图找出格点，本题属于基础题型． 题型四：找出图中的等腰三角形 【例题4】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区松雷中学·期中)如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 【变式训练4-1】(24-25八上·北京大学附属中学·期中)如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【变式训练4-2】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 【变式训练4-3】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区萧红中学·月考)如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 【变式训练4-4】(23-24八下·四川成都邛崃·期末)如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 【变式训练4-5】如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 题型五：利用等腰三角形的性质与判定求角度 【例5】如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，利用平行线的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得，求得即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 【变式训练5-1】如图，已知和都是等腰三角形，，，为公共底边，，且，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过连接，利用等腰三角形的性质求出相关角度，再通过证明三角形全等得出角度关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ． 故选． 【变式训练5-2】如图，在中，点D，E在边上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理来求解，通过设未知数，根据上述性质和定理列出方程求解角度. 【详解】解：设 ∵， ∴ ∵， ∴ 在 中： ∵， 在中，内角和为：其中 ， 故选：C. 【变式训练5-3】(24-25八下·广西南宁第三十七中学·开学考)如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质． 根据等腰三角形的性质可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， 垂直平分AC， ， ， ． 故选：． 【变式训练5-4】(24-25八下·陕西西安经开第六中学·月考)如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵的两条高，交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练5-5】(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，在与中，点F在上，交于点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明． 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选 A ． 题型六：利用等腰三角形的性质与判定求线段 【例6】(24-25八下·陕西咸阳永寿县上邑中学·期末)如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式训练6-1】如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和及角平分线性质，求出相关角的度数，再推导角之间的关系，判断三角形的形状，进而得出的长度．本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ． ． 平分，平分， ，． ∵， ． ， ． 故选： ． 【变式训练6-2】(24-25八·湖北襄阳樊城区第五中学·期末)如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，平分，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长交的延长线于H．根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得；再证明可得，设，则，，易得，再解方程即可解答． 【详解】解：如图：延长交的延长线于H． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴． 故选C． 【变式训练6-3】如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练6-4】(24-25八下·广西钦州浦北县第三中学·月考)如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握相关性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ， 在中，是的中点， ． 故选：A． 【变式训练6-5】(24-25八上·云南丽江古城区福慧学校·期中)如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，连接，根据垂直的定义及，得到，根据等腰三角形的定义得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型七：等腰三角形的性质与判定综合 【例7】(24-25八上·贵州遵义播州区·期末)如图， (1)求证：； (2)当，时，求点A到点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形和等边三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，然后再根据即可证明结论； （2）连接，由全等三角形的性质可得，然后证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得的长即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即点A到点的距离为4． 【变式训练7-1】(25-26八上·江苏南京玄武区·月考)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据可知是直角三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 【变式训练7-2】如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识． （1）通过全等三角形的判定定理证得 ，由“全等三角形的对应边相等”推知，所以是等腰三角形； （2）由等腰的性质求得，结合 的对应角相等 ，易求． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． ． 是等腰三角形； （2）解：， ， ． ， ． ． ． 【变式训练7-3】(24-25七上·山东泰安新泰（五四制）·期中)如图，在中，． (1)求的度数； (2)取的中点E，连接并延长交于点F，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是关键． （1）由等腰三角形的性质得，由互补关系求得的度数，再由三角形内角和即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，由（1）所求及直角三角形的性质可求得的度数，再可求得的度数，由度数相等即可得． 【详解】（1）解: ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明: ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练7-4】(24-25八上·湖北襄阳第二十一中学·月考)如图，在和中，点D 在边上，，，与交于点 F. (1)求证：； (2)若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键. （1）根据，可得，即可证明； （2）根据等腰三角形的判定和性质求得即可解答. 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， . 【变式训练7-5】(25-26八上·河南信阳罗山县彭新镇一中·月考)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， （1）由，，可得，再利用三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得证． 