专题3：☆周长与面积的变化（探索规律）（思维拓展）-苏教版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题3：周长与面积的变化（探索规律） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：面积固定下的周长变化规律（拼摆探究） 3 考点二：周长固定下的面积变化规律（画图探究） 5 考点三：长宽变化中的周长与面积递变规律 6 考点四：最值规律的实际应用（思维拓展） 7 考点五：综合实践活动方案设计（实践拓展） 9 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：混淆面积与周长的变化关联，误认为面积大周长一定长 11 易错点 2：枚举拼法 / 围法时遗漏情况，规律总结片面 11 易错点 3：长 / 宽变化时，周长与面积的变化量计算错误 11 易错点 4：求最大面积时忽略正方形形态，最值判断失误 11 易错点 5：实际场景忽略限制条件，盲目套用规律 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 13 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 14 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 15 一、能力进阶篇解析 15 二、思维拓展篇解析 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版四年级上册 “周长与面积” 单元的综合实践拓展内容，承接长方形、正方形周长与面积的基础计算，以 “拼摆探究→画图验证→归纳规律→实践应用” 为主线，系统覆盖面积固定时的周长变化、周长固定时的面积变化、长宽递变规律、最值实际应用四大模块，渗透归纳推理、数形结合、模型建构、最值思想等核心数学素养。 专题遵循 “操作感知→数据对比→发现规律→迁移应用” 的认知路径，通过用相同数量小正方形拼摆图形、用固定长度围长方形两类核心探究活动，引导学生在动手操作中收集数据、对比分析，自主发现 “面积相等时周长不一定相等”“周长相等时正方形面积最大” 两大核心规律；能运用规律解决围篱笆、铺场地、方案优化等实际问题。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，着力发展学生的推理意识与量感，为后续多边形面积、函数思想启蒙筑牢底层逻辑。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 面积定→周长变 用相同数量小正方形拼不同图形；面积相等时，长和宽越接近，周长越短 枚举列表法、拼摆验证法 误认为面积大周长一定更长 周长定→面积变 用固定长度围不同长方形；周长相等时，长和宽越接近，面积越大，正方形最大 画图枚举法、数据对比法 遗漏正方形是特殊长方形，找不到最值 长宽递变规律 长或宽增减时，周长与面积的变化量计算；长宽同时变化的规律对比 画图分析法、增量计算法 混淆周长增量与面积增量的对应关系 最值实际应用 围篱笆最大面积、场地设计优化、材料最省等实际问题 规律迁移法、方案对比法 忽略靠墙、限边等实际限制条件 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 枚举列表法 拼摆 / 围法探究题 ①按长从大到小有序枚举所有可能；②分别计算对应周长 / 面积；③对比数据总结规律 有序枚举不遗漏，列表对比找规律 画图分析法 长宽变化类题目 ①画出原图形，标注长宽；②画出变化后的图形，标出增量；③分别计算变化前后的量，对比差值 先画原图再画变，增量对应看清楚 规律应用法 最值类实际问题 ①判断是面积固定还是周长固定；②对应核心规律；③结合实际条件计算结果 定面积找短周，定周长找大面积 方案对比法 方案设计优化题 ①分别计算不同方案的周长 / 面积；②对比选出最优方案；③验证结果是否符合要求 多种方案分别算，对比选出最优解 实践探究法 综合实践活动 ①明确探究问题；②设计操作步骤；③收集数据、分析归纳、得出结论 先操作，再数据，最后归纳出规律 三、数学思维提升 1. 