专题01 锐角三角函数的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 以五类题型为框架，构建“定义理解-运算应用-综合拓展”的递进式训练体系，提炼三步解题法与转化策略，强化数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型一：求三角函数值|1典例+3变式|定图形→算边长→验结果|从定义出发，结合勾股定理与特殊三角形性质| |类型二：已知函数值求边长|1典例+3变式|定位关系→设元列方程→勾股联立|方程思想解决边角互化，深化定义应用| |类型三：特殊角混合运算|1典例+3变式|熟记值→按规则运算→避陷阱|强化运算能力，巩固特殊角函数值记忆| |类型四：判断三角形形状|1典例+3变式|逆用函数值→求内角→证形状|连接三角函数与三角形性质，培养推理意识| |类型五：新定义问题|1典例+3变式|吃透定义→转化模型→验证结果|提升知识迁移能力，对接创新题型|

专题01 锐角三角函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 类型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 压轴专练 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.定图形与边角关系：先明确直角三角形（无直角则构造，如作高），标注∠α的对边、邻边、斜边，避免混淆。 2.算边长求比值：用勾股定理、特殊三角形性质（30°/45°/60°）或相似三角形求边长，再按定义计算：sinα=对边/斜边、cosα=邻边/斜边、tanα=对边/邻边。 3.验结果与特殊值：结果需最简（分母有理化），熟记特殊角（30°/45°/60°）的三角函数值，快速校验答案合理性。 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解直角三角形，解题的关键是作出合理的辅助线；先连接，根据勾股定理分别算出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质．先证，得出，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图，设交于F， 是的平分线， ． ， ． 在和中 ． ． ， ． ． ， ． 故答案为： 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是直角边上一点，于点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握正弦和余弦函数是解题的关键；首先根据三角形内角和定理求得，然后在中即可求得的值，即可知道的值. 【详解】解:; ． 又 在中， ； 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形中，，点在矩形的边上，且，连接，则的值为 ． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查矩形的性质、求锐角三角函数值和勾股定理，熟练掌握以上知识点并运用分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分别讨论点在矩形的边和上两种情况． 【详解】第一种情况，当点在矩形的边上，如图所示， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 第二种情况，当点在矩形的边上，如图所示，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，， 在中，， 故答案为：或3． 类型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 1.定位三角函数关系：先确定直角三角形（或构造直角三角形），明确已知三角函数对应的角，锁定“对边、邻边、斜边”的对应关系，列出等式（如sinα=对边/斜边）。 2.设未知数列方程：若边长未知，设关键边为x，结合已知角的三角函数值，用定义建立方程（如已知sin30°=1/2，对边为x，斜边为10，则x/10=1/2）。 3.结合勾股定理求解：单靠三角函数无法求全边时，搭配勾股定理（a²+b²=c²）联立计算，结果需化简，必要时检验是否符合图形实际边长关系。 例2．（山东省济宁市太白湖新区中心中学2025-2026学年上学期九年级10月联考数学试题）如图，在中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知边求余弦值→已知余弦值求边在中，则AC的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理；熟练掌握锐角三角函数值求解是解题的关键. 【详解】解：， ， ， ， 由勾股定理可得：, , 故答案为：6. 【变式2-2】（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 1. 熟记特殊角值：精准牢记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1），避免代入错误，这是运算基础。 2. 按运算规则化简：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内；遇到根式先化简，分母有理化，合并同类项。 3. 巧避常见陷阱：注意符号（如cos60°≠cos(90°-30°)的反向错误），区分三角函数名称，运算后核对结果是否最简，避免计算失误。 例3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用二次根式及绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂分别化简，再相加减即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算，再根据绝对值及立方根性质化简，最后再加减即可； 本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角度的三角函数值，计算可得； （2）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： ．　 【变式3-3】（2025·河南焦作·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据特殊角的三角形函数值，零指数幂化简，再根据实数的混合运算求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值，绝对值意义，负整数指数幂，算术平方根进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.逆用特殊角三角函数值：由已知sinA、cosA、tanA的值，反推对应锐角（如tanA=1则∠A=45°，cosA=1/2则∠A=60°）。 2.算内角和定形状：结合三角形内角和180°，求出所有内角度数，按角分类（如含90°为直角三角形，三内角60°为等边三角形）。 3.结合边长关系验证：若有边长信息，搭配勾股定理（a²+b²=c²）或等腰/等边三角形性质，佐证形状（如两角45°且斜边²=两直角边²和，为等腰直角三角形）。 例4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，则为 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，根据特殊角的三角函数值求出，的值，进而可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形． 故答案为：等边． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握角的各种三角函数值． 直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式4-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）在中，若，、都是锐角，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等边三角形， 故答案为：等边． 【变式4-3】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）在三角形中，已知，都是锐角，且满足，则三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性：先根据非负数的性质确定，继而求出，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 1.吃透新定义本质：紧扣题干给出的新公式、新规则（如自定义“余切”“正割”），拆解核心逻辑，明确其与sin、cos、tan的关联（如定义cotα=邻边/对边，即1/tanα）。 2.转化为熟悉模型：将新定义转化为直角三角形的边角关系，或已学的三角函数运算，代入特殊角值、勾股定理等工具求解，避免被陌生表述干扰。 3.验证结果合理性：按新定义反向校验计算过程，确保未偏离定义规则；结合三角形边长、角度的实际范围（如边长为正、锐角小于90°）排除错误答案。 例5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 【变式5-3】（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，熟记等边三角形的判定是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 4．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（山东省济宁市太白湖新区中心中学2025-2026学年上学期九年级10月联考数学试题）如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质．由锐角的余弦定义得到，据此求解即可． 【详解】解：由作图知，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 8．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 11．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）中，，，，D为的中点，点E在边上，且，则 ． 【答案】3或1 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理和平行线等分线段定理、三角函数定义．