专题5：混合运算与数量关系（二）（思维拓展）-苏教版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题5：混合运算与数量关系（二） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：不含括号的三步混合运算（进阶推理） 3 考点二：含小括号的三步混合运算（进阶应用） 4 考点三：含中括号的三步混合运算（算理强化） 5 考点四：三步计算实际问题与综合算式（思维拓展） 6 考点五：乘加乘减数量关系综合应用（实践拓展） 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：不含括号运算顺序颠倒，先加减后乘除 8 易错点 2：小括号内忽略运算优先级，从左到右盲目计算 8 易错点 3：中括号使用不规范，层级顺序混乱 9 易错点 4：列综合算式漏加括号，运算顺序错误 9 易错点 5：实际问题数量关系错配，解题逻辑混乱 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版四年级上册第四单元核心内容，承接两步混合运算与常见数量关系的学习基础，以 “运算规则进阶→括号层级拓展→实际问题综合” 为主线，系统覆盖不含括号的三步混合运算、含小括号的混合运算、含中括号的混合运算、三步计算实际问题、乘加乘减数量关系综合运用五大模块，渗透运算能力、模型意识、应用意识、推理意识等核心数学素养。 专题遵循 “规则建立→层级拓展→方法应用→综合提升” 的认知路径，从纯计算规则入手，逐步引入小括号、中括号，建立完整的混合运算顺序体系；结合购物消费、工程做工、校园生活等真实情境，学会用综合算式解决三步计算的实际问题，深化对乘加、乘减等数量关系的理解。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中 “数与运算”“数量关系” 两大学习主题要求，为后续小数、分数混合运算及更复杂的应用题学习筑牢运算与分析的双重基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 不含括号三步运算 先乘除后加减；同级运算从左到右；两侧乘除可同步计算 顺序口诀法、同步简算法 先算加减后算乘除，顺序颠倒 含小括号运算 先算小括号内，再算括号外；括号内仍遵循先乘除后加减 括号优先法、分层计算法 小括号内从左到右乱算，忽略乘除优先级 含中括号运算 先小括号，再中括号，最后括号外；中括号用于二次改变运算顺序 层级标注法、逐层计算法 先算中括号后算小括号，层级混乱 三步实际问题 用综合算式解决三步应用题；从条件 / 问题出发分析数量关系 问题分析法、条件综合法 列综合算式漏加括号，运算顺序不符 数量关系综合 两积求和、两积求差；乘加、乘减复合数量关系建模 模型匹配法、分步验证法 数量关系错配，乘加乘减逻辑颠倒 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 顺序口诀法 所有混合运算题 ①无括号：先乘除，后加减，同级从左往右算；②有括号：先小后中再外层，每层都按规则算 无括号先乘除，有括号先里后外 括号分层法 含多层括号的运算 ①标注小括号、中括号层级；②从最内层开始，逐层向外计算；③每算完一层去掉对应括号 先小后中再外层，逐层计算不跳步 同步简算法 两侧乘除中间加减的算式 ①观察算式，乘除分布在加减两侧；②两侧乘除同步计算；③最后算加减 两侧乘除同时算，一步得出两积结果 问题分析法 三步计算实际问题 ①从最终问题出发，反向找所需条件；②确定中间量，明确先算什么；③列综合算式并添加对应括号 从问题往回找，缺啥先算啥 分步检验法 计算与应用题验算 ①分步核对运算顺序是否正确；②逐行检查计算结果；③代入原题验证是否符合题意 先查顺序再算数，代入原题验结果 三、数学思维提升 1. 有序运算思维 核心要点：混合运算有严格的运算顺序，必须按规则逐层计算，不跳步、不打乱顺序，养成 “先看顺序再动笔，算完一步查一步” 的习惯，这是运算能力的核心基础。 专题示例：计算含中括号的算式，必须先算小括号，再算中括号，最后算括号外，每一步都要清晰标注，不能凭感觉随意计算，否则极易出错。 2. 层级转化思维 核心要点：括号的作用是改变运算顺序，小括号是第一优先级，中括号是第二优先级。遇到复杂的多层括号算式，通过分层拆解，把复杂算式转化为多个简单的一步、两步算式，化繁为简。 专题示例：计算，先把最内层的加法算出来，中括号就变成了简单的减法，再算完减法，整个式子就只剩一步乘法，层层转化逐步简化。 3. 模型建构思维 核心要点：三步实际问题本质是基础数量关系的组合，比如 “两积求和”“两积求差”“和差与倍数结合”，每一类都有固定的数量关系模型，识别模型就能快速理清解题思路。 专题示例：“买两种商品求总花费”“算两种作物总产量”，本质都是 “两积求和” 模型，分别算出两部分的量再相加，都对应乘加混合运算的结构。 4. 综合表达思维 核心要点：把分步算式合并成综合算式，是数学表达能力的重要体现。要根据分步的运算顺序，合理添加小括号、中括号，确保综合算式的运算顺序和分步完全一致，结果完全相同。 专题示例：分步先算加法、再算乘法、最后算除法，列综合算式时，加法加小括号，乘法整体加中括号，就能准确还原运算顺序。 5. 检验反思思维 核心要点：混合运算步骤多、易出错，做完后必须检验。一验运算顺序是否正确，二验每一步计算是否准确，三验实际问题的结果是否符合题意，通过检验大幅提升正确率。 专题示例：列综合算式解完应用题，把结果代回题目，反向验证所有条件是否都成立，既能发现计算错误，也能发现数量关系分析错误。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：不含括号的三步混合运算（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础运算顺序 题目：计算： 解题步骤： ① 明确运算顺序：算式不含括号，有加法、除法和乘法，先算乘除法，乘除是同级运算，按从左到右的顺序，先算除法：； ② 再算乘法：； ③ 最后算加法：。 完整计算过程： 【知识点睛】本题考查不含括号的三步混合运算顺序，是本单元的基础规则。核心法则：在没有括号的算式里，有乘除法和加减法，要先算乘除法，再算加减法；乘除法属于同级运算，按从左到右的顺序依次计算。解题时不要看到乘除就随便先算哪一个，必须严格遵循从左到右的同级运算顺序，避免出现 “先算再算除法” 的错误。 典型例题 2（思维拓展型）—— 两侧乘除同步简算 题目：计算： 解题步骤： ① 观察算式结构：乘法分别在减法的两侧，都属于乘除法范畴，可以同步计算，不改变运算顺序； ② 同时计算两个乘法：，； ③ 最后计算减法：。 完整计算过程： 【知识点睛】本题是不含括号三步运算的简化技巧。当乘除法分布在加减法的两侧时，两个乘除部分可以同步计算，一步得出两个结果，再算加减，既缩短计算过程，又不违反 “先乘除后加减” 的规则。注意：只有两侧都是乘除、中间是加减时才能同步算，如果是同级运算连在一起，必须从左到右依次计算，不能跳步。 考点二：含小括号的三步混合运算（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 小括号基础运算 题目：计算： 解题步骤： ① 有小括号先算小括号里面的，括号内也要先乘除后加减，先算乘法：； ② 再算小括号里的减法：； ③ 最后算括号外的除法：。 完整计算过程： 【知识点睛】本题考查含小括号的三步混合运算。核心规则：算式里有小括号，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。特别注意：小括号内部不是从左到右随便算，依然遵循 “先乘除后加减” 的运算顺序，这是高频易错点。可以简单记为：括号是优先级提升，不是规则重置，括号内和括号外的运算规则完全一致。 典型例题 2（思维拓展型）—— 括号内顺序辨析 题目：计算： 解题步骤： ① 先算小括号内部的乘法：； ② 再算小括号内部的加法：； ③ 最后算括号外的除法：。 完整计算过程： 【知识点睛】本题是小括号运算的易错强化题。很多同学会错误地先算，再乘 2，完全忽略了括号内的运算优先级。再次强调：小括号只提升整体的运算优先级，括号内部的运算依然严格遵守 “先乘除后加减，同级从左到右” 的规则。解题时可以先给括号内的运算标上顺序，再逐层计算，避免出错。 考点三：含中括号的三步混合运算（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 中括号基础运算 题目：计算： 解题步骤： ① 按层级计算，先算最内层的小括号：； ② 再算中括号里面的乘法：； ③ 最后算中括号外面的除法：。 完整计算过程： 【知识点睛】本题考查含中括号的混合运算，是运算顺序的进阶内容。核心规则：一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。中括号的作用是第二次改变运算顺序，当小括号外面还需要优先计算时，就用中括号，不能再套小括号。每算完一层括号，就去掉对应的括号符号，保持算式清晰。 典型例题 2（思维拓展型）—— 按要求添括号 题目：给算式 添上括号，使运算顺序变为：先算加法，再算乘法，最后算除法。 解题步骤： ① 第一步要先算加法，需要给添加小括号，提升加法的优先级； ② 第二步要算乘法，也就是加法的结果再乘 2，这部分需要比除法先算，因此在小括号和的整体外面添加中括号； ③ 最终算式：，按顺序计算验证：先加得 40，再乘得 80，最后除得 6，符合要求。 答：添括号后的算式为 。 【知识点睛】本题考查括号的灵活运用，深度考查对运算顺序的理解。添括号的技巧是：按照要求的运算顺序，从最先算的部分开始，逐层添加括号，最先算的加小括号，次优先的加中括号。添完括号后，一定要按运算顺序完整算一遍，验证是否和要求的顺序一致，确保正确。这类题能反向强化对运算顺序的理解，是经典的思维拓展题型。 考点四：三步计算实际问题与综合算式（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 从条件想起列综合算式 题目：书法组有 18 人，绘画组的人数是书法组的 2 倍，合唱组的人数比书法组和绘画组的总人数少 6 人。合唱组有多少人？（列综合算式解答） 解题步骤： ① 先根据条件算出绘画组人数：（人）； ② 再算出书法组和绘画组的总人数：（人）； ③ 最后算出合唱组人数，合并为综合算式：18 + 18×2 - 6 = 48（人） 答：合唱组有 48 人。 【知识点睛】本题是三步计算实际问题的基础题型，对应教材 “从条件想起” 的解题策略。解题时顺着条件逐步推导，先求出中间量，再解决最终问题。列综合算式时，要对照分步的运算顺序，确保综合算式的顺序和分步完全一致。本题先算乘法、再算加法、最后算减法，符合先乘除后加减、同级从左到右的规则，不需要额外添加括号。 典型例题 2（思维拓展型）—— 带括号的综合算式应用 题目：王老师带了 600 元，买了 4 个飞机模型，剩下的钱买舰船模型。飞机模型每个 126 元，舰船模型每个 48 元。剩下的钱能买多少个舰船模型？（列综合算式解答） 解题步骤： ① 第一步先算 4 个飞机模型的总价：（元）； ② 第二步算剩下的钱数：（元）； ③ 第三步算能买的舰船数量，合并综合算式时，减法需要先算，必须加小括号； (600 - 126×4)÷48 = 2（个） 答：剩下的钱能买 2 个舰船模型。 【知识点睛】本题是带小括号的三步实际问题，考查综合算式中括号的正确使用。解题关键：减法部分需要先算，但在无括号算式里除法优先级更高，因此必须给 “总钱数减飞机总价” 的部分加上小括号，才能保证先算减法、后算除法。列综合算式的通用方法：先写分步算式，再合并；合并后检查运算顺序，和分步不一致就添加对应括号调整。 考点五：乘加乘减数量关系综合应用（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 两积求和问题 题目：水果店运来 8 箱苹果和 12 箱梨，苹果每箱 25 千克，梨每箱 20 千克。水果店一共运来多少千克水果？ 解题步骤： ① 先算出苹果的总质量：（千克）； ② 再算出梨的总质量：（千克）； ③ 相加得到总质量，列综合算式：8×25 + 12×20 = 440（千克） 答：水果店一共运来 440 千克水果。 【知识点睛】本题是典型的 “两积求和” 乘加数量关系问题，是生活中最常见的复合数量关系模型。核心思路：分别算出两部分的总量，再相加求和。两个乘法部分可以同步计算，符合先乘除后加减的运算顺序。同类场景还有 “两种商品总价”“两段路程总和”“两部分工作量合计” 等，本质都是同一套数量关系模型。 典型例题 2（思维拓展型）—— 两积求差实际应用 题目：工程队修一条公路，第一周修了 5 天，平均每天修 92 米；第二周修了 6 天，平均每天修 108 米。第一周比第二周少修多少米？ 解题步骤： ① 先算第一周修的总长度：（米）； ② 再算第二周修的总长度：（米）； ③ 求差值列综合算式：6×108 - 5×92 = 188（米） 答：第一周比第二周少修 188 米。 【知识点睛】本题是 “两积求差” 的乘减数量关系问题，属于乘加模型的延伸。核心思路：分别算出两个总量，再求差值。解题时要注意谁和谁比，找准较大数和较小数，避免减法方向颠倒。这类问题是工程、购物、行程场景的高频题型，掌握 “分别算总量，再求和差” 的通用思路，就能解决一大类同类问题。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：不含括号运算顺序颠倒，先加减后乘除 错误示例：计算，错误先算，再乘 3 得 240。 正确分析：不含括号的算式，必须先算乘除法，后算加减法，不能从左到右随便算。 修正方法：做题前先标运算顺序，乘除标①，加减标②，按标注顺序计算，养成 “先看顺序再动笔” 的习惯。 易错点 2：小括号内忽略运算优先级，从左到右盲目计算 错误示例：计算，错误先算，再乘 2 得 100。 正确分析：小括号只提升整体优先级，括号内部依然遵循先乘除后加减的规则，不是从左到右依次计算。 修正方法：看到括号先看内部运算，有乘除有加减就先算乘除，再算加减，和括号外规则完全一致。 易错点 3：中括号使用不规范，层级顺序混乱 错误示例：有中括号和小括号时，先算中括号里的内容，或者用小括号套小括号代替中括号。 正确分析：括号层级是先小后中，必须从最内层开始算；小括号只能用一层，外层需要改变顺序必须用中括号。 修正方法：计算前先标注括号层级，小括号标①，中括号标②，括号外标③，按①→②→③的顺序逐层计算。 易错点 4：列综合算式漏加括号，运算顺序错误 错误示例：“600 元花掉 504 元，剩下的买 48 元的商品，能买几个”，错误列成。 正确分析：减法需要先算，不加括号就会先算除法，运算顺序完全错误，必须给减法部分加上小括号。 修正方法：列完综合算式后，对照分步步骤检查运算顺序，不一致就添加对应括号调整，确保和分步逻辑完全相同。 易错点 5：实际问题数量关系错配，解题逻辑混乱 错误示例：求 “一共多少” 用减法，求 “谁比谁多多少” 用加法，数量关系完全搞反。 正确分析：认真读题，抓住关键词，“一共、总和” 用加法，“比谁多 / 少、相差” 用减法，“几倍、几个几” 用乘法。 修正方法：先分步列式理清数量关系，分步正确后再合并成综合算式，不要上来就列综合算式。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 判断：。（ ） 5. 学校买了 4 盒钢笔，每盒 12 支，每支 8 元。一共花了多少元？（列综合算式解答） 6. 食堂运来大米和面粉，大米 20 袋，每袋 25 千克；面粉 15 袋，每袋 30 千克。大米比面粉多多少千克？（列综合算式解答） 7. 给算式 添上括号，使运算顺序为：先算加法，再算除法，最后算乘法。 8. 计算： 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 9. 一件上衣 120 元，裤子的价格是上衣的 2 倍。买 1 件上衣和 2 条裤子一共需要多少元？（列综合算式解答） 10. 修一条长 800 米的路，已经修了 3 天，每天修 120 米。剩下的要 2 天修完，平均每天要修多少米？（列综合算式解答） 11. 小马虎在计算时，漏掉了小括号，算成了，结果是 80。正确的结果应该是多少？ 12. 用两种方法计算：，并说说两种方法的联系。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】6 解题步骤： ① 先同时算除法和乘法：，； ② 再算减法：。 【知识点睛】本题考查不含括号的混合运算。两侧的除法和乘法可以同步计算，再算减法，符合先乘除后加减的规则。 2. 【答案】4 解题步骤： ① 先算小括号里的乘法：； ② 再算小括号里的减法：； ③ 最后算括号外除法：。 【知识点睛】本题考查含小括号的混合运算。先算括号内乘法，再算括号内减法，最后算括号外除法，严格遵循括号内先乘除后加减的规则。 3. 【答案】2352 解题步骤： ① 先算小括号里的加法：； ② 再算中括号里的减法：； ③ 最后算括号外乘法：。 【知识点睛】本题考查含中括号的混合运算。按先小括号、再中括号、最后括号外的顺序逐层计算，每算完一层去掉对应括号，保持算式清晰。 4. 【答案】× 解题步骤： ① 正确运算顺序：先算乘法； ② 再算减法，不是 200； ③ 题目计算顺序错误，因此说法错误。 【知识点睛】本题考查不含括号的运算顺序。必须先乘除后加减，不能从左到右依次计算，这是最常见的运算顺序错误。 5. 【答案】384 元 解题步骤： ① 先算总共有多少支钢笔，再算总价，综合算式： （元）； ② 也可以先算每盒多少钱，再算总价：（元）。 答：一共花了 384 元。 【知识点睛】本题是连乘的三步实际问题，属于归一归总模型的应用。两种思考顺序都可以，都是乘法连乘，运算顺序不影响最终结果。 6. 【答案】50 千克 解题步骤： ① 分别算出大米和面粉的总质量，再求差，列综合算式：20×25 - 15×30 = 50（千克） 答：大米比面粉多 50 千克。 【知识点睛】本题是两积求差的实际应用。分别算出两种粮食的总质量，再相减求差值，两个乘法可以同步计算。 7. 【答案】 解题步骤： ① 先算加法，给加小括号； ② 再算除法，最后算乘法，除法和乘法是同级从左到右，不需要再加中括号； ③ 最终算式符合先加、再除、最后乘的顺序。 【知识点睛】本题考查添括号改变运算顺序。根据要求的优先级逐层添加括号，注意只有需要改变同级运算顺序时才加括号，本身符合顺序的不用额外添加。 8. 【答案】64 解题步骤： ① 先算除法：； ② 再从左到右依次计算加减：，。 【知识点睛】本题考查不含括号的加减除混合运算。先算除法，再按从左到右的顺序算加减法，不要先算加法再算减法。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】600 元 解题步骤： ① 先算裤子单价：元； ② 再算 2 条裤子加 1 件上衣的总价，列综合算式：120 + 120×2×2 = 600（元） 答：一共需要 600 元。 【知识点睛】本题是倍数与乘加结合的三步实际问题。先根据倍数关系求出裤子单价，再计算总价格，理清数量关系是解题关键。 10. 【答案】220 米 解题步骤： ① 先算已经修的长度：米； ② 再算剩下的长度，最后求剩下每天修的长度，列综合算式：(800 - 3×120)÷2 = 220（米） 答：平均每天要修 220 米。 【知识点睛】本题是带小括号的三步工程问题。减法需要先算，必须加小括号，确保运算顺序正确。解题用 “从问题想起” 的策略，求每天修多少，就要先知道剩下多少米。 11. 【答案】140 解题步骤： ① 先根据错误算式求里的数：，即，得； ② 代入正确算式计算：。 【知识点睛】本题是错中求解与混合运算的结合。解题关键是抓住不变量，先通过错误的算式和结果求出未知数，再代入正确算式算出正确结果。这类题能很好地训练逆向推理能力。 12. 【答案】250 解题步骤： ① 方法一：按顺序先乘后加： ② 方法二：利用乘法意义简化：4 个 25 加 6 个 25，一共是 10 个 25，即； ③ 两种方法结果相同，第二种是乘法分配律的雏形，计算更简便。 【知识点睛】本题是乘加混合运算的拓展探究。两种方法对应两种思路：方法一是分别计算两积再求和，符合基础运算顺序；方法二是利用 “几个几加几个几等于一共几个几” 的乘法意义，合并计算更简便，为后续学习乘法分配律做好铺垫。 1 学科网（北京）股份有限公司 $