归纳推理思维 核心要点：从多个具体的例子出发，通过观察、对比、分析，提炼出普遍适用的规律，这是数学探索规律的核心思维方式，也是本专题最核心的思维方法。 专题示例：用 12 个小正方形拼出 3 种不同的长方形，分别算出周长，对比发现 “长和宽越接近，周长越短”，再用 16 个、20 个小正方形验证，最终归纳出面积固定时的普遍周长规律。 2. 数形结合思维 核心要点：所有规律的探究都建立在图形操作的基础上，拼图形、画图形、看图形，把抽象的数量变化和直观的图形变化结合起来，让规律看得见、摸得着，理解更深刻。 专题示例：探究 “周长相等面积怎么变” 时，画出不同长宽的长方形，直观看出长和宽越接近，图形越 “饱满”，围出来的面就越大，正方形最 “方”，面积最大。 3. 最值优化思维 核心要点：在材料固定、数量固定的前提下，寻找最优的方案，比如周长最短、面积最大、用料最省，这是数学应用于生活的重要体现，也是方案优化的核心思想。 专题示例：用篱笆围菜地，要让面积最大，就要围成正方形；用同样多的地砖铺长方形场地，要让周长最短，就要铺成接近正方形的形状。 4. 有序思考思维 核心要点：枚举所有可能的拼法、围法时，要按照一定的顺序（比如长从大到小、宽从小到大）逐一列举，做到不重复、不遗漏，才能保证数据完整，规律总结准确。 专题示例：用 20 厘米铁丝围长方形（长宽整厘米），按长 9 宽 1、长 8 宽 2…… 长 5 宽 5 的顺序枚举，一共 5 种情况，全部列出来再对比，不会漏掉正方形的情况。 5. 实践探究思维 核心要点：数学规律不是凭空记住的，要通过动手操作、实验验证、数据对比自主发现，经历 “猜想→操作→验证→结论” 的完整探究过程，不仅掌握知识，更学会研究问题的方法。 专题示例：探究 “面积相等周长是否相等”，先猜想，再动手拼一拼、算一算，发现不一样，再换不同数量验证，最后得出普遍结论，完整经历科学探究的过程。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：面积固定下的周长变化规律（拼摆探究） 典型例题 1（能力进阶型）—— 小正方形拼摆探究 题目：用 12 个边长 1 厘米的小正方形拼成不同的长方形（含正方形），一共有几种不同的拼法？分别算出它们的周长，你能发现什么规律？ 解题步骤： ① 有序枚举所有拼法：总面积是 12 平方厘米，也就是长 × 宽 = 12，按长从大到小列举： · 长 12 厘米，宽 1 厘米； · 长 6 厘米，宽 2 厘米； · 长 4 厘米，宽 3 厘米； · 一共有 3 种不同的拼法。 ② 分别计算周长： · 长 12 宽 1：（厘米） · 长 6 宽 2：（厘米） · 长 4 宽 3：（厘米） ③ 对比数据总结规律：面积相等的长方形，长和宽越接近，周长越短。 答：一共有 3 种拼法，周长分别是 26 厘米、16 厘米、14 厘米；规律：面积相等时，长和宽越接近，周长越短。 【知识点睛】本题对应教材 “拼拼比比” 综合实践活动，是探究面积与周长变化规律的基础题型。核心规律：面积固定的长方形，长与宽的差越小，周长越短；当长和宽相等（即正方形）时，周长最短。探究的关键是有序枚举所有拼法，保证不重复、不遗漏，再通过数据对比归纳规律。注意：只有当小正方形的个数是完全平方数时，才能拼成正方形，此时周长最短。 典型例题 2（思维拓展型）—— 规律验证与辨析 题目：判断：“面积大的长方形，周长一定更长。” 这句话对吗？请举例说明理由。 解题步骤： ① 直接判断：这句话是错误的； ② 举反例验证：比如长方形 A 长 10 厘米、宽 1 厘米，面积 10 平方厘米，周长厘米；长方形 B 长 4 厘米、宽 3 厘米，面积 12 平方厘米，周长厘米； ③ 对比分析：B 的面积比 A 大，但周长比 A 短，说明面积大的长方形周长不一定更长，面积和周长没有必然的正相关关系。 答：不对；举例如上，面积大的长方形周长不一定更长，周长还和长与宽的差有关。 【知识点睛】本题深度考查对面积与周长关系的理解，是高频易错辨析题。很多同学会直觉认为 “面积大周长就长”，这是典型的思维误区。周长描述的是边线长度，面积描述的是平面大小，是两个不同维度的量，没有绝对的正相关关系。判断这类说法最有效的方法就是举反例，只要能找到一个反例，就能证明说法不成立。 考点二：周长固定下的面积变化规律（画图探究） 典型例题 1（能力进阶型）—— 固定周长围长方形 题目：用一根长 20 厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整厘米数），一共有多少种不同的围法？分别算出它们的面积，你能发现什么规律？ 解题步骤： ① 先求长与宽的和：长方形周长 =（长 + 宽）×2，所以长 + 宽厘米； ② 有序枚举所有围法（长≥宽）： · 长 9 厘米，宽 1 厘米，面积（平方厘米） · 长 8 厘米，宽 2 厘米，面积（平方厘米） · 长 7 厘米，宽 3 厘米，面积（平方厘米） · 长 6 厘米，宽 4 厘米，面积（平方厘米） · 长 5 厘米，宽 5 厘米（正方形），面积（平方厘米） · 一共有 5 种不同的围法。 ③ 对比总结规律：周长相等的长方形，长和宽越接近，面积越大；当长和宽相等（正方形）时，面积最大。 答：一共有 5 种围法，面积分别是 9、16、21、24、25 平方厘米；规律：周长相等时，长和宽越接近，面积越大，正方形面积最大。 【知识点睛】本题对应教材 “画画比比” 综合实践活动，是周长与面积变化规律的核心题型。核心规律：周长固定的长方形，长与宽的差越小，面积越大；当长和宽相等（正方形）时，面积最大。解题第一步永远是先求出 “长 + 宽” 的和，再有序枚举所有整数组合，避免遗漏正方形的特殊情况。这条规律是几何最值问题的基础结论，在生活中应用非常广泛。 典型例题 2（思维拓展型）—— 规律逆向应用 题目：周长相等的长方形和正方形，已知正方形的面积是 36 平方分米，长方形的长是 7 分米，长方形的面积是多少平方分米？ 解题步骤： ① 先根据正方形面积求边长：正方形面积 = 边长 × 边长，，所以正方形边长是 6 分米； ② 求正方形周长，也就是长方形的周长：（分米）； ③ 求长方形的宽：长方形长 + 宽分米，宽分米；长方形面积（平方分米）。 答：长方形的面积是 35 平方分米。 【知识点睛】本题是周长固定面积规律的逆向应用，深度考查对规律的灵活掌握。解题关键是抓住 “周长相等” 这个不变量，先通过正方形求出公共周长，再反推长方形的宽，最后计算面积。本题也能验证规律：周长相等时，正方形面积 36 平方分米，长方形面积 35 平方分米，正方形面积更大，和核心规律完全吻合。 考点三：长宽变化中的周长与面积递变规律 典型例题 1（能力进阶型）—— 单一边长变化 题目：一个长方形长 12 厘米，宽 8 厘米。 （1）如果长增加 3 厘米，宽不变，周长增加多少厘米？面积增加多少平方厘米？ （2）如果宽增加 2 厘米，长不变，周长增加多少厘米？面积增加多少平方厘米？ 解题步骤： ① 第（1）题，长增加宽不变： · 周长变化：长方形有两条长，长增加 3 厘米，周长一共增加厘米； · 面积变化：增加的部分是一个长 8 厘米、宽 3 厘米的小长方形，面积增加平方厘米。 ② 第（2）题，宽增加长不变： · 周长变化：有两条宽，宽增加 2 厘米，周长一共增加厘米； · 面积变化：增加的部分是一个长 12 厘米、宽 2 厘米的小长方形，面积增加平方厘米。 · ③ 可以通过计算原图形和新图形的周长、面积，对比验证结果正确。 答：（1）周长增加 6 厘米，面积增加 24 平方厘米；（2）周长增加 4 厘米，面积增加 24 平方厘米。 【知识点睛】本题考查长方形长宽变化时周长与面积的增量规律，属于递变规律的基础题型。核心结论：宽不变时，长增加 a，周长增加 2a，面积增加 a× 宽；长不变时，宽增加 b，周长增加 2b，面积增加 b× 长。解题时不用算出完整的周长面积再相减，直接通过增量分析计算更快捷，画图标出增加的部分能让关系更直观。 典型例题 2（思维拓展型）—— 长宽同时变化 题目：一个长方形长 10 厘米，宽 6 厘米。如果长增加 2 厘米，宽减少 2 厘米，它的周长和面积分别怎么变化？变化了多少？ 解题步骤： ① 先算原图形的周长和面积：周长厘米，面积平方厘米； ② 再算变化后图形的长宽：新长厘米，新宽厘米；新周长厘米，新面积平方厘米； ③ 对比变化：周长，周长不变；面积平方厘米，面积减少了 12 平方厘米。 答：周长不变，面积减少了 12 平方厘米。 【知识点睛】本题是长宽同时变化的对比探究，能很好地深化对两个量变化规律的理解。本题验证了一个重要现象：长与宽的和不变时，周长就不变；但长与宽的差变大了，面积就会变小，和 “周长相等，差越大面积越小” 的规律完全一致。通过这类题能把零散的变化题和核心规律打通，形成完整的知识体系。 考点四：最值规律的实际应用（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 靠墙围最大面积 题目：王大叔用 36 米长的篱笆靠墙围一个长方形菜地（墙足够长），怎样围面积最大？最大面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 分析条件：靠墙围篱笆，篱笆只围三条边，即长 + 宽 ×2=36 米； ② 有序枚举对比： · 长 34 米，宽 1 米，面积 34 平方米； · 长 32 米，宽 2 米，面积 64 平方米； · …… · 长 18 米，宽 9 米，面积平方米； ③ 规律总结：靠墙围长方形，当长是宽的 2 倍时，围成的面积最大。 答：围成长 18 米、宽 9 米的长方形时面积最大，最大面积是 162 平方米。 【知识点睛】本题是周长最值规律的经典变式 —— 靠墙围篱笆问题，是高频拓展题型。注意：完整周长的情况是正方形面积最大，但靠墙时只有三条边，规律发生变化，当长等于 2 倍宽时，面积最大。解题时可以通过枚举验证规律，也可以结合画图理解：把墙看作对称轴，整个图形和镜像合起来就是一个大正方形，此时总面积最大，对应原长方形的长就是大正方形的边长，宽是边长的一半。 典型例题 2（思维拓展型）—— 材料最省方案 题目：学校要建一个面积为 36 平方米的长方形劳动实践基地，四周围上护栏。怎样设计最节省护栏材料？最少需要多少米护栏？ 解题步骤： ① 分析问题：面积固定，求护栏最短，也就是求周长最短，对应 “面积固定，长和宽越接近周长越短” 的规律； ② 找最接近的长宽组合：面积 36 平方米，长和宽都是整米数时，6×6=36，也就是正方形时长宽差最小； ③ 计算最短周长：边长 6 米的正方形，周长米。 答：设计成边长 6 米的正方形最节省护栏材料，最少需要 24 米护栏。 【知识点睛】本题是面积固定求最短周长的实际应用，对应 “材料最省” 的生活场景。解题关键是把实际问题转化为数学模型：“省护栏” 就是周长最短，面积固定求最短周长，直接应用核心规律：长宽越接近周长越短，正方形时最短。这类题体现了数学规律的实用价值，是方案优化思想的典型应用。 考点五：综合实践活动方案设计（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 拼摆探究活动设计 题目：设计一个 “探究面积相等时周长的变化规律” 的小组实践活动，写出活动步骤和探究结论。 解题步骤： ① 活动准备：每组准备 16 个边长 1 厘米的小正方形、方格纸、记录单； ② 活动步骤： 第一步，明确问题：用 16 个小正方形拼不同的长方形，周长都一样吗？ 第二步，小组合作拼摆，有序找出所有拼法，在方格纸上画出来； 第三步，分别计算每种拼法的周长，填写记录单； 第四步，对比数据，小组讨论，总结发现的规律； 第五步，换 20 个小正方形再次验证规律。 ③ 探究结论：面积相等的长方形，长和宽越接近，周长越短；拼成正方形时周长最短。 答：活动方案如上。 【知识点睛】本题对应教材综合实践活动要求，考查探究活动的完整设计能力。活动设计要遵循 “问题导向→操作探究→数据整理→归纳结论→验证拓展” 的科学流程，符合新课标 “综合与实践” 领域的育人要求。通过动手操作获得的规律，比单纯记忆结论理解更深刻、记忆更牢固，同时能培养合作探究能力。 典型例题 2（思维拓展型）—— 规律验证拓展活动 题目：设计一个活动验证 “周长相等的长方形，正方形面积最大”，要求包含猜想、验证、结论三个环节。 解题步骤： ① 猜想环节：先让学生猜想 “用同样长的铁丝围不同的长方形，哪种形状面积最大”，记录各自猜想； ② 验证环节： · 每组发放一根长 24 厘米的铁丝，围成长宽整厘米的不同长方形； · 分别测量长宽，计算对应面积，填入记录表； · 全班汇总数据，对比所有围法的面积大小； ③ 结论环节：共同总结出 “周长相等的长方形，长和宽越接近面积越大，正方形面积最大” 的结论，同时验证最初的猜想是否正确。 · 拓展延伸：如果不限制整厘米数，猜想什么时候面积最大，深化对规律的理解。 答：活动方案如上。 【知识点睛】本题是完整的探究式活动设计，体现了 “猜想→验证→结论” 的科学探究方法。这类活动不仅能让学生掌握知识，更能让学生学会研究问题的方法，培养推理意识和创新意识。教学中可以结合生活实例引入，比如 “为什么自来水管做成圆形”“为什么蒙古包是圆形的”，拓展学生视野，感受数学的应用价值。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：混淆面积与周长的变化关联，误认为面积大周长一定长 错误示例：认为 “面积大的长方形，周长肯定更长”。 正确分析：面积和周长是两个不同维度的量，没有必然的正相关关系；面积大的长方形周长可能更短，取决于长与宽的差值。 修正方法：牢记两个核心规律，遇到判断类题目通过举反例验证，不要凭直觉下结论。 易错点 2：枚举拼法 / 围法时遗漏情况，规律总结片面 错误示例：用 12 个小正方形拼长方形，只想到 2 种拼法，漏掉长 4 宽 3 的情况。 正确分析：枚举要按顺序，拼长方形按长从大到小、宽从小到大逐一列举，确保不重复、不遗漏；围长方形先求长宽和，再有序枚举。 修正方法：养成有序枚举的习惯，枚举完后检查是否还有其他组合，尤其不要漏掉正方形的特殊情况。 易错点 3：长 / 宽变化时，周长与面积的变化量计算错误 错误示例：长增加 3 厘米，认为周长增加 3 厘米，忘记长方形有两条长。 正确分析：长方形有两条长、两条宽，长增加 a，周长增加 2a；宽增加 b，周长增加 2b。 修正方法：画图辅助理解，标出增加的边，清楚看到有两条边同时增长，避免只算一条边的错误。 易错点 4：求最大面积时忽略正方形形态，最值判断失误 错误示例：周长 20 厘米围长方形，认为最大面积是 24 平方厘米，漏掉正方形的 25 平方厘米。 正确分析：正方形是特殊的长方形，周长固定时，正方形的面积最大，不能把正方形排除在外。 修正方法：枚举围法时，一直列举到长和宽相等为止，确保把正方形包含进去，牢记 “周长定，正方形面积最大” 的结论。 易错点 5：实际场景忽略限制条件，盲目套用规律 错误示例：靠墙围篱笆求最大面积，直接围成正方形，忽略只有三条边的限制。 正确分析：规律都有适用前提，完整四边围是正方形面积最大；一边靠墙时规律不同，长是 2 倍宽时面积最大。 修正方法：解题先读清场景，判断是完整周长还是有靠墙、缺边的情况，对应不同的规律，不能盲目套用结论。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 1. 用 18 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形，一共有几种拼法？周长最短是多少厘米？ 2. 判断：面积相等的两个长方形，周长一定相等。（ ） 3. 用一根长 32 厘米的铁丝围成长宽都是整厘米的长方形，一共有多少种围法？面积最大是多少平方厘米？ 4. 判断：周长相等的两个长方形，面积一定不相等。（ ） 5. 一个长方形长 15 分米，宽 8 分米。如果长增加 2 分米，宽不变，周长增加多少分米？面积增加多少平方分米？ 6. 把一张长 12 厘米、宽 8 厘米的长方形纸，剪成边长 2 厘米的小正方形，一共能剪多少个？ 7. 用 36 米长的绳子围一个长方形花坛，怎样围面积最大？最大面积是多少平方米？ 8. 要围一个面积为 49 平方米的正方形菜地，需要多长的篱笆？ 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 9. 李大爷用 28 米长的篱笆靠墙围一个长方形养鸡场（墙足够长），怎样围面积最大？最大面积是多少平方米？ 10. 一个长方形，如果长增加 5 厘米，面积就增加 30 平方厘米；如果宽增加 4 厘米，面积就增加 36 平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 11. 用 20 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形，在所有拼法中，周长相差最大的两种拼法，周长相差多少厘米？ 12. 一个长方形的周长是 24 厘米，如果长和宽都增加 3 厘米，面积会增加多少平方厘米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】3 种拼法；周长最短 18 厘米 解题步骤： ① 总面积 18 平方厘米，长 × 宽 = 18，有序枚举：长 18 宽 1、长 9 宽 2、长 6 宽 3，共 3 种； ② 分别算周长：厘米，厘米，厘米； ③ 长 6 宽 3 时长宽最接近，周长最短 18 厘米。 【知识点睛】本题考查面积固定求最短周长。有序枚举所有拼法，根据 “长宽越接近周长越短” 的规律，找到长宽差最小的组合，对应最短周长。 2. 【答案】× 解题步骤： ① 举反例：长 6 宽 2 的长方形面积 12，周长 16；长 4 宽 3 的长方形面积 12，周长 14； ② 面积相等但周长不相等，因此说法错误。 【知识点睛】本题考查面积与周长的关系辨析。面积相等的长方形，周长不一定相等，长宽差越小周长越短。举反例是判断这类说法的最有效方法。 3. 【答案】8 种围法；面积最大 64 平方厘米 解题步骤： ① 先求长宽和：厘米； ② 有序枚举：长 15 宽 1 到长 8 宽 8，共 8 种围法； ③ 长 8 宽 8（正方形）时面积最大，平方厘米。 【知识点睛】本题考查周长固定求最大面积。核心规律：周长相等时，正方形面积最大。先求长宽和，再有序枚举，找到正方形形态即为最大值。 4. 【答案】× 解题步骤： ① 举反例：长 8 宽 2 和长 7 宽 3 的长方形，周长都是 20 厘米，面积分别是 16 和 21，不相等； ② 但长 6 宽 4 和长 4 宽 6 是同一个长方形，也存在周长相等面积相等的情况，比如两个完全一样的长方形； ③ 因此 “一定不相等” 的说法错误。 【知识点睛】本题考查周长与面积的关系辨析。周长相等的长方形，面积可能相等也可能不等，长宽相同则面积相等，长宽不同则面积不同。说法过于绝对的判断通常是错误的。 5. 【答案】周长增加 4 分米；面积增加 16 平方分米 解题步骤： ① 长增加 2 分米，两条长都增加，周长增加分米； ② 增加的面积是宽为 2 分米、长为 8 分米的长方形，面积增加平方分米。 【知识点睛】本题考查长宽变化的增量计算。长增加时，周长增量是增量的 2 倍，面积增量是增量乘宽。画图辅助能更清晰地理解增量对应的部分。 6. 【答案】24 个 解题步骤： ① 先算长能剪几个：（个）； ② 再算宽能剪几个：（个）； ③ 总个数：（个）。 【知识点睛】本题考查长方形剪拼小正方形的实际应用。方法是分别算出长和宽方向能剪出的个数，再相乘，不能直接用大面积除以小面积（不能整除时会出错），本题刚好整除，两种方法结果一致。 7. 【答案】围成边长 9 米的正方形时面积最大；最大面积 81 平方米 解题步骤： ① 周长 36 米，正方形边长米； ② 正方形面积最大，平方米。 【知识点睛】本题考查周长固定求最大面积的基础应用。完整四边围的场景，正方形面积最大，直接应用规律计算即可。 8. 【答案】28 米 解题步骤： ① 正方形面积 49 平方米，边长是 7 米（7×7=49）； ② 篱笆长度就是正方形周长：米。 【知识点睛】本题是面积与周长的逆向综合题。先通过面积求出边长，再计算周长，考查两个公式的灵活转换。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】长 14 米、宽 7 米时面积最大；最大面积 98 平方米 解题步骤： ① 靠墙围三条边，长 + 宽 ×2=28 米； ② 规律：当长是宽的 2 倍时面积最大，宽米，长米； ③ 最大面积：平方米。 【知识点睛】本题是靠墙围篱笆的最值问题，属于经典变式。一边靠墙时，不是正方形面积最大，而是长等于 2 倍宽时面积最大，可以通过枚举验证规律，也可以结合镜像法理解：镜像合成大正方形时总面积最大。 10. 【答案】54 平方厘米 解题步骤： ① 长增加 5 厘米，面积增加 30 平方厘米，说明原宽厘米； ② 宽增加 4 厘米，面积增加 36 平方厘米，说明原长厘米； ③ 原长方形面积：平方厘米。 【知识点睛】本题是长宽变化的逆向推理题。解题关键是理解：长增加时宽不变，增加的面积除以增加的长就是原来的宽；反之同理。分别求出原长和原宽，就能算出原面积。 11. 【答案】24 厘米 解题步骤： ① 总面积 20 平方厘米，枚举所有拼法：长 20 宽 1（周长 42 厘米）、长 10 宽 2（周长 24 厘米）、长 5 宽 4（周长 18 厘米）； ② 周长最长的是长 20 宽 1，最短的是长 5 宽 4； ③ 相差：42-18=24（厘米）。 验证：最长周长对应长 20 宽 1：(20＋1)×2＝42（厘米）；最短周长对应长 5 宽 4：(5＋4)×2＝18（厘米），差值计算正确。 【知识点睛】本题考查面积固定下的周长最值差。先找出周长最长和最短的两种拼法，最长对应长宽差最大，最短对应长宽差最小，再计算差值即可。解题核心还是有序枚举所有情况，找准最值。 12. 【答案】45 平方厘米 解题步骤： ① 先求原长宽和：厘米； ② 长宽都增加 3 厘米后，增加的面积可以分成三部分：长 ×3 + 宽 ×3 + 3×3； ③ 代入计算：平方厘米。 【知识点睛】本题是长宽同时增加的面积增量问题，属于拓展拔高题型。解题不用求出具体的长和宽，只要知道长宽和，就能通过拆分增量部分计算总面积增量。画图能清晰看到增加的部分是两个长方形和一个小正方形，结合乘法分配律即可快速计算。 1 学科网（北京）股份有限公司 $