【详解】（1）∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵，F是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 题型八：等腰三角形的性质与判定多结论问题 【例8】如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 【变式训练8-1】如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（    ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过点作的延长线于点，作于点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 【变式训练8-2】(24-25八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·期中)如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据角平分线定义得出，根据平行线性质得出，从而得出，由等腰三角形的判定定理即可得到结论；②根据已知条件，不能得出全等；③由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到、、的距离相等，从而得出为外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论；⑤根据，于是得到，推出，即可得到结论；④由，，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理， ②与不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误； ③过点E作于N，于D，于M，如图， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 设，，，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故③正确； ④∵， ∴， ∴， 即，故⑤正确； ⑤∵，， ∴．故④正确． 综上，①③④⑤正确，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练8-3】如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由三角形内角和定理并结合角平分线的定义计算即可判断①；证明，得出，，即可判断②；延长交于点，证明，得出，进而可得，结合，得出，即可判断③；证明，得出，即可判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形， 故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【变式训练8-4】(24-25九下·重庆沙坪坝区南开中学·期末)如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 【变式训练8-5】(2022·河南省洛阳市·一模)如图，，均是等边三角形，点，，在同一条直线上，且，分别与，交于点，，连结则下列结论： ①； ②为等边三角形； ③平分； ④； ⑤平分． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 根据，均是等边三角形可得，进而可得，即可判定是等边三角形，进而得出，过点分别作，的垂线，证明三角形全等即可判断． 【详解】解：，均是等边三角形， ，，， ， ，正确，符合题意； ， ， ， ， ， 为等边三角形，正确，符合题意； ， ，故正确，符合题意； 过点分别作，的垂线，，连接， ， ，， ， 平分，故正确，符合题意； 在和中， ， ， ， ∵不一定等于， 不一定等于． 不一定平分故错误，不符合题意； 故选：D． 题型九：等腰三角形的性质与判定解答题压轴 【例9】(24-25九下·辽宁抚顺新宾县·期中)在中，，，点D是所在直线上的动点，连接，点E是点B关于直线的对称点，直线与直线交于点F． (1)当，点D移动到如图1的位置时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)当，点D移动到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由； (3)当时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，；当点D在线段延长线上时，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长至点，使，证明≌即可得出结论； （2）延长至点，使，证明≌即可得出结论， （3）分三种情况讨论，用（1）（2）中的方法证明即可． 【详解】（1）解：； 如图：延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 如图，延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：①如图，当点D在线段上时， 延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，当点D在线段延长线上时， 在上取点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ③如图，当点D在线段延长线上时， 在上取点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，； 当点D在线段延长线上时，． 【变式训练9-1】已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【变式训练9-2】(24-25八上·海南直辖县级行政单位澄迈县·期末)如图，和是等腰直角三角形，，，，点E在的内部，且． (1)猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想； (2)求的度数； (3)当时，______；当时，______； 当时，______；（直接写答案） 【答案】(1)，见解析 (2) (3)；； 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，第一问证明全等三角形是关键，第二问运用整体的思想是关键，第三问分情况讨论是关键． （1），证明，可得结论； （2）如图1，先根据三角形的内角和定理可得，根据直角三角形的两锐角互余得：，所以，由（1）中三角形全等可得结论； （3）是等腰三角形时，有三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形等边对等角可得的值． 【详解】（1）解：， 理由如下，如图1，∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． （2）如图1，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）当时，， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴． 【变式训练9-3】(25-26八上·江苏南通如皋·月考)如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【答案】(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴． （4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图． 由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【变式训练9-4】(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，见解析 (3)或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质及判定，分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形； （2）根据全等可得，继而得到，即可求解； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形． （2）解：是直角三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ，， ， ． 是直角三角形． （3）解：是等边三角形， ． ，， ， ， ． ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【变式训练9-5】(24-25八上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证明； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高，最后由角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （3）证明：如图，过点作于，作于， 由（2）知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴线段为的平分线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $