专题1：两、三位数除以两位数（思维拓展）-苏教版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题1：两、三位数除以两位数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：除数是整十数的口算与笔算（进阶推理） 3 考点二：“四舍五入” 法试商与调商（进阶应用） 5 考点三：除数是两位数的笔算除法（算理强化） 6 考点四：连除实际问题与综合算式（思维拓展） 7 考点五：商不变的规律与简便应用（实践拓展） 8 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：商的位置书写错误，数位对应混乱 10 易错点 2：试商后不调商，余数大于或等于除数 10 易错点 3：连除问题数量关系颠倒，综合算式漏加括号 10 易错点 4：商不变规律应用偏差，忽略余数同步变化 10 易错点 5：被除数末尾 0 漏落，商末尾漏写 0 占位 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 12 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 一、能力进阶篇解析 14 二、思维拓展篇解析 16 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版四年级上册第一单元核心内容，承接表内除法与除数是一位数的除法基础，以 “口算奠基→笔算进阶→策略优化→实际应用→规律拓展” 为主线，系统覆盖除数是整十数的口算笔算、四舍五入试商调商、除数是两位数的笔算除法、连除实际问题、商不变的规律五大模块，渗透运算能力、推理意识、模型意识、应用意识等核心数学素养。 专题遵循 “算理迁移→算法掌握→策略优化→综合应用” 的认知路径，从口算除法入手，将除数是一位数的笔算算理迁移到两位数除数中；掌握 “四舍五入” 试商方法，理解调商的逻辑；熟练掌握商是一位数、两位数的笔算规则；学会从条件出发分析数量关系，用连除解决两步、三步实际问题；探究并应用商不变的规律进行简便计算。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与运算”“数量关系” 两大学习主题要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，为后续四则混合运算、小数除法筑牢计算根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 除数是整十数的除法 口算想乘算除；笔算对位规则；余数小于除数 想乘算除法、对位计算法 商写错数位，余数大于除数 试商与调商 四舍法试商（初商易大需调小）；五入法试商（初商易小需调大） 四舍五入试商法、调商校验法 初商不合适不调商，直接计算 两位数笔算除法 商是一位数 / 两位数的判断；从高位除起；除法验算 位数判断法、分步除算法 商的末尾漏写 0，余数比除数大 连除实际问题 从条件出发分析数量关系；两种解题思路；列综合算式 条件分析法、两种解法互验 数量关系颠倒，综合算式漏加括号 商不变的规律 规律内涵；简便计算应用；余数变化规律 规律探究法、简算凑整法 忽略 “0 除外”，余数忘记同步变化 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 想乘算除法 整十数口算除法 ①想除数乘几等于被除数；②根据表内乘法推商；③验证结果 做除法，想乘法，表内口诀来帮忙 四舍五入试商法 两位数除法笔算 ①把除数看成接近的整十数；②用整十数试初商；③乘回检验，不合适就调 四舍看小易商大，五入看大易商小 调商校验法 试商后调整 ①初商乘除数，和被除数比大小；②积大了商减 1，余数≥除数商加 1；③最终余数 < 除数 商大就减一，商小就加一，余数要比除数小 条件分析法 连除实际问题 ①从已知条件出发，先求中间量；②逐步推导最终问题；③两种方法互相验证 从条件，慢慢推，先算中间再收尾 商不变简算法 除法简便计算 ①被除数除数同时乘 / 除相同数（0 除外）；②把除数凑成整十 / 整百；③计算商，有余数要还原余数 同乘同除商不变，余数同步跟着变 三、数学思维提升 1. 迁移类推思维 核心要点：除数是两位数的除法，算理和除数是一位数的除法完全一致，都是从高位除起、除到哪位商哪位、余数要比除数小。把已学的一位数除法方法迁移过来，就能快速掌握两位数除法，这是计算学习的重要思维方法。 专题示例：除数是一位数时，先看被除数前一位；除数是两位数时，先看被除数前两位，本质都是先看和除数位数相同的部分，不够除就多看一位，算理完全相通。 2. 优化试商思维 核心要点：试商是两位数除法的核心，不是一次就能试对，需要根据初商的结果快速调整，通过 “试→验→调” 的过程找到正确的商。在不断试调中积累经验，逐步提升试商的准确率和速度，培养优化策略的意识。 专题示例：用 “四舍” 法试商，提前预判初商可能偏大，算的时候直接留意积是否过大，快速判断要不要调商，不用算完再返工，提升效率。 3. 对应思维 核心要点：连除问题中，每一步的数量都要一一对应，总数量对应总份数，每份的量要和份数匹配。理清每一步计算的意义，确保数量关系对应准确，是解决应用题的核心。 专题示例：3 个书架 4 层，总本数除以 3 对应的是每个书架的本数，再除以 4 才是每层的本数；如果先乘 3×4 算总层数，再用总本数除以总层数，也对应每层的本数，两种思路对应关系不同，但最终结果一致。 4. 规律探究思维 核心要点：通过观察几组算式的变化，发现被除数、除数变化时商的变化规律，再验证规律、应用规律，经历 “观察→猜想→验证→结论→应用” 的完整探究过程，培养归纳推理能力。 专题示例：计算几组被除数除数同时扩大的除法，发现商都相同，进而猜想商不变的规律，再换几组数验证，最后用规律进行简便计算，完整经历探究过程。 5. 检验反思思维 核心要点：除法计算步骤多、易出错，做完后必须检验。可以用乘法验算，也可以用估算判断结果量级，还可以用另一种方法再算一遍。养成检验习惯，能大幅提升计算正确率，是运算能力的重要组成部分。 专题示例：算完除法后，用 “商 × 除数 + 余数” 看是否等于被除数，一步就能检验出商和余数是否正确，是最常用的验算方法。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：除数是整十数的口算与笔算（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 口算与笔算基础 题目：（1）口算：　　 （2）笔算： 解题步骤： ① 口算部分：利用想乘算除的方法，，所以；同理，所以；也可以同时去掉末尾的 0，按表内除法计算：，，结果一致。 ② 笔算部分：除数是两位数，先看被除数前两位，，不够除，要看前三位；商 6 写在个位上，，； ③ 检验余数：，余数小于除数，计算正确，结果是商 6 余 20。 答：（1）4；5；（2）商 6 余 20。 【知识点睛】本题考查除数是整十数的口算与笔算，是本单元的入门基础。口算核心方法：想乘算除，或者同时去掉被除数和除数末尾相同个数的 0，按表内除法计算。笔算核心法则：先看被除数的前两位，前两位不够除就看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除后余下的数必须比除数小。整十数除法是后续两位数除法的基础，试商的本质就是把除数看成整十数来计算。 典型例题 2（思维拓展型）—— 最大能填几 题目：在括号里填上最大的整数。 　　 解题步骤： ① 第一题：用除法试算，，商是 4，说明 70×4=280<300，70×5=350>300，所以最大填 4； ② 第二题：，商是 8，50×8=400<423，50×9=450>423，所以最大填 8； ③ 验证：把填的数乘回去，乘积小于右边的数，再加 1 就大于，说明是最大值。 答：4；8。 【知识点睛】本题是试商的专项基础训练，本质就是快速试商。解题方法是用右边的数除以已知的因数，所得的商就是括号里能填的最大数。这类题练熟了，做两位数除法试商时就能快速判断初商是几，大幅提升试商速度和准确率。注意是填 “最大” 的整数，必须满足乘积小于右边的数，不能等于或大于。 考点二：“四舍五入” 法试商与调商（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 四舍法试商与调商 题目：笔算： 解题步骤： ① 试商：除数 32 接近 30，用 “四舍” 法把 32 看作 30 来试商，想 30×9=270，初商 9； ② 检验初商：用实际除数乘初商，，，说明初商偏大了，需要调小； ③ 调商计算：把商调成 8，，，余数 16<32，符合要求，最终商 8 余 16。 【知识点睛】本题考查 “四舍” 法试商与调商，是试商的核心题型之一。用 “四舍” 法把除数看成和它接近的整十数，除数看小了，初商容易偏大，需要调小。调商口诀：四舍商大下调 1。调商后一定要用实际除数重新相乘检验，确保余数小于除数。初商不合适是正常现象，不用怕调商，多练习就能快速找到准确的商。 典型例题 2（思维拓展型）—— 五入法试商与调商 题目：笔算： 解题步骤： ① 试商：除数 28 接近 30，用 “五入” 法把 28 看作 30 来试商，想 30×6=180，初商 6； ② 检验初商：，，余数等于除数，说明初商偏小了，需要调大； ③ 调商计算：把商调成 7，，余数为 0，刚好除尽，最终商 7。 【知识点睛】本题考查 “五入” 法试商与调商，是试商的另一核心题型。用 “五入” 法把除数看成接近的整十数，除数看大了，初商容易偏小，需要调大。调商口诀：五入商小上调 1。判断商小的标志是：余数大于或等于除数，说明还能再商 1，就要把商加 1。熟练掌握四舍、五入两类试商的特点，就能预判初商的偏差，加快调商速度。 考点三：除数是两位数的笔算除法（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 商的位数判断与笔算 题目：先判断下面各题的商是几位数，再笔算。 （1）　　（2） 解题步骤： ① 判断商的位数：比较被除数前两位和除数的大小。 第（1）题：，前两位够除，商是两位数； 第（2）题：，前两位不够除，商是一位数。 ② 笔算：先除前两位，商 2 写在十位，，余 6；落个位的 4 成 64，商 2 写在个位，，余 12；最终商 22 余 12。 ③ 笔算：前两位不够除，看前三位，商 9 写在个位，，余 15；最终商 9 余 15。 答：（1）商是两位数，商 22 余 12；（2）商是一位数，商 9 余 15。 【知识点睛】本题考查商的位数判断与两位数除法笔算，是算理强化的核心题型。位数判断方法：三位数除以两位数，被除数前两位≥除数，商是两位数；被除数前两位 < 除数，商是一位数。笔算法则：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果不够除就试除前三位；除到哪一位，商就写在哪一位上面；每次除后余数必须小于除数。先判断商的位数，能提前预判结果范围，减少计算错误。 典型例题 2（思维拓展型）—— 除法验算 题目：计算，并用乘法验算。 解题步骤： ① 笔算：除数 40 是整十数，前两位 82>40，商 2 写在十位，余 2；落 0 成 20，不够商 1，个位写 0 占位；最终商 20 余 20。 ② 验算：根据有余数除法的验算公式 “”，代入计算：，和被除数相等，计算正确。 ③ 也可以用商不变规律简算：被除数除数同时除以 10，，注意余数要乘 10 还原，原算式余数是 20，和笔算结果一致。 【知识点睛】本题考查除法的验算方法，是保证计算正确率的重要技能。验算规则：没有余数的除法：商 × 除数 = 被除数；有余数的除法：商 × 除数 + 余数 = 被除数。特别提醒：利用商不变规律简算有余数的除法时，被除数和除数同时去掉几个 0，余数就要添回几个 0，商是不变的，但余数会跟着同步变化。验算能有效检验商和余数是否正确，是计算的必备步骤。 考点四：连除实际问题与综合算式（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础连除问题 题目：图书馆新买来 288 本图书，放在 3 个书架上，每个书架有 4 层。平均每层放多少本书？（列综合算式解答） 解题步骤： ① 方法一：先算每个书架放多少本，再算每层放多少本。 每个书架：（本） 每层：（本） 综合算式：（本） ② 方法二：先算总共有多少层，再算每层放多少本。 总层数：（层） 每层：（本） 综合算式：（本） ③ 检验：（本），和总本数一致，结果正确。 答：平均每层放 24 本书。 【知识点睛】本题是连除实际问题的基础题型，对应教材 “从条件出发思考” 的解题策略。两种解题思路对应两种数量关系：方法一是连续平分，依次除以两个份数；方法二是先求总份数，再用总数 ÷ 总份数 = 每份数。列综合算式时要注意运算顺序，如果要先算乘法，必须加上小括号。解题时从条件出发，一步步推导，每一步都要明确算的是什么，确保数量关系对应准确。 典型例题 2（思维拓展型）—— 归一型连除应用 题目：3 台机器 5 小时生产 450 个零件。照这样计算，2 台机器 8 小时生产多少个零件？ 解题步骤： ① 第一步先求单一量：1 台机器 1 小时生产多少个零件。 （个） ② 第二步求总量：2 台机器 8 小时的总产量。 （个） ③ 列综合算式：（个） 检验：30 个 / 台・时，3 台 5 小时就是个，符合题目条件。 答：2 台机器 8 小时生产 480 个零件。 【知识点睛】本题是连除与连乘结合的归一问题，属于连除的拓展应用。解题核心是先求出单一量（单位时间单台产量），再根据新的数量求总量。这是 “从条件出发” 策略的进阶应用，通过连除逐步归一，再通过连乘求总。解题时要理清每一步对应的数量意义，确保单位对应准确。这类题是后续更复杂归一归总问题的基础，掌握好单一量的求法是关键。 考点五：商不变的规律与简便应用（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 规律探究与验证 题目：根据每组第 1 题的商，直接写出下面两题的商，并说说你发现了什么规律。 解题步骤： ① 观察算式变化：第二题被除数和除数同时乘 10，第三题同时乘 100； ② 根据规律直接写商：被除数和除数同时扩大相同倍数，商不变，所以，； ③ 验证计算：，，商确实不变，规律成立。 答：12；12；规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 【知识点睛】本题考查商不变的规律，是本单元的重要规律知识点。核心结论：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0 除外），商不变。注意三个关键点：一是 “同时”，被除数和除数都要变；二是 “相同的数”，变化倍数要一样；三是 “0 除外”，因为 0 不能作除数，同时乘 0 没有意义。商不变规律是除法简便计算的核心依据，也是后续学习分数基本性质、比的基本性质的基础。 典型例题 2（思维拓展型）—— 简便计算应用 题目：用简便方法计算下面各题。 （1）　　（2） 解题步骤： ① 第（1）题：利用商不变规律，被除数和除数同时除以 10，去掉末尾的 0，算式简化为，所以； ② 第（2）题：除数 25 乘 4 可以凑成 100，根据商不变规律，被除数也乘 4，算式变为； ③ 验算：，，结果正确。 答：（1）26；（2）24。 【知识点睛】本题考查商不变规律的简便计算应用，是规律的实践延伸。常见的简算场景：一是除数是整十、整百数，同时去掉末尾的 0 简化计算；二是除数是 25、125 等特殊数，利用、，把除数凑成整百、整千，同时被除数同步变化，让计算更简便。再次强调：只有商是不变的，如果是有余数的除法，余数会跟着同步变化，不能直接用简算后的余数当作原算式的余数。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：商的位置书写错误，数位对应混乱 错误示例：计算，把商 6 写在十位上，变成两位数的商。 正确分析：被除数前两位 38 小于除数 60，不够除，要看前三位，商是一位数，应该写在个位上。 修正方法：计算前先判断商是几位数，确定商的最高位在哪一位，再对应写商；除到哪一位，商就写在哪一位的上面，不能提前错位。 易错点 2：试商后不调商，余数大于或等于除数 错误示例：初商 6，余数 28 等于除数，不调商直接写结果。 正确分析：每次除完的余数必须小于除数，余数≥除数说明商小了，还能再商 1，需要把商调大 1。 修正方法：每算完一步都把余数和除数比一比，余数大就调商，直到余数小于除数为止；养成 “算完必比余数” 的习惯。 易错点 3：连除问题数量关系颠倒，综合算式漏加括号 错误示例：书架放书问题，列综合算式写成，或者先算除法再算乘法，逻辑错误。 正确分析：如果先算总层数，乘法部分必须加小括号，保证先算总份数，再用总数除以总份数。 修正方法：先写分步算式，明确每一步的运算顺序；合并成综合算式后，对照分步检查运算顺序，不一致就添加对应括号调整。 易错点 4：商不变规律应用偏差，忽略余数同步变化 错误示例：，用，认为原算式余数也是 2。 正确分析：被除数和除数同时除以 10，商不变，但余数也除以了 10，原算式的余数要乘 10 还原，正确余数是 20。 修正方法：用商不变规律简算有余数除法时，去掉几个 0，余数末尾就要添回几个 0；最后一定要用乘法验算，验证余数是否正确。 易错点 5：被除数末尾 0 漏落，商末尾漏写 0 占位 错误示例：，算完十位余 2，个位的 0 不落下来，商写成 21，漏掉个位的 0。 正确分析：除到十位后，个位的 0 要落下来，个位的 0 落下来后，20 除以 4 商 5，写在个位上。注意：除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商，不够商 1 时要写 0 占位。820÷4＝205。 修正方法：笔算时被除数的每一位都要依次落下来参与计算；除到哪一位不够商 1，就要在那一位上写 0 占位，不能空着不写。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 1. 直接写出得数。 　 　　 　 2. 括号里最大能填几？ 　 　 3. 笔算： 4. 笔算： 5. 判断：被除数和除数同时乘 5，商也乘 5。（ ） 6. 学校买来 480 本绘画本，分给 6 个年级，每个年级有 4 个班。平均每班分得多少本？（列综合算式） 7. 计算并验算： 8. 下列算式中，商是两位数的是（ ） A. 　　B. 　　C. 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 9. 小马虎计算除法时，把除数 36 错看成了 63，得到的商是 12，余数是 20。正确的商和余数分别是多少？ 10. 用简便方法计算： 11. 3 头奶牛一周（7 天）产奶 210 千克。照这样计算，8 头奶牛 10 天可以产奶多少千克？ 12. 两个数相除，商是 8，余数是 30。如果被除数和除数同时除以 10，商是多少？余数是多少？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】4；4；5 解题步骤： ① 想乘算除或同时去 0 计算：，，； ② 对应结果分别是 4、4、5。 【知识点睛】本题考查整十数除法口算。核心方法是同时去掉末尾相同个数的 0，转化为表内除法计算，商不变。 2. 【答案】5；6 解题步骤： ① ，最大填 5； ② ，最大填 6。 【知识点睛】本题考查试商基础训练。用除法求商，商就是能填的最大整数，是快速试商的必备技能。 3. 【答案】6 解题步骤： ① 除数 54 用四舍法看作 50 试商，初商 6； ② ，刚好除尽，商 6。 【知识点睛】本题考查四舍法试商。本题初商刚好合适，不需要调商，计算后检验余数为 0 即可。 4. 【答案】24 解题步骤： ① 前两位 64>27，商是两位数； ② 十位商 2，余 10，落 8 成 108，个位商 4，刚好除尽，商 24。 【知识点睛】本题考查商是两位数的除法笔算。从高位除起，除到哪位商写哪位，分步计算确保准确。 5. 【答案】× 解题步骤： ① 根据商不变规律，被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商不变； ② 商应该还是原来的大小，不会乘 5，因此说法错误。 【知识点睛】本题考查商不变规律的基本概念。同时乘除相同数，商不变，这是规律的核心。 6. 【答案】20 本 解题步骤： ① 方法一：（本）； ② 方法二：（本）。 答：平均每班分得 20 本。 【知识点睛】本题考查基础连除实际问题。两种方法对应两种思路，结果一致可互相验证。 7. 【答案】15 解题步骤： ① 笔算得商 15； ② 验算：，等于被除数，计算正确。 【知识点睛】本题考查除法验算。没有余数的除法用商乘除数验算，等于被除数即为正确。 8. 【答案】B 解题步骤： ① 比较被除数前两位和除数：A 选项 25<27，商一位数；B 选项 43>42，商两位数；C 选项 31<35，商一位数； ② 所以选 B。 【知识点睛】本题考查商的位数判断。前两位≥除数时商是两位数，反之是一位数。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】商是 21，余数是 20 解题步骤： ① 先根据错误的除数、商、余数求出被除数：； ② 再用正确的除数计算：； ③ 验算：，正确。 【知识点睛】本题是错中求解的除法题型。解题关键是抓住不变的被除数，先通过错误的算式求出被除数，再代入正确除数计算。 10. 【答案】40 解题步骤： ① 利用商不变规律，除数 125 乘 8 得 1000，被除数也乘 8； ② 。 【知识点睛】本题考查商不变规律的简便应用。125 和 8 相乘凑整千，同步变化后计算更简便。 11. 【答案】800 千克 解题步骤： ① 先求 1 头奶牛 1 天产奶量：（千克）； ② 再求 8 头 10 天产量：（千克）。 【知识点睛】本题是归一型连除应用。先求单一量，再求总量，是解决这类问题的通用思路。 12. 【答案】商是 8，余数是 3 解题步骤： ① 根据商不变规律，被除数除数同时除以 10，商不变，还是 8； ② 余数会跟着除以 10，，余数变为 3。 【知识点睛】本题考查商不变规律中余数的变化。商不变，但余数会和被除数、除数同步变化，同时除以几，余数也除以几。 1 学科网（北京）股份有限公司 $