由勾股定理逆定理知，作可得，根据D为中点得，，继而可得，根据勾股定理可得，分点E在上和点E在上分别求得的长，最后由三角函数定义可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 如图1，过点D作于点F， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴，， ∴， ①当点E在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在上时， ， ∴， 综上，或1， 故答案为：3或1． 12．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，以及合并同类二次根式，是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数幂，代入特殊三角函数值计算即可； （2）先计算零指数幂，化简二次根式，求绝对值，代入特殊三角函数值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 15．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 16．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (3)在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中基本作图，涉及锐角三角函数、勾股定理，理解网格特点，正确作图是解答的关键． （1）根据网格特点，找格点D，可得，； （2）根据网格特点，找格点E，可得，，则； （3）根据网格特点，找格点F（如图中、、、），可得是钝角，且． 【详解】（1）解：如图，点D、即为所求作： （2）解：如图，点E、即为所求作： （3）解：如图，点F(如)即为所求作：（答案不唯一，、、也可以） 17．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 18．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（2024·北京海淀·二模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键： （1）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （2）根据三角函数得到，求出，再由矩形的性质求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 20．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，可得，然后求出，证明∽，利用相似三角形的性质解答即可； ②设，则，利用轴对称的性质求出，再在中利用勾股定理解答即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，利用勾股定理求出，可得，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可． 【详解】（1）解：①过点作，交于点，交于点，如图， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，， 垂直平分， ， ． ， ． ， ∽， ， ； ②设，则． 点，关于对称， 垂直平分， ． 点为的中点， ， ， ． 在中， ， ， 解得：． 的长为； （2）过点作于点，如图， 为的中点， ． ， ． 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，． ． ． ． ， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 类型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 压轴专练 类型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.定图形与边角关系：先明确直角三角形（无直角则构造，如作高），标注∠α的对边、邻边、斜边，避免混淆。 2.算边长求比值：用勾股定理、特殊三角形性质（30°/45°/60°）或相似三角形求边长，再按定义计算：sinα=对边/斜边、cosα=邻边/斜边、tanα=对边/邻边。 3.验结果与特殊值：结果需最简（分母有理化），熟记特殊角（30°/45°/60°）的三角函数值，快速校验答案合理性。 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是直角边上一点，于点，，则的值为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形中，，点在矩形的边上，且，连接，则的值为 ． 类型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 1.定位三角函数关系：先确定直角三角形（或构造直角三角形），明确已知三角函数对应的角，锁定“对边、邻边、斜边”的对应关系，列出等式（如sinα=对边/斜边）。 2.设未知数列方程：若边长未知，设关键边为x，结合已知角的三角函数值，用定义建立方程（如已知sin30°=1/2，对边为x，斜边为10，则x/10=1/2）。 3.结合勾股定理求解：单靠三角函数无法求全边时，搭配勾股定理（a²+b²=c²）联立计算，结果需化简，必要时检验是否符合图形实际边长关系。 例2．（山东省济宁市太白湖新区中心中学2025-2026学年上学期九年级10月联考数学试题）如图，在中，，，，则 ． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知边求余弦值→已知余弦值求边在中，则AC的长为 ． 【变式2-2】（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【变式2-3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 类型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 1. 熟记特殊角值：精准牢记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1），避免代入错误，这是运算基础。 2. 按运算规则化简：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内；遇到根式先化简，分母有理化，合并同类项。 3. 巧避常见陷阱：注意符号（如cos60°≠cos(90°-30°)的反向错误），区分三角函数名称，运算后核对结果是否最简，避免计算失误。 例3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【变式3-3】（2025·河南焦作·二模）计算： (1)； (2)． 类型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.逆用特殊角三角函数值：由已知sinA、cosA、tanA的值，反推对应锐角（如tanA=1则∠A=45°，cosA=1/2则∠A=60°）。 2.算内角和定形状：结合三角形内角和180°，求出所有内角度数，按角分类（如含90°为直角三角形，三内角60°为等边三角形）。 3.结合边长关系验证：若有边长信息，搭配勾股定理（a²+b²=c²）或等腰/等边三角形性质，佐证形状（如两角45°且斜边²=两直角边²和，为等腰直角三角形）。 例4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，则为 三角形． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）若，则是 三角形． 【变式4-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）在中，若，、都是锐角，则是 三角形． 【变式4-3】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）在三角形中，已知，都是锐角，且满足，则三角形的形状是 ． 类型五、锐角的三角函数中的新定义问题 1.吃透新定义本质：紧扣题干给出的新公式、新规则（如自定义“余切”“正割”），拆解核心逻辑，明确其与sin、cos、tan的关联（如定义cotα=邻边/对边，即1/tanα）。 2.转化为熟悉模型：将新定义转化为直角三角形的边角关系，或已学的三角函数运算，代入特殊角值、勾股定理等工具求解，避免被陌生表述干扰。 3.验证结果合理性：按新定义反向校验计算过程，确保未偏离定义规则；结合三角形边长、角度的实际范围（如边长为正、锐角小于90°）排除错误答案。 例5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【变式5-3】（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 5．（山东省济宁市太白湖新区中心中学2025-2026学年上学期九年级10月联考数学试题）如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 6．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    8．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，若，则 ． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 11．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）中，，，，D为的中点，点E在边上，且，则 ． 12．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 14．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 15．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 16．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (3)在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 17．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 18．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 19．（2024·北京海淀·二模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 20．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $